湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．若虛部大于0的復(fù)數(shù)滿足方程，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為A． B． C． D．3．古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）詳細(xì)地討論了無(wú)理數(shù)的理論，他通過(guò)圖來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)，，，，如圖，則（    ）  A． B．C． D．4．設(shè)向量與的夾角為θ，定義，已知，，則（    ）A． B． C．5 D．255．血藥濃度檢測(cè)可使給藥方案?jìng)€(gè)體化，從而達(dá)到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學(xué)研究所研制的某種新藥進(jìn)入了臨床試驗(yàn)階段，經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)患者A給藥3小時(shí)的時(shí)候血藥濃度達(dá)到峰值，此后每經(jīng)過(guò)2小時(shí)檢測(cè)一次，每次檢測(cè)血藥濃度降低到上一次檢測(cè)血藥濃度的，當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為（    ）A．11小時(shí) B．13小時(shí) C．17小時(shí) D．19小時(shí)6．對(duì)于一些不太容易比較大小的實(shí)數(shù)，我們常常用構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行，如，已知，，，要比較，，的大小，我們就可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)進(jìn)行比較，通過(guò)計(jì)算，你認(rèn)為下列關(guān)系正確的一項(xiàng)是（    ）A． B． C． D．7．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（    ）A． B．C． D．8．定義在上的不恒為零的偶函數(shù)滿足，且.則（    ）A．30 B．60 C．90 D．120 二、多選題9．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 ℃”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（單位:℃）的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）:①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，總體方差為10.8.則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（　?。?/span>A．一個(gè)都沒(méi)有 B．甲地C．乙地 D．丙地10．點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則（    ）A．存在點(diǎn)，使得B．弦長(zhǎng)的最小值為C．點(diǎn)在以為直徑的圓上D．線段經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)11．如圖，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中點(diǎn)．Q是棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（    ）  A． 與平面BPQ有可能平行B．與平面BPQ有可能平行C．三角形BPQ周長(zhǎng)的最小值為D．三棱錐的體積為定值12．設(shè)正整數(shù)，其中.記，則（    ）A． B．C． D． 三、填空題13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為      .（用數(shù)字作答）14．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：      .①的值域?yàn)?/span>；②當(dāng)時(shí)，.15．雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右支上有一點(diǎn)M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為        ．16．已知正四面體的外接球半徑為3，MN為其外接球的一條直徑，P為正四面體表面上任意一點(diǎn)，則的最小值為           ． 四、解答題17．已知數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.18．如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）.     (1)證明：平面平面；(2)若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說(shuō)明理由.19．的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.(1)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.20．已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，求證：.21．新高考數(shù)學(xué)試卷中有多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這四個(gè)選項(xiàng)，四個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測(cè)試過(guò)程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.某次多項(xiàng)選擇題專項(xiàng)訓(xùn)練中，共有道題，正確選項(xiàng)設(shè)計(jì)如下：第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；若第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.(1)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；(2)請(qǐng)根據(jù)期望值來(lái)判斷：第二題是選一個(gè)選項(xiàng)還是選兩個(gè)選項(xiàng)，更能獲得較高分.22．已知橢圓過(guò)和兩點(diǎn).  (1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.
參考答案：1．D【分析】解對(duì)數(shù)不等式求出，進(jìn)而求出交集.【詳解】，解得，故，因?yàn)?/span>，所以.故選：D2．B【詳解】由題可知：，故，所以共軛復(fù)數(shù)為故選B3．B【分析】利用直角三角形中邊角關(guān)系和兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】記，由圖知：，，，所以.故選：B.4．C【分析】由，可得，以及向量與的夾角，結(jié)合題意可求得答案【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，即，所以向量與的夾角為，所以，故選：C5．B【分析】利用題意，將給藥時(shí)間與檢測(cè)次數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型，將給藥時(shí)間與患者血藥濃度轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，則利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：檢測(cè)第n次時(shí)，給藥時(shí)間為，則是以3為首項(xiàng)，2為公差的的等差數(shù)列，所以，設(shè)當(dāng)給藥時(shí)間為小時(shí)的時(shí)候，患者血藥濃度為，血藥濃度峰值為a，則數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，所以，令，即，解得，當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為，故選：B.6．A【分析】構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性，可得，即，化簡(jiǎn)即可得答案．【詳解】令，則，當(dāng)，即，，，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>,所以有 ，即，所以有，即，所以有．故選：A．7．A【分析】先求得，然后根據(jù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)列不等式，從而求得的取值范圍，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】由圖可知，由于，所以，令，得，由得，依題意，在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)取值最小時(shí)，有，解得，所以的最小值為.故選：A8．D【分析】首先等式變形為，再結(jié)合以及偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求和.【詳解】由條件可知，，且，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，則.故選：D.9．BD【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差的數(shù)字特征，逐個(gè)判定，即可求解.【詳解】①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22，根據(jù)數(shù)據(jù)得出，家底連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為，其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22，可確定甲地進(jìn)行夏季；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24，當(dāng)5數(shù)據(jù)為，可知其連續(xù)5天的日溫度有低于22，所以不確定；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，若有低于22，假設(shè)取21，此時(shí)方程就超出了，可知其連續(xù)5天的日溫度均不低于22，如：，這組數(shù)據(jù)的均值為26，方差為，但是進(jìn)一步擴(kuò)大方差就會(huì)超過(guò)，所以可判定丙地進(jìn)入夏季.故選：BD.10．BCD【分析】對(duì)于A，設(shè)，根據(jù)得，，得，可得A不正確；對(duì)于B，根據(jù)四邊形面積關(guān)系列式求出，根據(jù)可求出，可得B正確；對(duì)于C，用以為直徑的圓的方程和圓相減得公共弦所在直線方程，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，可得D正確.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?/span>，，，，所以，所以，所以，故不存在點(diǎn)，使得，故A不正確；對(duì)于B，根據(jù)圓的對(duì)稱性得，所以，又，所以 ，所以 ，由A知，，所以 .故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，，所以既是直角三角形的外接圓的直徑，又是直角三角形的外接圓的直徑，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的方程為，即，因?yàn)?/span>是圓與圓的公共弦，所以直線的方程為：，當(dāng)時(shí)，，所以直線：過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)在圓內(nèi)，所以線段經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故D正確.  故選：BCD11．ACD【分析】對(duì)于A，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，可證得四邊形為平行四邊形，則與互相平分于點(diǎn)，連接可證得∥，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論，對(duì)于B，由題意可得與平面BPQ相交，對(duì)于C，把沿展開(kāi)與在同一平面（如圖），則當(dāng)B，P，Q共線時(shí)，有最小值，從而可求得結(jié)果，對(duì)于D，， 為定值，可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，連接，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)?/span>，∥，∥，，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以與互相平分，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>P是棱的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以∥平面BPQ，故A正確；  對(duì)于B，，又平面BPQ，BD與平面BPQ只能相交，所以與平面BPQ只能相交，故B錯(cuò)；對(duì)于C，，把沿展開(kāi)與在同一平面（如圖），則當(dāng)B，P，Q共線時(shí)，有最小值，在直角梯形中，，，，，則，所以，所以，所以三角形BPQ周長(zhǎng)的最小值為，故C正確；    對(duì)于D，，因為定值，因?yàn)?/span>∥，∥，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距離也為定值，所以為定值．所以D正確，故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平行的判定和棱錐體的求法，對(duì)于選項(xiàng)A解題的關(guān)鍵是證明四邊形為平行四邊形，從而可找到的中點(diǎn)，再利用三角形中位線定理可得線線平行，考查空間想象能力，屬于較難題.12．ABD【分析】根據(jù)的表達(dá)式，的表達(dá)式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式確定正確答案.【詳解】，所以，所以A選項(xiàng)正確.正整數(shù)，則，所以，所以B選項(xiàng)正確.，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，是首項(xiàng)為，公比為的數(shù)列的前項(xiàng)和，即，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問(wèn)題.13．25【分析】把按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得展開(kāi)式中的系數(shù)．【詳解】的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故答案為：2514．【分析】根據(jù)題意，由條件可知函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增且值域?yàn)?/span>，考慮反比例函數(shù)類型即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)同時(shí)滿足值域?yàn)?/span>且當(dāng)時(shí)，，考慮，則且，再將函數(shù)向上平移兩個(gè)單位可得，則，且滿足題意.故答案為：15．/【分析】由圓的切線性質(zhì)及雙曲線定義，可得關(guān)系式，，從而解出、，利用勾股定理可解.【詳解】?jī)?nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點(diǎn)S，T，N，P則四邊形、都為正方形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，則，則 ，①又因?yàn)?/span>，②且雙曲線定義得，，③由①、②、③得，所以，從而，由勾股定理，，所以，解得．故答案為：16．【分析】設(shè)正四面體外接球球心為O，把用表示并計(jì)算數(shù)量積后可得．【詳解】設(shè)正四面體外接球球心為O，正四面體的外接球半徑為3，設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為，一個(gè)面的面積為，高為，則，所以，顯然，所以，即．．故答案為：．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)99 【分析】（1）由已知得再由等比數(shù)列的定義可得答案；（2）由（1）求出，再由等比數(shù)列的求和公式可得，令，根據(jù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】（1），，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）：，，，令，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增， 單調(diào)遞增，，可得，所以滿足條件的最大整數(shù)為.18．(1)證明詳見(jiàn)解析(2)存在，且 【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.（2）判斷出平面，由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的正弦值確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）在原圖中，連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.  在反著過(guò)程中，保持不變，即保持不變，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）由上述分析可知，在原圖中，，所以，所以，折疊后，若，則，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以兩兩相互垂直，由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，所以，即是的中點(diǎn).由于軸與平面垂直，所以到平面的距離為，所以.  19．(1)見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，選①，根據(jù)余弦定理可得，方程無(wú)解即△ABC不存在；選②，根據(jù)正弦定理可得，由可得，方程無(wú)解即△ABC不存在；選③，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，可求出的周長(zhǎng).（2）由三角形的面積可得，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解.【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)?/span>，所以，化簡(jiǎn)得：，所以，因?yàn)?/span>，所以，選擇①，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，所以，整理得，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇②，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，，所以，整理得，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇③，由得：，所以，即，所以，因?yàn)橐?/span>，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的周長(zhǎng)為．（2）由（1）知，，面積，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以，，解得：，所以，所以，，，所以的取值范圍為，而面積.20．（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問(wèn)題，通過(guò)分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的證明；利用單調(diào)遞增和零點(diǎn)存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可確定單調(diào)性，進(jìn)而得到，化簡(jiǎn)后，結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論.【詳解】由函數(shù)解析式可知，定義域?yàn)?/span>.（1），在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立令，則，在上單調(diào)遞增，，，解得：，的最大值為.（2）由（1）知：，則，在上單調(diào)遞增.，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，即，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題；根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解；證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題.21．(1)(2)第二題選一個(gè)選項(xiàng)更能獲得較高分 【分析】（1）根據(jù)題意可得到第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率與第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)題中兩種選擇，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式、（1）中結(jié)論進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】（1）設(shè)第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，則，當(dāng)時(shí)，有 ，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，顯然適合，故.（2）由（1）可知：，設(shè)選一個(gè)選項(xiàng)的得分為，，，，因此，設(shè)選二個(gè)選項(xiàng)的得分為，，，，所以，因?yàn)?/span>，所以第二題選一個(gè)選項(xiàng)更能獲得較高分.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)概率公式得到之間的關(guān)系，通過(guò)適當(dāng)變形，構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)公式.22．(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）6 【分析】（1）將兩點(diǎn)代入橢圓中，解方程組即可求得橢圓C的方程；（2）（i）分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積可得為鈍角，得出證明；（ii）由（i）可寫(xiě)出四邊形的面積為，再利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可得出面積的最大值為6.【詳解】（1）依題意將和兩點(diǎn)代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為（2）（i）易知，由橢圓對(duì)稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且；所以直線的方程為，的方程為；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，由對(duì)稱性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為6.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時(shí)，可利用向量數(shù)量積的正負(fù)判斷與直徑所對(duì)圓周角的大小即可得出結(jié)論；在求解四邊形面積的最值時(shí)，首先可用一個(gè)變量表示出面積的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求出最值即可. 

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