廣西南寧市第三十六中學(xué)2024屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

這是一份廣西南寧市第三十六中學(xué)2024屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題，共16頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
廣西南寧市第三十六中學(xué)2024屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．設(shè)，則（    ）A． B． C． D．2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．3．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（    ）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，既是定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)的為（    ）A． B．C． D． 5．已知，則（    ）A． B． C． D．6．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（    ）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．8．如圖，?分別是雙曲線：的左?右焦點(diǎn)，過的直線與的左?右兩支分別交于點(diǎn)?，若為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（    ）A．4 B． C． D． 二、多選題9．已知曲線.（    ）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線10．一個(gè)不透明的袋子里，裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，每次從中不放回地取出一球，現(xiàn)取出個(gè)球，則下列說法正確的是（    ）A．兩個(gè)都是紅球的概率為B．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為C．第二次取到紅球的概率為D．第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為11．已知函數(shù)，則（    ）A．函數(shù)有且只有2個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)的遞減區(qū)間為C．函數(shù)存在最大值和最小值D．若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且滿足，則下列說法正確的是（    ）A．是偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．是周期為4的周期函數(shù)D． 三、填空題13．已知平面向量，，若，則           .14．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為      .15．已知三棱錐中，，，當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為      .16．已知曲線與的公切線為，則實(shí)數(shù)      . 四、解答題17．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，設(shè)．(1)求，；(2)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；(3)的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和為．18．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.（1）求；（2）求的值.19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD， ，，，.(1)試在棱PC上找一點(diǎn)E滿足：；(2)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.20．近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展，某創(chuàng)業(yè)者對(duì)過去100天，某知名A產(chǎn)品在自己開的網(wǎng)店和實(shí)體店的銷售量（單位：件）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制成如下頻率分布直方圖，已知網(wǎng)店與實(shí)體店銷售量相互獨(dú)立．(1)寫出頻率分布直方圖a的值，記實(shí)體店和網(wǎng)店的銷售量的方差分別為，，試比較，的大?。唬ú灰笥?jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；(2)網(wǎng)店回訪服務(wù)，若查知某天該網(wǎng)店所銷售的A產(chǎn)品被10名不同的顧客（其中2名男性）購買，現(xiàn)從這10名顧客中隨機(jī)選2人進(jìn)行服務(wù)回訪，求恰好選到一人是男性的概率；(3)若將上述頻率視為概率，已知實(shí)體店每天銷售量不低于30件可盈利，記“未來三天實(shí)體店盈利的天數(shù)”為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為A（2，0）．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為．證明直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)，并求△APQ面積的最大值．22．已知函數(shù)，a為常數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)①討論函數(shù)的單調(diào)性；②，不等式恒成立，求a的取值范圍.
參考答案：1．C【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.2．C【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.3．B【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.4．D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性和奇偶性的定義逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A， 為奇函數(shù)，是周期函數(shù)，在定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合題意，不符合題意；對(duì)于，定義域?yàn)?/span> ，所以為奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合題意；對(duì)于C，，故函數(shù)不是奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D， ，是增函數(shù)， ，是奇函數(shù)，滿足題意；故選：D.5．A【分析】由得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式得出，代入計(jì)算即可．【詳解】由得，則，故選：A．6．C【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，得到，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到不等式組，即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，則，因?yàn)?/span>，可得，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足，即，當(dāng)時(shí)，可得，所以的取值范圍是.故選：A.8．D【分析】設(shè)，，則，由雙曲線的定義得到，求得，在中，利用余弦定理列出方程求得，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】由題意，等腰直角三角形，設(shè)，，則，由雙曲線的定義，可得，可得，解得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，即，所以.故選：D.9．ACD【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時(shí)表示橢圓，時(shí)表示圓，時(shí)表示雙曲線，時(shí)表示兩條直線.【詳解】對(duì)于A，若，則可化為，因?yàn)?/span>，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10．BCD【分析】利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可判斷A選項(xiàng)；利用條件概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用全概率公式可判斷C選項(xiàng)；利用貝葉斯公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，抽取的兩個(gè)都是紅球的概率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取白球，則，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取紅球，則，，，，由全概率公式可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取紅球，則，所以，，D對(duì).故選：BCD.11．AB【分析】求得，得到函數(shù)的的單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則， 令，解得；令，解得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖形，如圖所示，可得A、B正確；所以，無最大值，所以C錯(cuò)誤；若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.  12．AB【分析】由，可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，即，結(jié)合圖象的變換，可判定A正確；由，得到，可判定C不正確；由，可判定B正確；由的值不能確定，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，函數(shù)滿足，可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，此時(shí)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以A正確；由，即，可得，即，若為常函數(shù)且，則是函數(shù)的周期，否則，4不是函數(shù)的周期，所以C不正確；因?yàn)?/span>，可得，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，可得，即，所以為奇函數(shù)，所以B正確；由為奇函數(shù)，可得，因?yàn)?/span>，則，其中的值不能確定，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.13．【分析】由向量平行可得，再由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，最后應(yīng)用向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】由題設(shè)，，即，則，所以，故.故答案為：.14．【分析】先求得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，進(jìn)而求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)，得到答案.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為.令，可得；令，可得，所以二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.15．【分析】判斷平面時(shí)，該三棱錐體積最大，再由球的表面積公式求解．【詳解】，的外接圓半徑為，由題意得當(dāng)平面時(shí)，該三棱錐體積最大，此時(shí)其外接球的球心到平面的距離為，故外接球半徑為，表面積為，故答案為：16．【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得切線方程，根據(jù)題意，求得，得到切線方程為，再設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合切點(diǎn)在切線上和，列出方程組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，則切線方程為，即，與公切線重合，可得，可得，所以切線方程為，對(duì)于函數(shù)，可得，設(shè)切點(diǎn)為，則則 ，解得.故答案為：17．(1)，(2)是，理由見解析(3)， 【分析】（1）對(duì)等式進(jìn)行因式分解可得遞推關(guān)系，判斷數(shù)列為等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式，代入求出的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果；（2）由（1）中的通項(xiàng)公式作差即可證明；（3）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可求出結(jié)果.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，可得，則或，因?yàn)?/span>為正項(xiàng)數(shù)列，所以.數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得；，，；（2）數(shù)列為等差數(shù)列，理由：，則數(shù)列為首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列；（3） ，前項(xiàng)和為．18．（1）（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合二倍角公式可求，，然后結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解；（2）由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理，即可求得的值.【詳解】（1）在中，因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以；（2）因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式及和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．19．(1)E為棱PC的中點(diǎn)(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法表示出點(diǎn)坐標(biāo)，由空間向量求解（2）由垂直關(guān)系解出點(diǎn)坐標(biāo)，再由空間向量求解【詳解】（1）∵，，，∴，，如圖，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，設(shè)點(diǎn)E為棱PC上的點(diǎn)，且.向量，，且∴，，∴∴，，若故.∴，∴即∴E為棱PC的中點(diǎn).（2），，，由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)，故，由，得,，解得，即.設(shè)為平面ABF的法向量，則，即，不妨令，可得為平面ABF的一個(gè)法向量.取平面PAB的法向量，則.易知，二面角是銳角，∴其余弦值為.20．(1)，(2)(3)分布列見解析，期望為 【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，求得的值，結(jié)合比較兩個(gè)頻率分布直方圖得到實(shí)體店銷售量比網(wǎng)店更集中?穩(wěn)定，即可求解；（2）由題意，設(shè)恰好選到一人是男性為事件A，進(jìn)而求得其概率；（3）由題意，得到隨機(jī)變量，求得隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的概率，得出分布列，利用公式求得期望.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得，通過比較兩個(gè)頻率分布直方圖可知，實(shí)體店銷售量比網(wǎng)店更集中?穩(wěn)定，故．（2）解：由題意，從這10名顧客中隨機(jī)選2人進(jìn)行服務(wù)回訪，設(shè)恰好選到一人是男性為事件A，可得，即恰好選到一人是男性的概率.（3）解：由題意，實(shí)體店銷售量不低于30件的概率為0.4，所以盈利的概率為0.4，故的可能取值為0，1，2，3．可得相應(yīng)的概率為：，，，，隨機(jī)變量分布列為X0123P因?yàn)?/span>，所以期望為．21．(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)，△APQ面積的最大值為． 【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合，即可解出，從而得出橢圓C的方程；（2）依題可設(shè) ，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可得到，然后結(jié)合，可找到的關(guān)系，從而可知直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)，于是△APQ面積等于，即可求出其最大值．【詳解】（1）依題可得，，解得，所以橢圓C的方程為．（2）易知直線AP與AQ的斜率同號(hào)，所以直線不垂直于軸，故可設(shè) ，，，由可得，，所以，，，而，即，化簡可得，①，因?yàn)?/span>，所以，令可得，②，令可得，③，把②③代入①得，，化簡得，所以，或，，所以直線 或，因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)．設(shè)定點(diǎn)，所以，，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即△APQ面積的最大值為．22．(1)；(2)①答案見解析，②. 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在處的切線方程；（2）①由題設(shè)可得且，討論、、、研究的符號(hào)，即可確定單調(diào)性；②構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究在上恒成立，結(jié)合分類討論方法求a的范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，所以，而，則在處的切線方程為，整理得.（2）①由且，當(dāng)時(shí)，在上，上，當(dāng)時(shí)，在上，上，上，當(dāng)時(shí)，在上，當(dāng)時(shí)，在上，上，上，綜上，時(shí)在上遞減，上遞增；時(shí)在上遞增，上遞減，上遞增；時(shí)在上遞增；時(shí)在上遞增，上遞減，上遞增；②令，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，而，由①知：當(dāng)時(shí)，在上，即遞增，所以，只需，可得；當(dāng)時(shí)，在上，遞減；上，遞增，所以，只需，可得，綜上，.