2023~2024學年金陵中學河西分校八年級上學期10月月考數(shù)學試卷命題人：施宇                 審核人：歐麗麗 一、選擇題（本答題共8小題，每小題2分，共16分）.1．2的平方根是　　A．4 B． C． D．2．下列圖形中不一定是軸對稱圖形的是　　A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．正方形3．下列四組線段、、，能組成直角三角形的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，4．下列整數(shù)中，與最接近的是　　A．2 B．3 C．4 D．55．如圖，點在銳角的內(nèi)部，連接，，點關于、所在直線的對稱點分別是、，則、兩點之間的距離可能是　　A．8 B．7 C．6 D．56．小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多，當他把繩子的下端拉開后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為　　A． B． C． D．7．如圖，直角三角形紙片中，，，將其沿邊上的中線折疊，使點落在點處，則的度數(shù)為　　A． B． C． D．8．如圖，若點是正方形內(nèi)一點，，，，則的度數(shù)為（    ）．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）9. 計算：         .10．比較大?。?/span>　　3（填“”、“ ”或“” ．11．若等腰三角形一個內(nèi)角的度數(shù)為，則它的頂角的度數(shù)是 　　         ．12．若，則的取值范圍是 　　 ．13．如圖，在四邊形中，，．下列結論：①垂直平分；②平分；③；④．其中所有正確結論的序號是 　     　．14．如圖，在中，，，，則點到的距離是       .　　15．如圖，在中，、的平分線交于點，經(jīng)過點，且，分別交、于點、．若，，則　 　．  16．在中，將、按如圖所示方式折疊，點、均落于邊上一點處，線段、為折痕．若，則　  　．17．如圖，中，，分別以、為斜邊作等腰直角三角形、，以為邊作正方形．若與的面積和為9，則正方形的邊長等于　  　．18．如圖所示，等腰三角形的底邊為，腰長為，一動點（與、不重合）在底邊上從向以的速度移動，當運動　   　秒時，是直角三角形．三、解答題（本大題共9小題，共64分）19. （6分）計算：（1）            （2）    20.（6分）求的值：（1）     21．（6分）如圖，將長為的橡皮筋放置在桌面上，固定兩端和，然后把中點向上豎直拉升到點，則橡皮筋被拉長了多少？  22．（6分）清代揚州數(shù)學家羅士琳癡迷研究勾股定理，提出推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．其中有一個法則是“如果是大于2的偶數(shù)，那么，的一半的平方減1，的一半的平方加1是一組勾股數(shù)．”（1）按照這個法則，寫出2組不同的勾股數(shù) 　       　，　      　（最大數(shù)不超過．（2）用等式表示這三個勾股數(shù)的數(shù)量關系并證明．      23．（6分）在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形嗎？證明你的結論．    24．（8分）如圖，在中，，，，將沿翻折，使點落在點處．（1）設，在中，根據(jù)勾股定理，可得關于的方程 　　；（2）分別求、的長．25．（8分）已知，在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且．（1）如圖1，當點為的中點時，求證：（2）如圖2，若，，求的長.         26．（8分）如圖，在中，，按下列要求用直尺和圓規(guī)作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）（1）如圖①，在邊上求作一點，使點到點的距離等于點到邊的距離；（2）如圖②，在邊上求作一點，使點到點的距離等于點到邊的距離．      27．（10分）如圖1，中，于，且．（1）試說明是等腰三角形；（2）已知，如圖2，動點從點出發(fā)以每秒的速度沿線段向點運動，同時動點從點出發(fā)以相同速度沿線段向點運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止，設點運動的時間為（秒．①若的邊與平行，求的值；②在點、運動的過程中，能否成為直角三角形？若能，直接寫出的值；若不能，請說明理由．              【答案與解析】2023~2024學年金陵中學河西分校八年級上學期10月月考數(shù)學試卷命題人：施宇                 審核人：歐麗麗 一、選擇題（本答題共8小題，每小題2分，共16分）.1．2的平方根是　　A．4 B． C． D．【分析】如果一個數(shù)，那么就是的一個平方根．正數(shù)有兩個平方根，并且互為相反數(shù)，利用平方根的定義解答．【解答】解：，的平方根是．故選：．【點評】本題主要考查了平方根的定義．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．下列圖形中不一定是軸對稱圖形的是　　A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．正方形【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：、不一定是軸對稱圖形，若直角三角形不是等腰直角三角形就不是軸對稱圖形；、、都是軸對稱圖形．故選：．【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，注意掌握軸對稱圖形的判斷方法：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．3．下列四組線段、、，能組成直角三角形的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】根據(jù)如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形進行分析即可．【解答】解：、，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；、，能組成直角三角形，故此選項正確；、，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；、，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；故選：．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．4．下列整數(shù)中，與最接近的是　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】估算出的值即可解答．【解答】解：，，，，最接近的整數(shù)是3，故選：B．【點評】本題考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握平方數(shù)是解題的關鍵．5．如圖，點在銳角的內(nèi)部，連接，，點關于、所在直線的對稱點分別是、，則、兩點之間的距離可能是　　A．8 B．7 C．6 D．5【分析】由軸對稱的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，即可得出結果．【解答】解：連接，，，點關于、所在直線的對稱點分別是、，，，，，故選：．【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關系定理，解本題的關鍵是熟練掌握軸對稱性和三角形三邊關系定理．6．小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多，當他把繩子的下端拉開后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，設旗桿的高為，則繩子的長為，再由勾股定理，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形，，如圖：設旗桿的高為：，則繩子的長為，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即旗桿的高為．故選：．【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，能夠正確根據(jù)題意畫出圖形，構造直角三角形，利用勾股定理解決問題是解題的關鍵．7．如圖，直角三角形紙片中，，，將其沿邊上的中線折疊，使點落在點處，則的度數(shù)為　　A． B． C． D．【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，和翻折的性質(zhì)可知．進而可以解決問題．【解答】解：是上的中線，，，，．由翻折的性質(zhì)可知：．．故選：．【點評】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，求得是解題的關鍵．問題解決8．如圖，若點是正方形內(nèi)一點，，，，則的度數(shù)為（    ）．【解答】將繞點按順時針方向旋轉，使與重合則，，，，由勾股定理得：；，，，，又，，， 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）9. 計算：         .【解答】，故答案為10．比較大?。?/span>　　3（填“”、“ ”或“” ．【分析】估算出的值即可解答．【解答】解：，，，，故答案為：．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，熟練掌握平方數(shù)是解題的關鍵．11．若等腰三角形一個內(nèi)角的度數(shù)為，則它的頂角的度數(shù)是 　　         ．【分析】可知有兩種情況（頂角是和底角是時），由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，中，．有兩種情況：①頂角；②當?shù)捉鞘?/span>時，，，，，這個等腰三角形的頂角為或．故答案為：或．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握，能對有的問題正確地進行分類討論是解答此題的關鍵．12．若，則的取值范圍是 　　 ．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)列出關于的不等式，求出的值即可．【解答】解：，，解得．故答案為：．【點評】本題考查的是二次根式的性質(zhì)，熟知算術平方根具有非負性是解答此題的關鍵．13．如圖，在四邊形中，，．下列結論：①垂直平分；②平分；③；④．其中所有正確結論的序號是 　     　．【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)即可判斷①，根據(jù)推出，再判斷②③④即可．【解答】解：，，、都在線段的垂直平分線上，即垂直平分，故①正確；在和中，，，故④正確；，，即平分，故②正確；和不一定相等，和不一定相等，即和不一定平行，故③錯誤；即正確的結論序號是①②④，故答案為：①②④．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理等知識點，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有等．14．如圖，在中，，，，則點到的距離是       .　　【分析】過點作交的延長線于點，由勾股定理得出，代入數(shù)據(jù)得出的長，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，過點作交的延長線于點，在與中，由勾股定理得，，即，，，即點到的距離是12，故答案為：12【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．15．如圖，在中，、的平分線交于點，經(jīng)過點，且，分別交、于點、．若，，則　 　．【分析】根據(jù)平分，平分，且，結合等腰三角形的判定可證得，，于是得到，進而求出．【解答】解：、的平分線相交于點，，，，，，，，，，，即，，，，故答案為：2．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義即平行線的性質(zhì)證得，是解決問題的關鍵．16．在中，將、按如圖所示方式折疊，點、均落于邊上一點處，線段、為折痕．若，則　  　．【分析】由折疊的性質(zhì)可知：，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，可求出的度數(shù)，進而得到的度數(shù)，問題得解．【解答】解：線段、為折痕，，，，，，，故答案為：82．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等，解題的關鍵是利用整體思想得到的度數(shù)．17．如圖，中，，分別以、為斜邊作等腰直角三角形、，以為邊作正方形．若與的面積和為9，則正方形的邊長等于　  　．【分析】分別以，為邊向的外部作正方形，則，，由勾股定理可得，進而可求解的長．【解答】解：分別以，為邊向的外部作正方形，則，，在中，，，，，．故答案為6．【點評】本題主要考查勾股定理，分別以，為邊向的外部作正方形，利用勾股定理列算式時解題的關鍵．18．如圖所示，等腰三角形的底邊為，腰長為，一動點（與、不重合）在底邊上從向以的速度移動，當運動　   　秒時，是直角三角形．【分析】過作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，分兩種情況：①當點運動秒后有時，如圖1，根據(jù)勾股定理得到；②當時，如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到．【解答】解：過作于，，，，分兩種情況：①當點運動秒后有時，如圖1，則，，，，解得：；②當時，如圖2，，，，綜上所述，當運動或秒時，是直角三角形，故答案為：1.75或4．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的運用，此題難度適中，解題的關鍵是分類討論思想、方程思想與數(shù)形結合思想的應用．三、解答題（本大題共9小題，共64分）19. （6分）計算：（1）            （2）【解答】（1）（2）20.（6分）求的值：（1）【解答】（1）                        （2）（2）或 21．（6分）如圖，將長為的橡皮筋放置在桌面上，固定兩端和，然后把中點向上豎直拉升到點，則橡皮筋被拉長了多少？【分析】根據(jù)勾股定理，可求出、的長，則即為橡皮筋拉長的距離．【解答】解：中，，；根據(jù)勾股定理，得：；；故橡皮筋被拉長了．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．22．（6分）清代揚州數(shù)學家羅士琳癡迷研究勾股定理，提出推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．其中有一個法則是“如果是大于2的偶數(shù)，那么，的一半的平方減1，的一半的平方加1是一組勾股數(shù)．”（1）按照這個法則，寫出2組不同的勾股數(shù) 　       　，　      　（最大數(shù)不超過．（2）用等式表示這三個勾股數(shù)的數(shù)量關系并證明．【分析】（1）分別令，，再求出其余的數(shù)即可；（2）分別用表示出一組勾股數(shù)，再找出其數(shù)量關系即可．【解答】解：（1）當時，這一組勾股數(shù)是3，4，5；當時，這一組勾股數(shù)是6，8，10．故答案為：3，4，5；6，8，10；（2）當大于2時，．證明：左邊；右邊．左邊右邊，等式成立．【點評】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足 的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解答此題的關鍵．23．（6分）在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形嗎？證明你的結論．【分析】關鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和解答即可．【解答】已知：在中，點是的中點，連接，且，求證：為直角三角形，證明：由條件可知，，則，，又，．【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)是根據(jù)三角形的內(nèi)角和解答．24．（8分）如圖，在中，，，，將沿翻折，使點落在點處．（1）設，在中，根據(jù)勾股定理，可得關于的方程 　　；（2）分別求、的長．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出，，設，則，在中，由勾股定理可求出答案；（2）由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）將沿翻折，使點落在點處．，，設，則，，，故答案為：；（2）由（1）得，解得，，．，，，，．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．25．（8分）已知，在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且．（1）如圖1，當點為的中點時，求證：（2）如圖2，若，，求的長.【解答】（1）證明：，，是等邊三角形，，點為的中點，，，，，，，，在中，，∴∴（2）過點作，交于點，則，，，是等邊三角形，，，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，；，．【點評】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．26．（8分）如圖，在中，，按下列要求用直尺和圓規(guī)作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）（1）如圖①，在邊上求作一點，使點到點的距離等于點到邊的距離；（2）如圖②，在邊上求作一點，使點到點的距離等于點到邊的距離． 【分析】（1）作的角平分線交于點；（2）作的角平分線交于點，過點作的垂線交于點．【解答】解：（1）如圖①，點為所作；（2）如圖②，點為所作．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了點到直線的距離．27．（10分）如圖1，中，于，且．（1）試說明是等腰三角形；（2）已知，如圖2，動點從點出發(fā)以每秒的速度沿線段向點運動，同時動點從點出發(fā)以相同速度沿線段向點運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止，設點運動的時間為（秒．①若的邊與平行，求的值；②在點、運動的過程中，能否成為直角三角形？若能，直接寫出的值；若不能，請說明理由．【分析】（1）設，，，由勾股定理求得的長即可判斷；（2）由的面積求出、、、；①當時，；當時，；得出方程，解方程即可；②分和兩種情況，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)分別得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）設，，，則，在中，，，是等腰三角形；（2），而，，則，，，．①當時，，即，；當時，，得：；若的邊與平行時，值為5或6．②由題意知，，如圖1，當時，，則，即，解得：；如圖2，當時，，則，即，解得：；綜上，或時，是直角三角形．【點評】本題是三角形的綜合問題，解題的關鍵是掌握勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及分類討論思想的運用．  

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