2022學(xué)年第二學(xué)期環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1. 復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A. －3 B. 3 C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念直接可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.2. 等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出結(jié)果.【詳解】因為，故選：D.3. 設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：因為，，即，，所以；故選：A4. 在半徑為9的圓中，的圓心角所對弧長為（    ）A. 900 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角度制與弧度制轉(zhuǎn)化并結(jié)合弧長公式即可得到答案.【詳解】，則所對弧長為.故選：B5. 把正方體的表面沿某些棱剪開展成一個平面圖形（如圖），請根據(jù)各面上的圖案判斷這個正方體是（　?。?/span>A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形．【詳解】結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，即可得出兩圓應(yīng)該在幾何體的上下，符合要求的只有C和D，再根據(jù)三角形的位置，即可得出答案，故選：C6. 若為的邊BC的中點，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量的運算法則即可求出結(jié)果.【詳解】因為為的邊BC的中點，所以，得到，故選：B.  7. 如圖，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC邊（含端點）上的動點，的最小值為（    ）  A. 0 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】建立合適的直角坐標(biāo)系，求出直線的方程，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可.【詳解】因為四邊形為直角梯形，則以為坐標(biāo)原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系，因為，所以，則，設(shè)直線的方程為，則代入坐標(biāo)有，解得，則直線的方程為，則可設(shè)，，則，則，因為，則其最小值為，故選：D.  8. 小李同學(xué)到如圖所示的一個影視廳觀看電影，由于看電影的觀眾比較多，占去了觀影區(qū)的其它位置，只剩下01-10座，共10個座位．電影院的平面圖數(shù)據(jù)如圖所示，使小李同學(xué)觀影視角最好（水平方向視角，即眼睛看屏幕兩側(cè)的視線夾角最大）的座位是（    ）  A. 01座 B. 02座 C. 03座 D. 10座【答案】B【解析】【分析】簡化成數(shù)學(xué)模型，再設(shè)未知數(shù)，利用兩角和與差的正切公式結(jié)合基本不等式即可得到答案.【詳解】將此題簡化為如下數(shù)學(xué)圖形，其中，，題目轉(zhuǎn)化為求找到點的位置，使得最大，設(shè)，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立，此時座位位于第2座，故選：B.  二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9. 若向量，，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 若，則B 時，C. 與垂直的單位向量有兩個D. 時，在上投影向量為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)運算即可判斷A，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可判斷B，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和單位向量的定義即可判斷C，根據(jù)投影向量的求法即可判斷D.【詳解】對A，，解得，故A錯誤；對B，當(dāng)時，，顯然，故B錯誤；對C，設(shè)與垂直的單位向量為，則有，解得或，則，則C正確；對D，，則在上的投影向量為，故D正確.故選：CD.10. 已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A.  B. 的共軛復(fù)數(shù)為C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法計算出，再利用復(fù)數(shù)模的計算、共軛復(fù)數(shù)的概念、乘方的運算法則以及虛數(shù)無法比較小的性質(zhì)一一分析即可.【詳解】，對A，則，故A錯誤；對B，其共軛復(fù)數(shù)為，則B正確；對C，兩個虛數(shù)無法比較大小，故C錯誤；對D， ，故D正確.故選：BD.11. 關(guān)于函數(shù)，其中，下列命題正確的是（    ）A. 若，則對，若滿足，則必有成立；B. 若，在區(qū)間上單調(diào)遞減；C. 若，函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱；D. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位后與的圖象重合，則有最小值1．【答案】ACD【解析】【分析】對于ABC直接代入利用輔助角公式得，再根據(jù)平移原則結(jié)合誘導(dǎo)公式即可判斷A，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B，代入檢驗即判斷C，根據(jù)平移原則結(jié)合正余弦函數(shù)的關(guān)系即可判斷D.【詳解】若，則對于A，對，若滿足，則，故A正確；對B，，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，顯然，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，故C正確；對于D，依題意，，將其向右平移個單位得于是得，，則，且，則，所以，故D正確.故選：ACD.12. 陽馬和鱉臑［biē nào］是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱（圖2，圖3），稱為塹堵．再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開（圖4），得四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬（圖5）．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑（圖6）．若圖1中的長方體是棱長為4的正方體，則下列結(jié)論正確的是（    ）    A. 鱉臑中只有一個面不是直角三角形 B. 鱉臑外接球半徑為C. 鱉臑的體積為正方體的 D. 鱉臑內(nèi)切球半徑為【答案】BD【解析】【分析】利用題設(shè)條件，逐一對各個選項分析判斷即可得到結(jié)果.【詳解】對于選項A，由題知，鱉臑是由四個直角三角形組成的四面體，所以選項A錯誤；對于選項B，由題知鱉臑的外接球即長方體的外接球，而長方體是棱長為4的正方體，又易知，正方體外接球的半徑為體對角線的一半，所以鱉臑外接球的半徑為，所以選項B正確；對于選項C，鱉臑是由四個直角三角形組成的四面體，且易知面,所以，又正方體的體積為，故鱉臑的體積為正方體的，所以選項C錯誤；對于選項D，設(shè)鱉臑內(nèi)切球半徑為，由選項C知，鱉臑的體積，則，又，所以，所以選項D正確.故選：BD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13. 若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，且，則__________.【答案】25【解析】【分析】利用對稱得到復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，且，所以，則，故答案為：2514. 若一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半圓，則這個圓錐的側(cè)面積與表面積之比為_____．【答案】【解析】【分析】【詳解】試題分析：設(shè)底面圓的半徑為，母線長，所以，所以側(cè)面積為，表面積為，所以面積比為考點：圓錐的表面積側(cè)面積15. 已知，則______．【答案】【解析】【分析】直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可.【詳解】因為，解得，所以，所以，故答案為：.16. 水平放置的圓柱形容器底半徑為3cm，高15cm，已知該容器中裝有高度為h cm的水.實驗時甲同學(xué)先把一個棱長為3cm的玻璃立方體放進(jìn)了容器里，然后乙同學(xué)逐個緩慢放入兩個半徑為3cm的實心玻璃球，使兩個球都浸沒在容器的水中.若第一只球放入的過程中水沒溢出，第2只球放入的過程中有水溢出容器，則高度h的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的信息，結(jié)合圓柱、球、正方體的體積公式列出不等式求解作答.【詳解】依題意，圓柱的體積為，球的體積為，正方體的體積為，圓柱形容器中原有水的體積為，由第一只球放入的過程中水沒溢出，第2只球放入的過程中有水溢出容器，得，解得，所以高度h的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，否則酌情扣分．）17. 已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位）．（1）若為純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；（2）若，且復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第四象限，求a的取值范圍．【答案】（1）1.    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算求出，再根據(jù)純虛數(shù)的概念求解.（2）化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)所對應(yīng)的點位于第四象限列不等式組求解.【小問1詳解】因為復(fù)數(shù)，則又為純虛數(shù)，所以，解得，【小問2詳解】因為由復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第四象限，可得:，解得 ， 所以的范圍為.18. 如圖，已知中，，D是邊BC上一點，且．  （1）設(shè)，，試用，表示．（2）若，求的大?。?/span>【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理用基底表示向量.（2）分別求出長度，在中用勾股定理求解.【小問1詳解】因為，所以，所以.【小問2詳解】因，，由余弦定理得 ，因為，所以 ，，在中，，所以，則，所以，又因為為銳角，所以的大小為.19. 如圖，某公園摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處．  （1）已知在時刻（單位：）時點P距離地面的高度（其中，，），求函數(shù)解析式及時點P距離地面的高度；（2）當(dāng)點P距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，若游客可以在上面游玩，則游客在游玩過程中共有多少時間可以看到公園的全貌？【答案】（1），    （2）1【解析】【分析】（1）由已知可得，函數(shù)的振幅等于圓形的半徑即，周期，即，，零時刻處，摩天輪上在最低點，可知初相，這樣便可求得的解析式，進(jìn)而求得時距離地面的高度；（2）從最低處開始到達(dá)高度為剛好能看著全貌，經(jīng)過最高點再下降至時又能看著全貌，求得兩次的時間差即能看著全貌的時間．【小問1詳解】由題意可知：，所以，又，得到，即，又摩天輪上的點的起始位置在最低點處，即，所以，即，又，所以，故，當(dāng)時，，所以時點P距離地面的高度為85.【小問2詳解】因為從最低處開始到達(dá)高度為剛好能看著全貌，經(jīng)過最高點再下降至時又能看著全貌，由（1）知，得到，即，得到，所以， 又，所以，游客在游玩過程中共有可以看到公園的全貌.20. 在中，角的對邊分別是，若，．（1）證明：是正三角形．（2）若的三頂點都在球O表面，且球O的表面積為，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得到，進(jìn)而可得到，從而證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件求出球的半徑和外接圓的半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)求出三棱錐的高，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，，整理得，，即，又，所以，得到，所以，又，所以是正三角形.【小問2詳解】設(shè)球的半徑為，因為球O的表面積為，所以，得到，由（1）知是正三角形，且邊長為3，設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，所以，設(shè)球心到所在平面距離為，則由球的截面圓性質(zhì)知，，得到，又，所以，三棱錐的體積為.21. 已知的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，滿足．（1）求A；（2）若的面積為，且，點D為邊BC的中點，求AD的長．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，結(jié)合，利用三角恒等變換求出，進(jìn)而由三角形面積得到，由余弦定理求出答案.【小問1詳解】，，即即，所以由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，所以．【小問2詳解】因為，所以，即，又，則，所以，所以，，所以，所以，故，，  故在中，由余弦定理可得，則．22. 已知函數(shù)，．（1）指出單調(diào)性與的奇偶性，并用定義證明的奇偶性．（2）是否存在實數(shù)使不等式對恒成立，若存在求出的范圍，若不存在，請說明理由．【答案】（1）為上的增函數(shù), 是奇函數(shù)，證明見解析.    （2）存在使得不等式恒成立，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)與的單調(diào)性判斷單調(diào)性，根據(jù)奇偶性定義判斷的奇偶性．（2）根據(jù)奇函數(shù)性與單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，換元后轉(zhuǎn)化對任意恒成立求解.【小問1詳解】∵，函數(shù)的定義域為，為增函數(shù)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，∴為上的增函數(shù).∵，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，∴，∴是奇函數(shù).∵為奇函數(shù)，∴也是奇函數(shù).【小問2詳解】，即，即，即，即，即，∵是奇函數(shù)，∴，又∵為上的增函數(shù)，∴，∴，∵，∴，令，問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，所以 ，解得，故存在實數(shù)使不等式對恒成立.  
 

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