?2022－2023學(xué)年度九年級第二學(xué)期數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1. 中國人最先使用負數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負數(shù)．如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖1可列式計算為，由此可推算圖2中計算所得的結(jié)果為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖示得出兩個數(shù)，然后再進行求和得出答案．
【詳解】解：由題意得：，
故選：C．
【點睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法與閱讀理解型，屬于基礎(chǔ)題型．理解題意是解題的關(guān)鍵．
2. 下面四個化學(xué)儀器示意圖中，是軸對稱圖形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，不符合題意；
C、是軸對稱圖形，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形的定義．
3. 深圳是改革開放后黨和人民一手締造的嶄新城市，是中國特色社會主義在一張白紙上的精彩演繹。深圳廣大干部群眾披荊斬棘、埋頭苦干，用40年的時間走過了國外一些國際大都市上百年走完的歷程。深圳經(jīng)濟特區(qū)生機勃勃，向世界展示了我國改革開放的磅礴偉力，年深圳市年度為萬億，用科學(xué)計數(shù)法表示年深圳為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案．
【詳解】解：萬億，
故選A．
【點睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．
4. 下列式子計算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘除法，冪的乘方和合并同類項等計算法則求解判斷即可．
【詳解】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算正確，符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法，冪的乘方和合并同類項，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，是等邊三角形，以點B為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點E、F．再分別以E、F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D．連接交于點G，度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由作圖方法可知，是的垂直平分線，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得．
【詳解】解：由作圖方法可知，是的垂直平分線，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
故選D．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的尺規(guī)作圖，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
6. 《四元玉鑒》是中國古代著名的數(shù)學(xué)專著，書里記載一道這樣的題：“今有綾、羅共三丈，各直錢八百九十六文．只云綾、羅各一尺共直錢一百二十文．問綾、羅尺價各幾何？”題目譯文是：現(xiàn)在有綾布和羅布，布長共3丈（一丈尺），已知綾布和羅布分別全部出售后均能收入八百九十六文；綾布和羅布各出售一尺共收入一百二十文．問兩種布每尺各多少錢？若設(shè)綾布有x尺，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】綾布有x尺，則羅布有尺，然后根據(jù)綾布和羅布分別全部出售后均能收入八百九十六文；綾布和羅布各出售一尺共收入一百二十文列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)綾布有x尺，則羅布有尺，
由題意得，，
故選B．
【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7. 下列命題錯誤的是（ ）
A. 對角線相等的四邊形是矩形
B. 切線垂直于經(jīng)過切點的半徑
C. 將一次函數(shù)圖像向上平移1個單位得到的圖像
D. 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的判定定理即可判斷A；根據(jù)切線的定義即可判定B；根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可判斷C；根據(jù)相似三角形的判定定理即可判定D．
【詳解】解：A、對角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形對角線也相等，原命題錯誤，符合題意；
B、切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，原命題正確，不符合題意
C、將一次函數(shù)圖像向上平移1個單位得到的圖像，原命題正確，不符合題意
D、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，原命題正確，不符合題意；
故選A．
【點睛】本題主要考查了判斷命題真假，相似三角形的判定，切線的定義，一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，矩形的判定定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
8. 小剛利用如圖所示的方法可以折出“過已知直線外一點和已知直線平行”的直線，現(xiàn)將實物抽象出數(shù)學(xué)圖形則可得，過已知點A作線段交于點B，，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再由平行線的性質(zhì)可得．
【詳解】解：由題意得， ，
∴，
∵，
∴，
故選B．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關(guān)鍵．
9. 古代大型武器投石機，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機的側(cè)面示意圖．為炮架的炮梢兩頂點，已知A、B兩點到炮軸O的距離分別為1米和8米，當炮索自然垂落垂直于地面時，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動炮索，炮梢繞炮軸O旋轉(zhuǎn)，點A的對應(yīng)點為，點B的對應(yīng)點為．當炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時，若垂直地面，，此時，到水平地面的距離是（ ）米

A. 12 B. C. D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】如圖所示，延長交地面于C，延長交地面于D，設(shè)此時炮索的位置為E，證明都是等邊三角形，得到，再證明得到，則，即可得到，，設(shè)，則，求出，即可求出．
【詳解】解：如圖所示，延長交地面于C，延長交地面于D，設(shè)此時炮索的位置為E，
∵，
∴都是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
設(shè)，則炮索的長為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到水平地面的距離是，
故選C．

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在矩形中，，，將矩形繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得矩形，其中交于點E，延長交于點F，連接，，，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，求得，，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，即可求得．
【詳解】∵四邊形是矩形，，，
∴，
∵矩形繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得矩形，
∴，
∵，
∴
∴為等腰直角三角形
∴
同理為等腰直角三角形
∴
∴
∴
又∵，，，
∴
∴
∴，
∴
∴
在中，
∴
故
故選：A．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解即可．
【詳解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案為2（a+2b）（a﹣2b）．
【點睛】本題考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，難點在于要進行二次分解因式．
12. 一個盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，這些棋子除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，記下顏色，再放回盒中．不斷重復(fù)上述過程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估計盒中約有___________枚白棋子．
【答案】

【解析】
【分析】根據(jù)一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，求出取到黑棋子的概率，再計算盒中約共有棋子數(shù)，最后計算白棋子數(shù)限可．
【詳解】取到黑棋子的概率為：，
盒中約共有棋子：（枚），
其中約有白棋子：（枚）．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了概率，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握用頻率估計概率，用概率估計事件．
13. 數(shù)學(xué)小組研究如下問題：深圳市的緯度約為北緯，求北緯緯線的長度．小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；
信息二：如圖2，赤道半徑約為千米，弦，以為直徑的圓的周長就是北緯緯線的長度；（參考數(shù)據(jù)：，，，）
根據(jù)以上信息，北緯緯線的長度約為______千米．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，在中，利用銳角三角函數(shù)求出，即為以為直徑的圓的半徑，求出周長即可．
【詳解】解：如圖，過點O作，垂足為D，

根據(jù)題意，
∵，
∴，
∵在中， ，
∴，
∵，
∴由垂徑定理可知：，
∴以為直徑的圓的周長為，
故答案為：．
【點睛】本題考查解直角三角形，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練三角函數(shù)的含義與解直角三角形的方法．
14. 在平面直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)圖象上的一點，如圖，將線段向左平移，平移后的對應(yīng)線段為，點落在反比例函數(shù)的圖象上，已知線段掃過的面積為5，則______．

【答案】
【解析】
【分析】設(shè)點，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，根據(jù)線段掃過的面積為和平行四邊形的性質(zhì)可得，即可求得．
【詳解】解：設(shè)點，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，
則，
故線段掃過的面積為，
解得，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過平行四邊形的面積公式進行求解．
15. 如圖，矩形，點E為的中點．連接，將沿折疊得到，交于點O，的長為______．

【答案】
【解析】
【分析】如圖所示，延長交于H，連接，由矩形的性質(zhì)得到，，由折疊的性質(zhì)得到，，；證明得到，設(shè)，則，利用勾股定理得到，解方程求出；證明，得到，求出，則．
【詳解】解：如圖所示，延長交于H，連接，
∵四邊形是矩形，
∴，，
由折疊的性質(zhì)可得，，，
∵是的中點，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，
故答案為：．

【點睛】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共55分）
16. （1）．
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可；
（2）根據(jù)分式的加減混合運算，平方差公式，完全平方公式，分式的除法對原式進行化簡，再將代入即可．
【詳解】（1）原式

（2）



將代入可得．
【點睛】本題考查了零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，銳角三角函數(shù)，實數(shù)的混合運算，分式的加減混合運算，平方差公式，完全平方公式，分式的除法，分式的化簡求值等，熟練掌握以上法則是解題的關(guān)鍵．
17. 繼北京冬奧會之后，第19屆亞運會將于今年9月23日至10月8日在杭州舉行，中國將再次因體育盛會引來全球目光．某校為了解學(xué)生對體育鍛煉的認識情況，組織七、八年級全體學(xué)生進行了相關(guān)知識競賽，為了解競賽成績，抽樣調(diào)查了七、八年級部分學(xué)生的分數(shù)，過程如下：
【收集數(shù)據(jù)】從該校七、八年級學(xué)生中各隨機抽取20位學(xué)生的分數(shù)，其中八年級學(xué)生的分數(shù)如下：75，90，56，60，85，85，95，100，80，85，80，85，90，75，65，60，80，100，70，75．
【整理、描述數(shù)據(jù)】將抽取的七、八年級學(xué)生的競賽成績x（分）分組整理如表：
分數(shù)（分）





七年級人數(shù)（人）
2
3
6
5
4
八年級人數(shù)（人）
1
3
a
7
b
【分析數(shù)據(jù)】七、八年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
77.5
75
85
八年級
79.5
c
85
根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：
（1）填空：a＝______，b＝______，c＝______；
（2）已知該校七、八年級共有1200位學(xué)生，為表揚在這次競賽中表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生，該校決定給兩個年級競賽成績在80分及以上的學(xué)生頒發(fā)獎狀，請估計需要準備多少張獎狀？
（3）該校決定從七、八年級競賽獲得100分的4名學(xué)生（其中七年級2位，八年級2位）中隨機選取2位學(xué)生參加市級競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求選中的兩位學(xué)生恰好在同一年級的概率．
【答案】（1）4，5，80
（2）630張 （3）
【解析】
【分析】（1）由八年級學(xué)生的分數(shù)得出，的值，再由中位數(shù)的定義得出的值；
（2）該校七八年級參加此次測試的學(xué)生人數(shù)乘以兩個年級競賽成績在80分及以上的學(xué)生人數(shù)所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖，根據(jù)概率公式計算即可．
【小問1詳解】
由八年級學(xué)生的分數(shù)可得：的學(xué)生有4名，的學(xué)生有5名，
將八年級學(xué)生的成績按照從小到大排列為：55，60，60，65，70，75，75，75，80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，100，100，成績在第10和第11位的都為80分，故中位數(shù)為．
故答案為：4，5，80．
【小問2詳解】
張，
故估計需要準備630張獎狀．
【小問3詳解】
七年級2名學(xué)生記為A、B，八年級2名學(xué)生記為C、D，畫樹狀圖如圖：

共同12種等可能性的結(jié)果，其中選中兩位學(xué)生恰好在同一年級的結(jié)果有4種，
∴選中的兩位學(xué)生恰好在同一年級的概率為．
【點睛】本題考查了畫樹狀圖求概率，中位數(shù)，頻數(shù)分布表，用樣本估計總體等，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
18. 飛盤運動由于門檻低、限制少，且具有較強的團體性和趣味性，在全國各地悄然興起，深受年輕人喜愛，某商家擬用620元購進30個海綿飛盤和50個橡膠飛盤，已知橡膠飛盤的進貨單價比海綿飛盤的進價單價多6元．
（1）海綿飛盤和橡膠飛盤的進貨單價分別是多少元
（2）由于飛盤暢銷，商家決定再購進這兩種飛盤共300個，其中橡膠飛盤數(shù)量不多于海綿飛盤數(shù)量的2倍，且每種飛盤的進貨單價保持不變，若橡膠飛盤的銷售單價為14元，海綿的銷售單價為6元，試問第二批購進橡膠飛盤多少個時，全部售完后，第二批飛盤獲得利潤最大？第二批飛盤的最大利潤是多少元？
【答案】（1）海綿飛盤和橡膠飛盤的進貨單價分別是4元和10元
（2）第二批購進橡膠飛盤100個時，全部售完后，第二批飛盤獲得利潤最大，第二批飛盤的最大利潤是800元
【解析】
【分析】（1）設(shè)海綿飛盤每個x元，則橡膠飛盤每個元，然后根據(jù)用620元購進30個海綿飛盤和50個橡膠飛盤列出方程求解即可；
（2）設(shè)第二批購進橡膠飛盤m個，利潤為w元，則購進海綿飛盤個，然后根據(jù)利潤單件利潤數(shù)量列出w關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)橡膠飛盤數(shù)量不多于海綿飛盤數(shù)量的2倍求出m的取值范圍，即可利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)海綿飛盤每個x元，則橡膠飛盤每個元，
由題意得，，
解得，
∴，
∴海綿飛盤和橡膠飛盤的進貨單價分別是4元和10元；
【小問2詳解】
解：設(shè)第二批購進橡膠飛盤m個，利潤為w元，則購進海綿飛盤個，
由題意得，，
∵橡膠飛盤數(shù)量不多于海綿飛盤數(shù)量的2倍，
∴，
∴，
∵，
∴w隨m增大而增大，
∴當時，w最大，最大值為元，
∴第二批購進橡膠飛盤100個時，全部售完后，第二批飛盤獲得利潤最大，第二批飛盤的最大利潤是800元．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際運用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際運用，正確理解題意列出對應(yīng)的方程和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
19. 在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖1，兩個固定長度的“連桿”，的連接點在上，當點在上轉(zhuǎn)動時，帶動點，分別在射線，上滑動，．當與相切時，點恰好落在上，如圖2．

請僅就圖2的情形解答下列問題．
（1）求證：；
（2）若的半徑為，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角，找到角與角之間的等量關(guān)系，再通過等量代換即可證明；
（2）添加輔助線后，證明三角形相似，得到對應(yīng)角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角邊長，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解．
【詳解】解：（1）證明：連接，取軸正半軸與交點于點，如下圖：

，
為的外角，
，
，
，
．
（2）過點作的垂線，交與點，如下圖：

由題意：
在中，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
由圓的性質(zhì)，直徑所對的角為直角；
在中，由勾股定理得：
，
即．
【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理、特殊角度的正切值，解答的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的知識點，會添加適當?shù)妮o助線，找到角與角、邊與邊的等量關(guān)系，通過等量代換，利用勾股定理建立等式求解．
20. 綜合實踐】
如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂，如圖，即），受桔槔的啟發(fā)，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點O距左端，距右端，在杠桿左端懸掛重力為的物體A．
（1）若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時，重物B所受拉力為______．

（2）為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準備調(diào)整裝置，當重物B的質(zhì)量變化時，的長度隨之變化．設(shè)重物B的質(zhì)量為，的長度為．則①y關(guān)于x的函數(shù)解析式是______．
②完成下表：

…
10
20
30
40
50
…

…
8
a

2
b
…
③在直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象．

（3）在（2）的條件下，將函數(shù)圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖像組成一個新的函數(shù)圖象，記為L．若點A的坐標為，在L上存在點Q，使得．請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．
【答案】（1）
（2）①；②見解析；③見解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式進行計算即可；
（2）①根據(jù)公式即可得到；②根據(jù)（2）①所求求出a、b的值即可；③先描點，再連線，畫出函數(shù)圖象即可；
（3）先根據(jù)面積求出點Q的縱坐標，再根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)和平移的性質(zhì)求出點Q的坐標即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴
∴重物B所受拉力為，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：①∵，
∴，即，
故答案為：；
②由（2）①得，
填表如下：

…
10
20
30
40
50
…

…
8
4

2

…
③函數(shù)圖象如下所示：
【小問3詳解】
解：∵點A的坐標為，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，當時，
∴在函數(shù)上滿足題意的Q的坐標為，
∵將函數(shù)圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖像組成一個新的函數(shù)圖象，記為L，
∴點，即也在L上，即滿足題意的Q的坐標為；
綜上所述，點Q的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際運用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
21. 根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
探究遮陽傘下的影子長度
素材1
圖1是某款自動旋轉(zhuǎn)遮陽傘，傘面完全張開時張角呈，圖2是其側(cè)面示意圖．已知支架AB長為2.5米，且垂直于地面BC，懸托架米，點E固定在傘面上，且傘面直徑DF是DE的4倍．當傘面完全張開時，點D，E，F(xiàn)始終共線．為實現(xiàn)遮陽效果最佳，傘面裝有接收器可以根據(jù)太陽光線的角度變化，自動調(diào)整手柄D沿著AB移動，以保證太陽光線與DF始終垂直．

素材2
某地區(qū)某天下午不同時間的太陽高度角（太陽光線與地面的夾角）參照表：
時刻
12點
13點
14點
15點
16點
17點
太陽高度（度）
90
75
60
45
30
15
參考數(shù)據(jù)：，．

素材3
小明坐在露營椅上的高度（頭頂?shù)降孛娴木嚯x）約為1米．如圖2，小明坐的位置記為點Q．
問題解決
任務(wù)1
確定影子長度
某一時刻測得米，請求出此時影子的長度．
任務(wù)2
判斷是否照射到
這天14點，小明坐在離支架3米處的Q點，請判斷此時小明是否會被太陽光照射到？
任務(wù)3
探究合理范圍
小明打算在這天14：00－15：00露營休息，為保證小明全程不被太陽光照射到，請計算的取值范圍．

【答案】任務(wù)1：米；任務(wù)2：會被照射到；任務(wù)3：
【解析】
【分析】（1）先過點E作于點I，過點G作于點J，再求出，從而得出?？勺C，最后利用三角函數(shù)即可得出的長度
（2）過點Q作交于點P，因為14點時，此時，通過三角函數(shù)即可求出的長度，在作比較即可
（3）過點Q作交于點P，14：00－15：00時，在45°到60°之間，通過三角函數(shù)分別求出兩種極端情況下的長度，即為的取值范圍
【詳解】解（1）如圖1，過點E作于點I，過點G作于點J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，四邊形為矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，（米）．

（2）方法1：
如圖2，過點Q作交于點P．
由（1）知，，
∵．
∴在中，，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∵在中，當時，，
∴小明剛好被照射到時離B點的距離為，
∴小明會被照射到．

方法2：
如圖2，過點Q作交FH于點P．
與方法1同理得，得，，
∴．
在中，．
∴小明會被照射到．
（3）當時，．
當時，．
∴．
【點睛】本題主要考查真實情景下的三角函數(shù)的實際運用，熟練掌握三角函數(shù)是解題關(guān)鍵
22. 在四邊形中，E是上一點，連接，將沿翻折得到，落在對角線上．將繞點A旋轉(zhuǎn)，使得落在直線上，點C的對應(yīng)點為M，點E的對應(yīng)點為N．
（1）【特例探究】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，當四邊形是正方形，且旋轉(zhuǎn)角小于時，會有，請你證明這個結(jié)論；
（2）【再探特例】如圖2，當四邊形是菱形，且旋轉(zhuǎn)角小于時，若，．連接交于點．求長；

圖1 圖2
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，當四邊形是矩形時，當?shù)近c、點的距離，兩段距離比為時，請直接寫出的值．

圖3 備用圖
【答案】（1）見解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，推得，，，根據(jù)全等三角形的判定即可求證；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)可得，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，推得是的角平分線，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)等角對等邊可得，根據(jù)勾股定理即可求得；
（3）當時，，令，則，根據(jù)勾股定理可得，求得，根據(jù)正弦的定義可得，即可求得；當時，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，即該情況不存在
【小問1詳解】
∵四邊形是正方形，是對角線，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，，
又∵繞點A旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
又∵，，
∴，
同理，
又∵，，
∴，
∴．
【小問2詳解】
∵四邊形是菱形，是對角線，，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，，，
又∵繞點A旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
即是的角平分線，
又∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，，
即，
解得．
【小問3詳解】
當時，如圖：

即，
令，則，
在中，，
∴，
即，
故，
∴．
當時，
∵是矩形的對角線，
∴，，
∵，，三點共線，且，，
故，即該情況不存在．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理，正弦的定義，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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