?專題30 根據(jù)步驟列出離散型隨機(jī)變量的分布列
一、解答題
1．垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化、減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計算得，，，，.
（1）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；
（2）求關(guān)于的線性回歸方程；
（3）某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機(jī)器，其中甲款機(jī)器每臺售價100萬元，乙款機(jī)器每臺售價80萬元，下表是以往兩款垃圾處理機(jī)器的使用年限統(tǒng)計表：

1年
2年
3年
4年
合計
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，某縣城每年可獲得政府支持的垃圾處理費(fèi)用為50萬元，若僅考慮購買機(jī)器的成本和每臺機(jī)器的使用年限（使用年限均為整年），以頻率估計概率，該縣城選擇購買一臺哪款垃圾處理機(jī)器更劃算？
參考公式：相關(guān)系數(shù)，對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.
【答案】（1）因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)接近，所以與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；（2）；（3）甲款.
【分析】
（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計算公式及參考數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)參考公式及參考數(shù)據(jù)即可求解；
（3）分別求出從兩款機(jī)器中購買一臺節(jié)的政府支持的拉圾外理費(fèi)用的分布列，然后分別求出期望，比較即可得出結(jié)果
【詳解】


解（1）由題意知相關(guān)系數(shù)，
因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)接近，
所以與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合.
（2）由題意可得，，
，
所以.
（3）以頻率估計概率，購買一臺甲款垃圾處理機(jī)器節(jié)約政府支持的垃圾處理費(fèi)用（單位：萬元）的分布列為：


0
50
100





（萬元）.
購買一臺乙款垃圾處理機(jī)器節(jié)約政府支持的垃圾處理費(fèi)用（單位：萬元）的分布列為：


20
70
120





（萬元）.
因?yàn)?，所以該縣城選擇購買一臺甲款垃圾處理機(jī)器更劃算.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：
求解回歸直線方程時，一般根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計算變量的平均值，根據(jù)最小二乘法，結(jié)合公式求解.
2．某電子產(chǎn)品加工廠購買配件并進(jìn)行甲、乙兩道工序處理，若這兩道工序均處理成功，則該配件加工成型，可以直接進(jìn)入市場銷售；若這兩道工序均處理不成功，則該配件報廢；若這兩道工序只有一道工序處理成功，則該配件需要拿到丙部門檢修，若檢修合格，則該配件可以進(jìn)入市場銷售，若檢修不合格，則該配件報廢．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，對于任一配件，甲、乙兩道工序處理的結(jié)果相互獨(dú)立，且處理成功的概率分別為，，丙部門檢修合格的概率為．
（1）求該工廠購買的任一配件可以進(jìn)入市場銷售的概率．
（2）已知配件的購買價格為元/個，甲、乙兩道工序的處理成本均為元/個，丙部門的檢修成本為元個，若配件加工成型進(jìn)入市場銷售，售價可達(dá)元/個；若配件報廢，要虧損購買成本以及加工成本．若市場大量需求配件的成型產(chǎn)品，試估計該工廠加工個配件的利潤．（利潤售價購買價格加工成本）
【答案】（1）；（2）萬元．
【分析】
（1）根據(jù)題意分析出哪種情形下配件可進(jìn)入市場銷售，利用相互獨(dú)立事件的概率計算公式進(jìn)行求解即可；
（2）先設(shè)工廠加工5000個配件的利潤為元，加工一個配件的利潤為元，則，再求出的所有可能取值及其對應(yīng)的概率，進(jìn)而可得的期望，最后利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)即可得解．
【詳解】
（1）記任一配件加工成型可進(jìn)入市場銷售為事件，甲、乙兩道工序分別處理成功為事件，，丙部門檢修合格為事件．
則．
（2）設(shè)該工廠加工個配件的利潤為元，加工一個配件的利潤為元，則．
由題可知的所有可能取值為，，，，
則，
，
，
．
的分布列為

104
88







∴，
∴.
∴估計該工廠加工個配件的利潤為萬元．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題第（2）問的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出離散型隨機(jī)變量的所有取值及其對應(yīng)的概率，并且在求出分布列后，注意運(yùn)用分布列的兩個性質(zhì)（①，；②）檢驗(yàn)所求的分布列是否正確；（2）在求出后，會利用期望的性質(zhì)求．
3．某生物研究所為研發(fā)一種新疫苗，在200只小白鼠身上進(jìn)行科研對比實(shí)驗(yàn)，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

未感染病毒
感染病毒
總計
未注射疫苗
35


注射疫苗
65


總計
100
100
200
現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為．
（1）能否有的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？
（2）現(xiàn)從感染病毒的小白鼠中任意抽取2只進(jìn)行病理分析，記注射疫苗的小白鼠只數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．
附：，

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效；（2）概率分布見解析，．
【分析】
（1）根據(jù)題中條件，先得出，，，，由公式求出，結(jié)合臨界值表，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，得到的所有可能取值為0，1，2；分別求出對應(yīng)的概率，即可得出分布列，以及期望.
【詳解】
（1）由條件知，，，，
，
所以有99.9%的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效．…
（2）由題意，的所有可能取值為0，1，2．
，，，
所以的概率分布為

0
1
2




數(shù)學(xué)期望．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于?？碱}型.

4．某市高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷解答題的網(wǎng)上評卷采用“雙評仲裁”的方式：兩名老師獨(dú)立評分，稱為一評和二評，當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的絕對值小于或等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的絕對值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對值相同時，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分．有的學(xué)生考試中會做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規(guī)范，比如：語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等等，把這樣的解答稱為“缺憾解答”．該市教育研訓(xùn)部門通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，滿分為12分的題目，這樣的“缺憾解答”，閱卷老師所評分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如表：
教師評分
11
10
9

分?jǐn)?shù)所占比例



將這個表中的分?jǐn)?shù)所占比例視為老師對滿分為12分題目的“缺憾解答”所評分?jǐn)?shù)的概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響．
已知一個同學(xué)的某道滿分為12分題目的解答屬于“缺憾解答”．
（1）求該同學(xué)這個題目需要仲裁的概率；
（2）求該同學(xué)這個題目得分的分布列及數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）．
（1）；（2）答案見解析.
【分析】
（1）首先設(shè)表示事件：“該同學(xué)這個解答題需要仲裁”，設(shè)一評、二評所打分?jǐn)?shù)分別為，，由題設(shè)知事件的所有可能情況有：，或，由此能求出該同學(xué)這個題目需要仲裁的概率．
（2）隨機(jī)事件的可能取值為9，9.5，10，10.5，11，設(shè)仲裁所打分?jǐn)?shù)為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【詳解】
（1）記表示事件：“該同學(xué)這個解答題需要仲裁”，設(shè)一評、二評所打分?jǐn)?shù)分別為，，
由題設(shè)知事件的所有可能情況有：，或，
（A）．
（2）隨機(jī)事件的可能取值為9，9.5，10，10.5，11，設(shè)仲裁所打分?jǐn)?shù)為，
則，
，
，

，
，
的分布列為：

9
9.5
10
10.5
11






．
【點(diǎn)睛】
易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：概率問題一般都是背景習(xí)題，所以第一步注意審題，避免因?qū)忣}不清楚，造成錯誤，第二個錯誤就是寫隨機(jī)變量時，要做到準(zhǔn)確，并理解每一個事件表示的意義，才能正確求概率，屬于中檔題．
5．為研究一種新藥的耐受性，要對白鼠進(jìn)行連續(xù)給藥后觀察是否出現(xiàn)癥狀的試驗(yàn)，該試驗(yàn)的設(shè)計為：對參加試驗(yàn)的每只白鼠每天給藥一次，連續(xù)給藥四天為一個給藥周期，試驗(yàn)共進(jìn)行三個周期．假設(shè)每只白鼠給藥后當(dāng)天出現(xiàn)癥狀的概率均為，且每次給藥后是否出現(xiàn)癥狀與上次給藥無關(guān)．
（1）從試驗(yàn)開始，若某只白鼠連續(xù)出現(xiàn)次癥狀即對其終止試驗(yàn)，求一只白鼠至少能參加一個給藥周期的概率；
（2）若在一個給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)次癥狀，則在這個給藥周期后，對其終止試驗(yàn)，設(shè)一只白鼠參加的給藥周期數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，.
【分析】
（1）利用“正難則反”思想，計算一個給藥周期也沒有參加完的概率，則至少能參加一個給藥周期的概率為；
（2）先計算出一個給藥周期內(nèi)至少出現(xiàn)次癥狀的概率，然后根據(jù)題目條件確定隨機(jī)變量的可能取值，分別計算每一個值所對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
解：（1）設(shè)“一只白鼠至少能參加一個給藥周期”為事件，則的對立事件為一個給藥周期也沒有參加完．
設(shè)一次給藥出現(xiàn)癥狀為事件，則一個給藥周期也沒有參加完的概率為，
所以一只白鼠至少能參加一個給藥周期的概率為．
（2）設(shè)事件為“在一個給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)次癥狀”，
則，
則隨機(jī)變量的取值為．
，
，
，
所以X的分布列為








所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．
【點(diǎn)睛】
本題考查概率的乘法公式及加法公式，考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望計算，難度一般.解答時易錯點(diǎn)如下：
（1）每次給藥相互獨(dú)立；
（2）在解答第（2）小題時，注意若前一個給藥周期能通過，才可以參加下一個給藥周期.
6．第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ (單位:g )服從正態(tài)分布N (270， ).比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進(jìn)行11場比賽(采取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規(guī)則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積3分，負(fù)隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分，負(fù)隊積1分.已知第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設(shè)每局比賽中國隊取勝的概率為p(0

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