新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)百題必刷題專題33 參變分離解決導(dǎo)數(shù)（含解析）

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?專題33 參變分離解決導(dǎo)數(shù)必刷100題
一、單選題
1．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依題意可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】
解：因?yàn)?，定義域?yàn)椋?br /> 因?yàn)楹愠闪?，即在上恒成立?br /> 令，則，
令，則恒成立，即在定義域上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，即最大值，
，所以，即.
故選：A.
2．已知函數(shù)，若，使得在恒成立，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
首先參變分離得，再設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，再設(shè)，再求導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)恒正，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并判斷的極值點(diǎn)所在的區(qū)間，求得函數(shù)的最小值，同時(shí)求得的最大值.
【詳解】
依題意，，令，則．令，，∴時(shí)，，即單調(diào)遞增，
∵，，設(shè)并記其零點(diǎn)為，故．且，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增，所以，因此，由于且，即，所以，
故選:C
3．已知函數(shù)為增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
函數(shù)為增函數(shù)，可得，化為，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
【詳解】
∵函數(shù)為增函數(shù)，
∴，化為，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可得時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，，
∴.
∴a的取值范圍是.
故選：A.
4．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由題意得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，
即，構(gòu)造函數(shù)，則，
所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
則對(duì)任意的恒成立，，
令，其中，則.
，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.
所以，函數(shù)的最小值為，.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
5．若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通過(guò)分離參數(shù)變成，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間和值域，數(shù)形結(jié)合寫(xiě)出的取值范圍.
【詳解】
故
則

設(shè)，
故
在上為減函數(shù)，.
故時(shí)；時(shí).
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
，
且時(shí)；時(shí)
與的圖象要有兩個(gè)交點(diǎn)
則的取值范圍為.
故選：B
6．已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意將函數(shù)與的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩解，令新的函數(shù)，求導(dǎo)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值，則可得的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以，即有兩解，則有兩解，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，所以，所以，的取值范圍為.
故選：A.
7．已知函數(shù)函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
函數(shù)存在零點(diǎn)，即方程有解，當(dāng)時(shí)，，求得函數(shù)的值域，即為實(shí)數(shù)的取值范圍，當(dāng)時(shí)，，求得函數(shù)的值域，即為實(shí)數(shù)的取值范圍，最后取并集即為所求.
【詳解】
解：令，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
因?yàn)?，所以?br /> 則；
當(dāng)時(shí)，，即，
令，則，
所以在遞增，在遞減，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，且，
所以，即，
綜上所述：.
故選：B.
8．已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，參變分離，構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值即可.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，且，所以?br /> 故選：D.
9．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】
由得，，令，作出其在上的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.
【詳解】
由得，即，.
令，，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；
所以，
又，，且，
作出，的簡(jiǎn)圖，
由圖可知，要使的圖象與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，
所以，當(dāng)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的最大值為.
故選：A.

10．已知a為常數(shù)，若曲線y＝ax2＋3x?ln x存在與直線x＋y?1＝0垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C．[?1，＋∞) D．(?∞，?1]
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意，曲線存在與直線垂直的切線，轉(zhuǎn)化為有正根，分離參數(shù)，求最值，即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：令，
由題意，斜率是，則與直線垂直的切線的斜率是1，
有解
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 有正根，
，
有正根
有正根

，
．
故選：A．
11．已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由題意可得在上能成立，利用參變分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.
【詳解】
由題意可得在上能成立，
所以在上能成立，
令，則，
令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，即，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，
故選：B.
12．已知函數(shù)（）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由，得，令，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“若圖象與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍”.
利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值，作出的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.
【詳解】
令，顯然，所以，
令（），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“若圖象與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍”.
，令，解得，
當(dāng)或時(shí)，，在，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
在處取極小值，作出的簡(jiǎn)圖，

由圖可知，要使直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
13．設(shè)，在上有3個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由方程分離參數(shù)并換元成，利用函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)公共點(diǎn)即可得解.
【詳解】
由得，而，
令，于是得，
令，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，取得極大值，
作出函數(shù)在上的圖象及直線，如圖，

方程在上有3個(gè)根，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，
觀察圖象知，函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
14．已知函數(shù)，，若，且對(duì)任意恒成立，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由不等式，參變分離為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.
【詳解】
，即.由于對(duì)任意恒成立，
所以，即.令，，.
令，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，所以在上單調(diào)遞增.
所以.
又，所以.
故選：B.
15．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，通過(guò)分離參數(shù)得，換元，令，則，則，構(gòu)造函數(shù)并通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而得出；同理當(dāng)時(shí)，得出；當(dāng)時(shí)，可知恒成立；綜合三種情況即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
解：由題可知，時(shí)，不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，得，
令，則，，
令，，
則，顯然在上，，
所以單調(diào)遞減，，因此；
當(dāng)時(shí)，得，
令，則，，
令，，
則，顯然在上，，
所以單調(diào)遞減，，因此；
由以上兩種情況得：.
顯然當(dāng)時(shí)，得恒成立，
綜上得：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
16．已知，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
將參數(shù)分離到不等式的一邊，將不等式的另一邊視為函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值，最后求解實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】
由對(duì)任意，不等式恒成立，
得對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立．
因?yàn)?，所以?br /> 令，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
所以，故，解得．
或：令，則由知，不等式可化為，
故當(dāng)時(shí)，恒成立，
即當(dāng)時(shí)，恒成立．
令，則，
顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以，故，解得．
故選：C.
17．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求導(dǎo)，由題意可得恒成立，即為，設(shè)，即，分，，三種情況，分別求得范圍，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
由函數(shù)得，由題意可得恒成立，即為，
設(shè)，即，
當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最小值1，可得，
當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最小值，可得，
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：A.
18．設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，進(jìn)行參變分離得，設(shè)，將問(wèn)題等價(jià)于y = a與在有兩個(gè)交點(diǎn).求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，從而作出圖象和最值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可得選項(xiàng).
【詳解】
令，即，解得，設(shè)，
所以在有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y = a與在有兩個(gè)交點(diǎn).
因?yàn)椋?，所以?0，e)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.
如圖所示，畫(huà)出的大致圖象。
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)， y = a與在有兩個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)在有兩個(gè)零點(diǎn).

故選：D.
19．已知關(guān)于x的方程在上有兩解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用參變量分離法可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩解，進(jìn)而可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【詳解】
由已知可得在上有兩解，
令，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
令，則，
因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又，
所以，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
故選：B
20．函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分離參數(shù)后將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】
函數(shù)定義域?yàn)椋?br /> 由
得
設(shè)
令得，
時(shí)，單調(diào)遞增；
時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，取極大值.
，
要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即方程右有兩個(gè)不同的根，
即函數(shù)與有兩個(gè)不同交點(diǎn).

即
故選: B.
21．已知對(duì)任意正數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】
分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值.
【詳解】
由對(duì)任意正數(shù)恒成立，
得，
令，則，
由得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).）
所以，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，所以的最大值為2.
故選：C．
22．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式的解集非空，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集非空，等價(jià)于的解集非空，即存在解，只需，構(gòu)造函數(shù)，，求出最大值即可.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集非空，等價(jià)于的解集非空，即存在解，只需.
令，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.
所以，
所以.
故選：C.
23．已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由題意得，可求得，從而可得，則對(duì)任意的，不等式恒成立，分，，三種情況通過(guò)分離變量轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題分別求得的范圍，最后取交集得的范圍，進(jìn)而可得的最大值.
【詳解】
由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線與直線垂直，
所以，則，所以，
對(duì)，即,
①當(dāng)時(shí)，顯然.
②當(dāng)時(shí)，恒成立.
令，則.
時(shí)，恒成立.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，， 單調(diào)遞減，
所以在內(nèi)的最小值為，故.
③當(dāng)時(shí)，恒成立.
當(dāng)時(shí)，顯然，
由②知，因?yàn)?，所以由?
令，顯然在單調(diào)遞增，又，，
所以存在使得，即.
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
所以在內(nèi)的最大值為，故.
綜合①②③可知，故實(shí)數(shù)的最大值為3.
故選：C
24．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
設(shè)，可將簡(jiǎn)化，利用參變分離來(lái)求解.
【詳解】
有解，即，設(shè)，則，不等式轉(zhuǎn)化成在時(shí)有解，則有解，記，則，再令，
則，那么在時(shí)遞增，所以，于是，在時(shí)遞增，故，記，，于是有解，只需要.
故選：C
25．已知不等式對(duì)恒成立，則取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的最小值，即可得到答案.
【詳解】
不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，，而在單調(diào)遞增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.
則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.所以
根據(jù)，
所以，所以.
故選：A.

第II卷（非選擇題）

二、填空題
26．已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【分析】
首先不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求，即可求得結(jié)果.
【詳解】
由條件可知，恒成立，即恒成立，
即，
設(shè)，，設(shè)，
，單調(diào)遞減，
令，設(shè)，
即，解得：，
即，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，
所以.
故答案為：
27．若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
采用分離參數(shù)法，可得，再令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)最小值和單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.
【詳解】
解：令
則，
令，
則由知，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
且，，.
，，
，
作出函數(shù)的圖像，如下圖所示：

所以函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
28．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________．
【答案】
【詳解】
試題分析：由題設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)可得方程在區(qū)間內(nèi)有兩根.即在區(qū)間內(nèi)有兩根,也即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因,故當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,其最小值為,而,且,故當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).應(yīng)填.
29．已知函數(shù)，若不等式有解，則整數(shù)的最小值為_(kāi)_______.
【答案】
【分析】
由函數(shù)解析式及不等式，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，經(jīng)過(guò)兩次求導(dǎo)，可判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知存在使得，再求出的范圍，進(jìn)而由不等式有解，即可求得整數(shù)的最小值.
【詳解】
函數(shù)，，
且不等式有解，
所以，即有解，
只需，
令，，
則，設(shè)
則，
即在內(nèi)單調(diào)遞增，
而，
，
所以存在使得，
而當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，即為最小值.
此時(shí)，
，
設(shè)，
恒成立，
單調(diào)遞增，
，即，
又因?yàn)?，?br /> 而，所以整數(shù)的最小值為.
故答案為：.
30．已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】
原不等式可化為，當(dāng)時(shí)，該不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，從而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可求出，令即可.
【詳解】
由題意，不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，
令，，則，
求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
31．已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】
首先由，，求的取值范圍，再利用參變分離變形為恒成立，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
解：依題意，知，即對(duì)任意恒成立，從而，因此由原不等式，得恒成立．令，則．令，得．當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
32．已知函數(shù)，，，若對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將當(dāng)時(shí)，恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可得則在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，再通過(guò)參變分離把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題即可.
【詳解】
因?yàn)?，所以，且，所以，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，而，所以在上恒成立，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為.
33．定義在R上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)x使不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____________．
【答案】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，進(jìn)而存在實(shí)數(shù)x使不等式對(duì)任意恒成立等價(jià)于不等式對(duì)任意恒成立，然后分類參變分離即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x使不等式對(duì)任意恒成立，
所以，
而，則，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，
所以時(shí)，，即，故單調(diào)遞減；時(shí)，，即，故單調(diào)遞增；所以在處取得極小值也是最小值，故
，
因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意恒成立，
時(shí)，不等式恒成立；
時(shí)，不等式等價(jià)于；令，則，故在上單調(diào)遞增，故，所以，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
34．已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】
參變分離，可得，設(shè)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得
，即得解
【詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以不等式可化為，
設(shè)，則，
設(shè)，由于
故在上單調(diào)遞增，且，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，則，即.
故答案為：
35．已知函數(shù)，對(duì)一切，恒成立，則的取值范圍是________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，通過(guò)分離參數(shù)法得出在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，求出，進(jìn)而求得的取值范圍.
【詳解】
解：由題可知，，即，
得在上恒成立，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
∴，
∴，
即的取值范圍是.
故答案為：.
36．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ln x，若關(guān)于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
【答案】(－∞，e2－2]
【分析】
有解問(wèn)題通過(guò)參變分離，求函數(shù)最值即可.
【詳解】
由f(x)－m≥0得f(x)≥m，
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，，
此時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(1)≤f(x)≤f(e).
即1≤f(x)≤e2－2，
要使f(x)－m≥0在[1，e]上有實(shí)數(shù)解，則有m≤e2－2.
故答案為：(－∞，e2－2]
37．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍______.
【答案】
【分析】
利用分離參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)研究函數(shù)，利用單調(diào)性求得零點(diǎn)，設(shè)，再利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)求得a的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)椋詫?duì)任意的，恒成立，等價(jià)于在上恒成立.
令，則只需即可，則，
再令，則，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br /> 所以有唯一的零點(diǎn)，且，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br /> 所以，即，，
所以，則有，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
38．若存在使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在軸下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________ .
【答案】
【分析】
先將看作自變量求出的最小值為，進(jìn)而參變分離得到，令，求出的最大值即可求出結(jié)果.
【詳解】
由題意可得，
設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，由題意可知即可，故，
設(shè)，則，
令，則或，所以和時(shí)，，故單調(diào)遞增，時(shí)，，故單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值，所以時(shí)，，，
，
，
故在上的最大值為，
所以，即，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：.
39．當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為_(kāi)___________.
【答案】
【分析】
先分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分兩種情況討論，再用極限思想結(jié)合洛必達(dá)法則求出答案即可，注意最后取交集.
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，恒成立，則，
當(dāng)，即時(shí)，，對(duì)任意a都成立，
當(dāng)，即時(shí)，則，
設(shè)，，
則，
設(shè)，，
則恒成立，
在上單調(diào)遞增，
，
，
在上單調(diào)遞增，
，
根據(jù)洛必達(dá)法則可得
，
，
綜上所述的取值范圍為，.
故答案為：，.
40．關(guān)于不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】/
【分析】
根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)討論的范圍可得函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合圖像與已知條件即可求解.
【詳解】
①當(dāng)時(shí)，原不等式不成立；
②當(dāng)時(shí)，由恰有一個(gè)整數(shù)解，得恰有一個(gè)整數(shù)解.
令，則，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，易得不可能只有一個(gè)整數(shù)解，故不滿足；
③當(dāng)時(shí)，由恰有一個(gè)整數(shù)解，得恰有一個(gè)整數(shù)解.
由②可知，易得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故.
又因，且恰有一個(gè)整數(shù)解，所以，即.
綜上，.
故答案為：.
41．已知函數(shù)，若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.
【答案】
【分析】
先求得函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，且在為遞減函數(shù)，把不等式的恒成立，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得到且在上恒成立，分別設(shè)函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.
【詳解】
由函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又由，
所以函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，
所以，
即不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)
根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
由，可得，整理得且，
即且在上恒成立，
設(shè)，可得，其中，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以.
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，所以，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
42．已知函數(shù)（）.若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
由可構(gòu)造函數(shù)，則即恒成立，轉(zhuǎn)化為，再求的最值即可.
【詳解】
由得,設(shè)，則存在，使得成立，
即成立.所以成立，所以成立，
又令，，所以時(shí)， 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，
故答案為：.
43．已知函數(shù)，.若，不等式恒成立，則的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
由題意知，，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立，經(jīng)過(guò)變形可得只需滿足對(duì)任意恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，則對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而得到關(guān)于與的不等式，利用分離參數(shù)法得到，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求其最值即可求解.
【詳解】
因?yàn)?，不等式恒成立?br /> 所以對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
所以對(duì)任意恒成立，
令，，
則，
所以，即，
因?yàn)?，?br /> 所以在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以由可得，，即，
因?yàn)?，所以，所以可得?br /> 令，則，
令可得，，
當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)有最小值為，所以，即，
因?yàn)?，所以的取值范圍?
故答案為：
44．若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
令，即，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，由遞增，由零點(diǎn)存在性定理可知存在使，可得，，代入，得關(guān)于的不等式，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，再由，求的最大值.
【詳解】
令，所有，
有意義，所以，所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，
所以使得，
并且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，且
所以，，
所以，

，
所以，
考慮函數(shù)，
其中，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋越?，得到，所以?br /> 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的最大值為.
故答案為：
45．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__．
【答案】
【分析】
由題意可得對(duì)恒成立，討論，，，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，可得所求范圍．
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
即為對(duì)恒成立，
①當(dāng)即時(shí)，恒成立；
②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，
等價(jià)為，
設(shè)，
，
可得時(shí)，，遞增；時(shí)，，遞減，
可得在處取得最大值，且為，
則；
③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，
等價(jià)為，
設(shè)，，
可得時(shí)，，遞減，
可得，
則，
綜上可得，k的范圍是．
46．已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】
因?yàn)榈膱D象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)等價(jià)于或恒成立，利用參變分離法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.
【詳解】
解：因?yàn)榈膱D象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)
等價(jià)于或恒成立，
即或恒成立，
即或恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值同時(shí)也是最小值，
設(shè)，易知在上為減函數(shù)，
則的最大值為，故的最小值，
①若，則；
②若恒成立，則不成立，
綜上，．
故答案為：．
47．不等式對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為只對(duì)于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，利用放縮法，得出，化簡(jiǎn)后得出，即可得出的取值范圍.
【詳解】
解：已知對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立，
即對(duì)于內(nèi)的任意恒成立，
令，則只需在定義域內(nèi)即可，
，
，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由可知，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，
當(dāng)有解時(shí)，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
又，，
使得，
，
則，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
48．已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】
先將不等式變形為，
再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為
，然后求出函數(shù)的最大值，即解出．
【詳解】
可變?yōu)椋?br /> 再變形可得，，設(shè)，原不等式等價(jià)于
，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，而，，
當(dāng)時(shí)，，所以由可得，，
因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，即．
當(dāng)時(shí)，不等式在恒成立；
當(dāng)時(shí)，，無(wú)論是否存在，使得在上恒成立，都可判斷實(shí)數(shù)m的最小值為．
故答案為：．
49．若時(shí)，關(guān)于不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是______.
【答案】
【分析】
對(duì)分類討論，當(dāng)時(shí)，不等式顯然恒成立. 當(dāng)時(shí)，對(duì)不等式進(jìn)行變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，最后分離參數(shù)，即可求出的范圍，進(jìn)而求出的最大值.
【詳解】
當(dāng)，時(shí)，不等式顯然恒成立.
當(dāng)時(shí)， .
由于，即.
所以原不等式恒成立，等價(jià)于恒成立.
構(gòu)造函數(shù)，.
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
則原不等式等價(jià)于要證.
因?yàn)?，要使?shí)數(shù)的最大，則應(yīng).
即. 記函數(shù)，則.
易知，.
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.
因此只需.
綜上所述，實(shí)數(shù)的最大值是.
故答案為：
50．已知函數(shù)滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．
【答案】
【分析】
化簡(jiǎn)不等式，并分離變量可得，根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系轉(zhuǎn)化已知條件得，利用換元法及導(dǎo)數(shù)求的最小值，由此可得a的范圍.
【詳解】
∵ 恒成立，
∴ 恒成立.
∴
又
設(shè)，則
∴ 時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)
時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，
又時(shí)，
∴
設(shè)
則恒成立，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，
故
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.

三、解答題
51．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）令，若對(duì)任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)k的最大整數(shù)．
【答案】（Ⅰ）函數(shù)有極小值1，無(wú)極大值；
（Ⅱ）分類討論，詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）7．
【分析】
（Ⅰ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷其單調(diào)性，結(jié)合極值的定義進(jìn)行求解即可；
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性分類討論判斷其單調(diào)性即可；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）求出函數(shù)在時(shí)的最小值，結(jié)合任意性的定義，
問(wèn)題對(duì)任意的，，恒有成立可以轉(zhuǎn)化為，
然后進(jìn)行常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】
（Ⅰ）因?yàn)?，所以，函?shù)的定義域?yàn)?
，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)有極小值，其值為，
函數(shù)沒(méi)有極大值.
即函數(shù)有極小值1，無(wú)極大值；
（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br /> （1）當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
恒成立，則只需恒成立，
則，
，
令，則只需，
則，
，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，
，
即，，
的最大整數(shù)為7．
52．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，直接對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解不等式和，即可求出的單調(diào)區(qū)間；

（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，利用分離參數(shù)法，得出對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】
解：（1）由題可知，，的定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，
，
令，而，則，解得：，
令，而，則，解得：，
的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（2）由于，的定義域?yàn)椋?br /> 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，
對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
令，則，
可知，當(dāng)時(shí)，，即，
即在區(qū)間上，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，
所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
53．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行．
（1）若函數(shù)在[e，2e]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（2）設(shè)，若存在∈[e，e2]，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
根據(jù)，解得，
（1）轉(zhuǎn)化為a≥在[e，2e]上恒成立，利用函數(shù)h(x)＝在[e，2e]上遞減，求出的最大值即可得解；
（2）等價(jià)于存在，使成立，設(shè)，則滿足即可，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得解.
【詳解】
∵f′(x)＝b－a－aln x，∴f′(1)＝b－a，∴b－a＝1－a，∴b＝1．則f(x)＝x－axln x．
（1）∵y＝f(x)在[e，2e]上為減函數(shù)，∴f′(x)＝1－a－aln x≤0在[e，2e]上恒成立，
即a≥在[e，2e]上恒成立．
∵函數(shù)h(x)＝在[e，2e]上遞減，∴，所以.
∴.
（2）
存在，使成立，即成立
因?yàn)椋缘葍r(jià)于存在，使成立
設(shè)，則滿足即可
因?yàn)?br /> ，
，；

，在單調(diào)遞減

-
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
54．設(shè)函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)．可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令求得值，把定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)可得原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由已知轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用的單調(diào)性可求得得的取值范圍．
【詳解】
（1）
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，則，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）函數(shù)；在時(shí)恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
令，則，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，∴，
∴的取值范圍為.
55．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）分類討論，答案見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
(1)求導(dǎo)后，求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行分類討論，判定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)值區(qū)間，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；（2）利用分離參數(shù)法，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求得最小值，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的意義得到的取值范圍.
【詳解】
解：（1），
令，得，．
當(dāng)時(shí)，恒成立，且僅在時(shí)取等號(hào)，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間 ，上，在區(qū)間上．
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）當(dāng)時(shí)，由題意可知，在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，
∴在上單調(diào)遞增，，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
56．已知函數(shù)，.
（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即可得的值；
（2）設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為在上為增函數(shù)，即在上恒成立，參變分離得：，最后根據(jù)二次函數(shù)最值求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）先化簡(jiǎn)不等式，并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，按導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與定義區(qū)間的大小關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最小值，根據(jù)最小值小于即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）由，得.
由題意，，所以.
（2）.
因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立.
問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)，
即在上為增函數(shù)，
所以在上恒成立.即在上恒成立.
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）不等式等價(jià)于，
整理得.構(gòu)造函數(shù)，
由題意知，在上存在一點(diǎn)，使得.
.
因?yàn)?，所以，令，?
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.只需，解得.
②當(dāng)即時(shí)，在處取最小值.
令即，可得.
令，即，不等式可化為.
因?yàn)?，所以不等式左端大?，右端小于等于1，所以不等式不能成立.
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，只需，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
57．已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若實(shí)數(shù)為整數(shù)，且對(duì)任意的時(shí)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在處的切線方程；
（2）等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，利用二次求導(dǎo)求出函數(shù)的最大值，即得解.
【詳解】
（1），
，
，，
在處的切線方程為
即．
（2），即在上恒成立，
在上恒成立，
設(shè)，
則，
顯然，，
設(shè)，則，
故在上單調(diào)遞減，
由，，
由零點(diǎn)定理得，使得，
即，
且時(shí)，，則，
時(shí)，，則．
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
又由，，
則，
由恒成立，且m為整數(shù)，可得m的最小值為1．
58．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求整數(shù)a的最大值.
【答案】（1）的極大值為，無(wú)極小值；（2）4.
【分析】
（1）將代入，先求導(dǎo)，求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷原函數(shù)增減性即可得到答案.
（2）由題意分離參數(shù)得，設(shè)，則所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，求出，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，再得出其范圍，即可求出的最小整數(shù)；
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?
，注意到
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
在時(shí)取得極大值且極大值為，無(wú)極小值.
（2）原不等式恒成立
變形有
即在恒成立.
設(shè)原問(wèn)題等價(jià)于
，令
則，在單調(diào)遞增

由零點(diǎn)存在定理有在存使即
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
，利用


，的最大值為4.
59．設(shè)函數(shù)，
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)對(duì)于任意，且，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（I）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（Ⅱ）．
【分析】
（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后計(jì)算與，即可得單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)題意，設(shè)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，即得成立，然后參變分離求解.
【詳解】
（I）易知的定義域?yàn)镽，
，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．
的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，恒成立，即恒成立，設(shè)，由題意可知，在上單調(diào)遞減，
即在上恒成立；
，
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，
，即
60．已知函數(shù)，，，若函數(shù)的最小值為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）方程在有解，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；
【分析】
（1）求導(dǎo)然后分類討論與兩種情況，求出最小值即可計(jì)算的值；（2）參變分離將等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，然后求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求解最值，即可得的取值范圍.
【詳解】
（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)有最大值，與題意不符；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，可得；
（2）在有解，即在有解，即在有解，設(shè)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以，得，
所以的取值范圍為.
61．已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)在處的切線恰好與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)存在極值，在上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.
【分析】
（1）對(duì)求導(dǎo)，求出斜率，根據(jù)直線垂直的斜率公式列式，進(jìn)而求出的值；
（2）利用求導(dǎo)后二次函數(shù)對(duì)稱軸與的關(guān)系分類討論，分別求出的單調(diào)性；
（3）利用參變分離將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為 恒成立，設(shè)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最大值，從而解得的取值范圍.
【詳解】
解：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> .
，因?yàn)樵谔幍那芯€與直線垂直，則，解得.
（2）由（1）可知，，
令，對(duì)稱軸為，
當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，令，得恒成立，
所以，，
所以在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；
在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（3）由（2）可知，函數(shù)存在極值，則.
對(duì)于，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立.
令，則恒成立.令，，則.令，則，
所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，即，解得.
62．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值并確定在處是取得極大值還是極小值﹔
（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；在處取得極小值；（2）．
【分析】
（1）先求解出，然后根據(jù)求解出的值，將的值帶回，根據(jù)與的大小關(guān)系確定的單調(diào)性，由此確定出是極大值還是極小值；
（2）根據(jù)條件得到，然后通過(guò)分析的正負(fù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“對(duì)恒成立”，再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)并分析其單調(diào)性確定出最大值，由此的范圍可求.
【詳解】
解：，

解得

當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
在處取得極小值．
由，得，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
對(duì)恒成立，
原問(wèn)題等價(jià)于對(duì)恒成立，
令，
則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；

.
63．已知函數(shù)（）．
（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，分，，三種情況討論，即可；
（2）參變分離，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有解，求的最小值即可.
【詳解】
（1）．
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，
∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，
∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）若至少存在一個(gè)，使得成立，則當(dāng)時(shí)，有解．
∵當(dāng)時(shí)，，∴有解，
令，，則．
∵，
∴在上單調(diào)遞減，∴，
∴，即，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍．
64．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，探討函數(shù)的單調(diào)性，確定的零點(diǎn)，進(jìn)而求出的最小值即可得解；
(2)將給定條件轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式，再分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，，然后利用導(dǎo)數(shù)探求的最值即可得解.
【詳解】
(1)函數(shù)定義域，求導(dǎo)得：，
因，則在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有，
所以當(dāng)時(shí)，；
(2)因在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
由(1)知，，則，即對(duì)恒成立，
顯然，則對(duì)恒成立，令，，
則，
令，，則，則在上單調(diào)遞增，
即有，則，于是得在上單調(diào)遞增，從而有，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
65．已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在內(nèi)有極值，試判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并求的取值范圍．
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）答案見(jiàn)解析，的取值范圍為．
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，由于當(dāng)時(shí)，恒成立，只需討論的正負(fù)；
（2）轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有解，參變分離可得，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得在的值域?yàn)?，可得?dāng)時(shí)，有解，再設(shè)，分析極值情況即可.
【詳解】
（1）根據(jù)題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 則有，
當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，恒成立，
令；令；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）若函數(shù)在內(nèi)有極值，則在內(nèi)有解；
令，解之可得，，
令，則有，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即得在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以在的值域?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，有解，
設(shè)，則，；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?），
所以在區(qū)間上有唯一解，
即得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞增，
即得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有極值且唯一；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，恒有單調(diào)遞增，沒(méi)有極值，不符合題意．
故的取值范圍為．
66．已知函數(shù)，.
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（3）若函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)，求出的值，注意檢驗(yàn)即可；
（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增等價(jià)于在恒成立，參變分離即可求出結(jié)果；
（3）在有1個(gè)根等價(jià)于方程在有1個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）因?yàn)?，則，
由于，則，∴，
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，所以符合題意，故.
（2），∴在恒成立，
即在恒成立，∴的取值范圍為.
（3）在有1個(gè)根
即方程在有1個(gè)根，
令，，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且 ，，時(shí)，，
當(dāng)即時(shí)，1個(gè)根；當(dāng)即時(shí)，1個(gè)根，
綜上：的取值范圍為.
67．已知函數(shù)，(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）.
【分析】
（1）將代入解析式，并求得，令并求得；由的符號(hào)可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求得，即可由符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)不等式及函數(shù)的解析式，代入后化簡(jiǎn)變形，并令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，分離常數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，求得后，再構(gòu)造函數(shù)，求得；由的符號(hào)可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可知存在使得，從而判斷出的單調(diào)性與極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)解析式求得，即可由恒成立問(wèn)題求得的取值范圍.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
則，
令，
則，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，在時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在時(shí)單調(diào)遞增，
即，
所以，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
代入可得，
因?yàn)?，化?jiǎn)可得，即，
令，所以
則不等式可化為，
變形可得，
令，
則，
令，則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
而，
，，
所以存在使得，
從而當(dāng)時(shí)，則在時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞減.
則在或處取得最大值，
而，，
因?yàn)?，?br /> 則，
綜上可知，的取值范圍為.
68．已知函數(shù)，．
（1）若在處的切線為，求的值；
（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）因?yàn)樵谔幍那芯€為，即：，所以 .
（2）通過(guò)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，即可得出答案.
【詳解】
（1）由題意得： ，又因?yàn)樵谔幍那芯€為
所以，所以 .
（2）存在，使得 ，
又因?yàn)?，所?
所以在上有解.
設(shè) ，即：在上有解在上有解.

設(shè)
所以又因?yàn)?，所?， .故
所以， ，所以在上單調(diào)遞增.即在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?，所以，故
所以在上恒大于0.所以在上單調(diào)遞增.
故
所以
69．已知函數(shù)．
（1）求的最小值；
（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，并令，再求導(dǎo)得，注意到，所以得單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性即可解決.
（2）方法1，先驗(yàn)證是不等式成立，再對(duì)時(shí)，利用分離參數(shù)法和洛必達(dá)法則求解即可；方法2，直接移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，求二階導(dǎo)，再分類討論求解即可.
【詳解】
解：（1），，，
∴在上為增函數(shù)，又，
∴，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增，
．
（2）方法1：（分離參數(shù)法）
當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)，，
設(shè)（）

設(shè)，（），
∴單調(diào)遞增，
又，∴，，
∴單調(diào)遞增，∴．
，∴．
方法2：設(shè)，
則，
，
∵，∴，∴單調(diào)遞增，
①當(dāng)時(shí)，，即，
單調(diào)遞增，恒成立，
②當(dāng)時(shí)，，，
，使，
，單調(diào)遞減，
，不合題意.
由①②知實(shí)數(shù)的取值范圍是．
70．設(shè)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在極值，對(duì)于任意，都有恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）計(jì)算，然后分類討論，，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.
（2）結(jié)合（1）可知，然后使用分離參數(shù)的方法，并構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)即可.
【詳解】
（1），，
①當(dāng)時(shí)，，
即，所以在上是增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，令，
則，
∴，，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
（2）由存在極值知，
“對(duì)于任意，都有恒成立”等價(jià)于
“對(duì)于任意，都有恒成立”，
設(shè)，，
則，，
設(shè)，，
則，， 所以在上是減函數(shù)，
又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
所以，∴，∴.
71．設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（2）令，（）其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0或小于0，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值.
（2）求出，根據(jù)，列不等式，分離參數(shù)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.
（3）有唯一正實(shí)數(shù)解,構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值為0，進(jìn)而求出m值.
【詳解】
（1）依題意，知的定義城為，
當(dāng)時(shí)，，
，令，解得.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以的極大值為，此即為最大值.
（2），則有，在上恒成立，
所以，.
當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.
（3）因?yàn)榉匠逃形ㄒ粚?shí)數(shù)解，所以有唯一正實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則，令，，
因?yàn)?，，所以（舍去），?br /> 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
故時(shí)，，取最小值
因?yàn)橛形ㄒ徽龑?shí)數(shù)解，所以，
則即
所以，因?yàn)?，所?
設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解，
因?yàn)?，所以方程?）的解為，即，解得.
72．已知函數(shù).
（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）0.
【分析】
（1）首先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，并賦值，求函數(shù)的解析式，并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，根據(jù)求的最小值.
【詳解】
（1），
令，得.
令，得.
則，，且在上單調(diào)遞增，，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則，且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)?，所?
令，則，易知在上單調(diào)遞增.
又，，
則存在唯一的，使得，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
又，，即，
則.
因?yàn)椋?
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得成立，
所以，又，則整數(shù)的最小值為0.
73．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(本題可能用的數(shù)據(jù)：，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求整數(shù)t的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值為8.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后求在處的切線方程與已知作比較可得答案；
（2）令(，轉(zhuǎn)化為，然后求可得答案.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br /> 所以有，解之得，
故函數(shù)的解析式為：；
（2）當(dāng)時(shí)，則，
令()，則由題意知對(duì)任意的，，
而，，
再令()，則，
所以在上為增函數(shù)，
又，，
所以存在唯一的，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
又，所以，
因?yàn)閠為整數(shù)，所以t的最大值為8.
74．已知函數(shù)，且恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）記，若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】
（1）由條件可得是的極大值點(diǎn)，從而，可得答案.
(2)由條件，根據(jù)條件可得對(duì)任意的恒成立，令，求出的導(dǎo)函數(shù)，得出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的隱零點(diǎn)，分析得出答案
【詳解】
（1）解：的定義域是，
因?yàn)?，恒成?，所以是的極大值點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?，所以?br /> （2）依題意得，，，
∴，
因?yàn)?，所以?duì)任意的恒成立，
令，則，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?br /> 所以方程在上存在唯一的實(shí)數(shù)根，且，
則，
所以， ①
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以，
把①代入得，，，
所以，
故整數(shù)的最大值是3．
75．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）當(dāng)且時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立來(lái)判斷參數(shù)a的取值范圍.
（2）在定義域內(nèi)，通過(guò)參變分離的辦法，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究新函數(shù)的最值來(lái)求參數(shù)的最大值.
【詳解】
解：（1）∵，又函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)
∴當(dāng)時(shí)，恒成立.
∴.
∴的取值范圍為.
（2）當(dāng)時(shí)，.
故不等式，
∴
即對(duì)任意恒成立，
令，則，
令，（）則
∴在上單增.
又，，
∴存在，使，即當(dāng)時(shí)
即.當(dāng)時(shí)，，即
∴在上單減，在上單增.
令，即.
∴，
∴且，即.
76．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分，，，討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分離參數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)，判定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值即可.
【詳解】
解：（1）因?yàn)?，?br /> 所以．
①當(dāng)時(shí)，令，得．
在上單調(diào)遞減；
令，得，
在上單調(diào)遞增．
②當(dāng)時(shí)，令，得．
在上單調(diào)遞減；
令，得或．
在和上單調(diào)遞增．
③當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，
在單調(diào)遞增．
④當(dāng)時(shí)，令，得．
在上單調(diào)遞減；
令，得或．
在和上單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．
（2）不等式，
等價(jià)于．
時(shí)，．
設(shè)函數(shù)，則．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增．
，
．
綜上，的取值范圍為．
77．已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對(duì) 進(jìn)行分類討論，判斷的符號(hào)，進(jìn)而判斷的單調(diào)性；
（2）對(duì)任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，恒成立，令，對(duì)其求導(dǎo)得，再令，分析的單調(diào)性，進(jìn)而得出的取值范圍.
【詳解】
（1）的定義域是，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)，令，得，故在上單調(diào)遞增；
令，得，故在上單調(diào)遞減.
因此，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，，
對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)任意的，恒成立.
令，則對(duì)任意的，不等式恒成立，
.
令，則，
令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有最小值.
若，即，則，
令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有最小值，因?yàn)?，所以不等式恒成立?br /> 若，即，有，與矛盾.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
78．已知函數(shù)．
（1）證明：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，判斷正負(fù)，再求導(dǎo)函數(shù)的最小值大于零，可得答案；
（2）常數(shù)分離，求的最大值，再求的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
，
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，又，，
∴存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．
（2）恒成立，即恒成立，∴恒成立．
令，則；
令，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，
∴存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，
令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∵，∴，
∴，
∴，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．
79．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）
【分析】
（1）先求解出，然后分類討論：、，根據(jù)的正負(fù)確定出的單調(diào)區(qū)間；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“對(duì)恒成立”，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并分析其單調(diào)性確定出最小值，由此得到，從而求解出的取值范圍.
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間，
綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）因?yàn)閷?duì)恒成立，
所以對(duì)恒成立，
所以對(duì)恒成立，
所以對(duì)恒成立，
設(shè)，所以，
令，所以對(duì)恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，且，，
所以有唯一零點(diǎn)且，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，即.
80．已知函數(shù)
（1）若，求的極值；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）．
【分析】
（1）由，得到，然后利用、可得答案；
（2）根據(jù)恒成立，，令求的最大值可得答案.
【詳解】
（1）∵當(dāng)時(shí)，，
∴，
令，
，由于，所以，
所以在上單調(diào)遞增，且時(shí)，
∴當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴時(shí)取極小值，，無(wú)極大值．
（2）∵，
∴，令，
，
令，
∵，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，，即，的單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即，的單調(diào)遞減函數(shù)，所以
，
可得，即.
81．已知函數(shù)（）.
（Ⅰ）若為整數(shù)，且在上恒成立，求的最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，且，證明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（Ⅰ）由題易得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值即可得解；
（Ⅱ），令，易知，為方程有兩不同實(shí)根，而，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，由零點(diǎn)存在定理可知， 在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，所以，解不等式可得，最后結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可證得結(jié)論.
【詳解】
（Ⅰ）由且，
得，令，則，
令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以存在唯一零點(diǎn)，
滿足，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最大值為；
（Ⅱ），
令，則，為方程有兩不同實(shí)根，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
而且，
因此在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
解得，所以，
因?yàn)?，?br /> 由的單調(diào)性得：，
所以，
所以（對(duì)數(shù)不等式）.
82．已知函數(shù)．
（1）若，證明；
（2）若對(duì)任意，，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）把變形整理得到，然后構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得證；
（2）恒成立問(wèn)題通過(guò)參變分離來(lái)求取值范圍.
【詳解】
證明：（1）要證，需證，
因，即證，即證，
設(shè)，則，
即證在上單調(diào)遞增
，設(shè)，
則，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
∴，即在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增
∴當(dāng)時(shí)，
解：（2）由，得，
∵，∴．
設(shè)，
則，
∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
∴，
∴
又對(duì)任意都成立，則
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
83．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）0；（2）.
【分析】
（1）觀察到函數(shù)的零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，由與同號(hào)性質(zhì)知，顯然最小值為0；
（2）分離參數(shù)將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題求解.
【詳解】
（1）,
當(dāng)時(shí)，，，，即；
當(dāng)時(shí)，，，，即.
綜上，函數(shù)的最小值為.
（2）不等式，即，所以，
設(shè)（），則問(wèn)題等價(jià)于，，
，
設(shè)， 則， ，
在上單調(diào)遞增，又，，
存在唯一，使，則，即.
當(dāng)時(shí)，，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.
.
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
84．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）若曲線與直線有交點(diǎn)，求證：.
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）首先求導(dǎo)令求得參數(shù)，接著討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）令，從而將函數(shù)圖像有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在有零點(diǎn)，參變分離得，再轉(zhuǎn)化為圖像有交點(diǎn)的問(wèn)題，令求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最值，最后證明即可.
【詳解】
（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
則，
所以，
令，
顯然，在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）證明：令，
當(dāng)時(shí)，曲線與直線有交點(diǎn)即函數(shù)在有零點(diǎn)，
由得，，
令
所以直線與圖像 有交點(diǎn)
則
，
令，
顯然在上單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞增，在在上單調(diào)遞減，
故在處取最大值為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
要使直線與圖像 有交點(diǎn)，
只需，
又因?yàn)?，所?
85．已知函數(shù)．
（I）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
（II）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（I）在上單調(diào)遞增；（II）．
【分析】
（I）代入的值求解出，構(gòu)造新函數(shù)分析分子的正負(fù)，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)得到，由分析出的單調(diào)性，從而取值正負(fù)情況可分析出，從而在上的單調(diào)性可知；
（II）利用參變分離的方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“恒成立”，構(gòu)造新函數(shù)，求解出，然后構(gòu)造函數(shù)，分析出的取值正負(fù)從而確定出的單調(diào)性并分析的取值特點(diǎn)，由此確定出的單調(diào)性和極值，再結(jié)合的取值正負(fù)及可確定出的最大值，由此可求的取值范圍.
【詳解】
解：（I）當(dāng)時(shí)，，
則．
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．
因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，則，
所以在上單調(diào)遞增．
（II）
由可得．
令，
則．
令，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
所以．
因?yàn)?，所以使得?br /> 又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，所以，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，所以，為減函數(shù)，
所以的極大值為．
又因?yàn)椋?br /> 設(shè)，，
則
當(dāng)時(shí)，，
，
所以當(dāng)時(shí)，；
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以．
86．已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），．
（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）若函數(shù)的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可求解；
（2）分離參數(shù)得，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值；
（3）設(shè)，原函數(shù)可化為，由的最小值為，所以原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有解，從而分離參數(shù)得，求出的值域即為實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】
解：（1）依題意，，則，
∴，又切點(diǎn)為，
所以切線方程為；
（2）由，得，
設(shè)，則，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以的最小值為，即a的最小值為.
（3）依題意，，
設(shè)，則，
故函數(shù)可化為，
由，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以的最小值為，故函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有解，
即，得，
設(shè)，則，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以的最小值為，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
87．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，且，求整數(shù)的最大值．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）1.
【分析】
（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分類討論，求得單調(diào)區(qū)間；
（2），即，設(shè)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，此時(shí)需要再次求導(dǎo)來(lái)判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，來(lái)判斷導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，從而求得原函數(shù)取最小值時(shí)滿足的條件，此時(shí)存在一個(gè)隱零點(diǎn)，滿足，將導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn)代入化簡(jiǎn)得到．然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍，從而求得參數(shù)a的最大值.
【詳解】
解：（1）的定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，，單調(diào)遞增，
令，，單調(diào)遞減，
綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由題意：，即，
設(shè)，則，
設(shè)，由，
知在內(nèi)為增函數(shù)，
，，
，，
則在內(nèi)，為減函數(shù)；在內(nèi)，為增函數(shù)，
，則，
，
因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)為增函數(shù)（），
，，
則．
設(shè)，在（內(nèi)為增函數(shù)，
，，
，則．
的取值范圍是，
整數(shù)的最大值為．
88．已知.
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（），若恒成立，試求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.
（2）根據(jù)題意可得是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，利用韋達(dá)定理得，故，然后分離參數(shù)只需恒成立，，從而令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解.
【詳解】
（1）時(shí)，，
所以，
，得（舍）或，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
（2）由（1）得，
若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，
則，故，
要使恒成立，只需恒成立．即
因?yàn)椋?br /> ，
設(shè)，，
，
，，即

所以，單調(diào)遞減，當(dāng)
由題意，要使恒成立，只需滿足，即
所以實(shí)數(shù)的取值范圍．
89．已知函數(shù)．
（1）若存在極值，求的取值范圍．
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．
【分析】
（1）求導(dǎo)以后，存在極值等價(jià)于有根，且根的兩側(cè)異號(hào)，參變分離后構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的最值即可求解；
（2）（方法一）求導(dǎo)得，結(jié)合的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理即可求出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．且以及，然后求出的最小值的范圍，即可得出結(jié)論；
（方法二）由不等式的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此只需要證明時(shí)即可，由于，所以利用放縮法即可證明.
【詳解】
（1）解：，
由，得，設(shè)函數(shù)，則,
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故，
當(dāng)時(shí)，，不存在極值，所以，
故的取值范圍是．
（2）證明：（方法一）因?yàn)椋?，?br /> 易知在上為增函數(shù)，
且，，
所以，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，所以，
則．
因?yàn)?，所以?br /> 即，故．
（方法二）因?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，易證，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
又
故．
90．設(shè)函數(shù).
（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，則
（i）證明：方程在內(nèi)存在唯一的根；
（ii）設(shè)函數(shù)表示中的較小值)，求的最大值.
【答案】（1）；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.
【分析】
（1）求導(dǎo)后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，分離常數(shù)后構(gòu)造函數(shù)利用求導(dǎo)求得函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值從而求得結(jié)果；（2）（i）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得（1），又，所以，設(shè)，由函數(shù)零點(diǎn)判定定理可得存在，使，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案；（ii）根據(jù)題意，分析可得的表達(dá)式，分段求出的導(dǎo)數(shù)，分析其單調(diào)性，據(jù)此分析可得答案．
【詳解】
解：（1），
∴，
若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則對(duì)恒成立；
即對(duì)恒成立；
設(shè)
，
由得，
由得
則在遞減，在遞增；

即，得.
（2）（i）設(shè)，
當(dāng)，時(shí)，，又（2），
所以存在，使．
因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，
，所以，所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以方程在內(nèi)存在唯一的實(shí)根．
（ii）由（1）知，方程在內(nèi)存在唯一的實(shí)根，且時(shí)，，
又當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，時(shí)，，
所以當(dāng)，時(shí)，，
所以，
當(dāng)時(shí)，若，，則；
若，，由，可知，
故當(dāng)，時(shí)，．
當(dāng)，時(shí)，由，
可得當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；
時(shí)，，單調(diào)遞減．
可知（2），且（2）．
綜上可得，函數(shù)的最大值為．
91．已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 ；
（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合定義域由求得遞增區(qū)間，由求得遞減區(qū)間；
（2）由即．令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得出結(jié)果．
【詳解】
（1），（）.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由得，即，
令，，
令，，在單調(diào)遞增，
又，，所以有唯一的零點(diǎn)，
且當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，
所以，又，則，
所以，
所以，即的取值范圍是.
92．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)和直線相切，求b的值：
（2）令，當(dāng)時(shí)，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.
【答案】（1）； （2）兩個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到，求得切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，即可求解；
（2）求得，得到是的一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，求得，分，和三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)，可得，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，可得切線的斜率，可得，
所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入，可得，解得.
（2）由，可得，
當(dāng)時(shí)，，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，可得，所以?br /> 可得，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，可得，
所以在上單調(diào)遞增，
又由，
所以在內(nèi)存在唯一，使得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋栽趦?nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上可得，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
93．已知函數(shù)，．
（1）若在處取得極值，且滿足函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）若，對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用，可得，分析的單調(diào)性、極值、邊界情況，列出不等式組即得解；
（2）轉(zhuǎn)化為，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得，即得解
【詳解】
（1），
由已知得，得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得極小值，成立.
，
令，
得或，
由得或，此時(shí)為增函數(shù)，
由得，此時(shí)為減函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，
即，，
所以函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，
且時(shí)，，時(shí)，
因此，只需，即，解得，
的范圍是．
（2），，
對(duì)任意，，即，
變形得，，
令，，則，
，所以，
所以在上單調(diào)遞增，從而，
因此.
94．已知函數(shù)（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
【答案】（1）分類討論，答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，由得，，，分，，三種情況討論單調(diào)性即得解；
（2）參變分離可得對(duì)任意的恒成立，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，求出即可.
【詳解】
（1）由題意知，，
當(dāng)時(shí)，由得，，，
①若，即時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；
②若，即時(shí)，
令或；令
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
③若，即時(shí)，
令或；令
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由題意知，對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
令，則，
令，
則在上單調(diào)遞減，
又，，
故在上有唯一的實(shí)根，不妨設(shè)該實(shí)根為，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故為的極大值點(diǎn)，
故，又，
代入上式得，
故的取值范圍為.
95．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍..
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）
【分析】
（1）函數(shù)求導(dǎo)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論得到函數(shù)單調(diào)性
（2）對(duì)進(jìn)行符號(hào)討論，研究單調(diào)性解決恒成立問(wèn)題；也可分離參數(shù)
不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?
則.
（i）當(dāng)，那時(shí)，
令，得，得，得，得.
又因?yàn)?，所以；令，得?br /> 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)，即時(shí)，，
又由，得，所以.即對(duì)任意恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）方法一，由（1）可知，
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
最大值為；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（i）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值；
（ii）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在區(qū)間上最大值為；
而最小值需要比較與的大??；
因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)，即，也即時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；
當(dāng)，即時(shí)，，
此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；
（iii）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為；
若不等式對(duì)任意恒成立，則且.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的區(qū)間上的最小值為，
最大值為；此時(shí)，且，解得；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
此時(shí)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
最大值為；此時(shí)，且，
解得.但此時(shí)，與前提條件不符合，故無(wú)解，舍去；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，此時(shí)最小值，而，不符合題意，舍去.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
方法二 已知.
由，∴，
令，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
∴.
由，∴，
令，則.
令，顯然在上單調(diào)遞減.
∵，，∴在上必存在一點(diǎn)，使得，
∴當(dāng)時(shí)，，即，∴在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，∴在上單調(diào)遞減.
∴在上的最小值只可能在端點(diǎn)處的取得.
∵，，∴.∴.
綜上所述.
96．函數(shù)，其中，為常數(shù).
（1）若時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）代入的值，求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間即可．
（2）代入的值，根據(jù)不等式分離參數(shù)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，再求，根據(jù)其單調(diào)性求得最大值即可得的取值范圍．
（3）要證明不等式成立，根據(jù)分析法得到只需證明成立即可．通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值，根據(jù)最小值即可得證．
【詳解】
（1）定義域?yàn)椋?，
當(dāng)時(shí)，， ，
在定義域上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，.單調(diào)遞減；
綜上可知：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（2） 對(duì)任意恒成立.即等價(jià)于，，令.
，，
在上單調(diào)遞增，
，
.
故的取值范圍為.
（3）要證明，即證明，只要證，
即證，只要證明即可，
令，在上是單調(diào)遞增，，
在有唯一實(shí)根設(shè)為，
且，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
從而當(dāng)時(shí)，取得最小值，由得：
，即，
，
故當(dāng)時(shí)，證得：.
97．已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線與直線平行，求的值；
（2）若對(duì)于任意，，且，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若對(duì)于任意，且有成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
(1)求導(dǎo)，根據(jù)兩直線平行的條件可求得.
(2)由已知得，記，可得在上單調(diào)遞增.由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，記，再求導(dǎo)，得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，得出其原函數(shù)的最值，由不等式的恒等式的思想可得所求的范圍.
(3)由已知不等式進(jìn)行參變分離得對(duì)于任意恒成立，令，討論其導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，得出原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得其最值，可得結(jié)論.
【詳解】
(1)由題意得：，又曲線在處的切線與直線平行，
所以，解得.
(2)因?yàn)?，所以?br /> 記，又因?yàn)?，，且，所以在上單調(diào)遞增.
所以在上恒成立，即在上恒成立，
記，所以，令，解得.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以；
(3)若對(duì)于任意，且有成立，所以對(duì)于任意恒成立，
即對(duì)于任意恒成立，令，則，
又在上單調(diào)遞增，且，
，
所以必存在，使得，即，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以的最大整?shù)為，
所以的最大整數(shù)為.
98．已知函數(shù).
（1）若，證明：函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）若恒成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）將代入，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析原函數(shù)的單調(diào)性及極值最值，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理分析函數(shù)的個(gè)數(shù)；
（2）不等式可化為，即，令
，求導(dǎo)得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析可知遞增，可證得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，故，從而得到.
【詳解】
解：（1）證明：時(shí)，.
令，得.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，于是.
注意到，
因此在上存在一個(gè)零點(diǎn)；
又，
因此在上存在一個(gè)零點(diǎn)，
故函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).
（2）不等式可化為，
即.
令，
則.
設(shè)，則，
因此單調(diào)遞增，
又，因此時(shí)，即，
從而在上單調(diào)遞減，
時(shí)，即，
從而在上單調(diào)遞增，
因此的最小值為，從而a的取值范圍是.
99．已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見(jiàn)解析；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出導(dǎo)數(shù)即為斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程；
（Ⅱ）由題意得，討論根據(jù)判定其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）法一：由題意得，討論根據(jù)單調(diào)性判定是否成立即可得出答案；
法二：原命題等價(jià)于在上恒成立，用參變分離法求出函數(shù)最值.
【詳解】
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
，
，
所以切線方程為：，即：；
（Ⅱ）由題，可得
由于，的解為，
（1）當(dāng)，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)，即時(shí)，
在區(qū)間上，在區(qū)間上，，
所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.
(3)當(dāng)，即時(shí)，
在區(qū)間 上，
在區(qū)間上，，
則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.
（Ⅲ）解法一：
（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，，所以?br /> 則在上單調(diào)遞增，成立
（2）當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以成立.
（3）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，；在區(qū)間，，
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，不符合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
解法二：
當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，恒成立”.
即在上恒成立.
當(dāng)時(shí)，，所以.
當(dāng)時(shí)， ，所以恒成立.
設(shè)，則
因?yàn)椋?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以，所以.
綜上所述，的取值范圍是.
100．已知函數(shù)，對(duì)于，恒成立.
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）利用參數(shù)分離法可知，構(gòu)造函數(shù)，即，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可得解；
（2）由（1）得恒成立，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，即證，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值即可.
【詳解】
（1）由恒成立，得對(duì)恒成立.
令，，令，得
當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)減，
所以.
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（2）證明：由（1）得恒成立，
要證，只需證即可.
令，

令，易知在單調(diào)遞增，且，，
故存在，使得.
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
又，，.
故當(dāng)時(shí)，.