山西省大同市渾源縣示范中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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說(shuō)明：共三大題，23小題，滿(mǎn)分120分，作答時(shí)間120分鐘.
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在下表中）
1.一元二次方程的解為（）
A.B.，
C.D.，
2.如圖，一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為，它的表面積為，則與的函數(shù)關(guān)系式為（）
A.B.C.D.
3.將一元二次方程化為一般形式后，它的各項(xiàng)系數(shù)的和為（）
A.6B.4C.2D.-2
4.二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線（）
A.B.C.D.
5.我們解一元二次方程時(shí)，可以運(yùn)用因式分解法將此方程化為.從而得到兩個(gè)一元一次方程：或.進(jìn)而得到原方程的解為，.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）
A.數(shù)形結(jié)合思想B.函數(shù)思想
C.公理化思想D.轉(zhuǎn)化思想
6.一元二次方程根的情況為（）
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法判斷其根的情況
7.將拋物線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為（）
A.B.
C.D.
8.如圖，二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中的位置大致是（）
A.B.C.D.
9.已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則的值為（）
A.B.2C.D.4
10.已知某二次函數(shù)圖象上的部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表：
下面有四個(gè)結(jié)論：①該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最大值為；
③若和都在該二次函數(shù)的圖象上，則；
④將該二次函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在軸上.
其中正確的結(jié)論有（）
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11.二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.
12.一元二次方程的較小根為_(kāi)_____.
13.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且軸，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____.
14.某校為改校園環(huán)境，加大對(duì)綠化的投入，2021年對(duì)綠化投入資金10萬(wàn)元，2023年對(duì)綠化投入資金14.4萬(wàn)元.現(xiàn)假定每年投入綠化資金的增長(zhǎng)率相同，則該校投入綠化資金的年平均增長(zhǎng)率為_(kāi)_____.
15.若關(guān)于的方程有三個(gè)解，則實(shí)數(shù)的值是______.
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
16.（本題共2個(gè)小題，每小題5分，共10分）
（1）解方程：.
（2）已知拋物線的頂點(diǎn)是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
17.（本題7分）
關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.
18.（本題9分）
如圖，這是一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的進(jìn)球路線，球沿拋物線運(yùn)動(dòng)，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi).已知投籃運(yùn)動(dòng)員在投籃處到地面的距離米.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，籃筐的中心的坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).
（1）求拋物線的表達(dá)式.
（2）求點(diǎn)到所在直線的距離及點(diǎn)到地面的距離.
19.（本題9分）
太原市某商場(chǎng)進(jìn)價(jià)為100元的某品牌衣服，在銷(xiāo)售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定價(jià)為200元時(shí)，每天可賣(mài)出100件.臨近2023年十一國(guó)慶，商家決定開(kāi)啟大促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)下降1元時(shí).，每天銷(xiāo)售量增加4件.設(shè)該品牌衣服每件降價(jià)元.
（1）求每天的銷(xiāo)售量（件）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式.
（2）在銷(xiāo)售單價(jià)不低于150.元的前提下，計(jì)算出該品牌衣服的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)每天獲利13600元.
20.（本題8分）
如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限.
（1）求拋物線的函數(shù)解析式.
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).
21.（本題7分）閱讀與思考
請(qǐng)閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)：
任務(wù)：（1）填空：下列方程的根是的是______，根是的是______.（填序號(hào)）
A.；B.；
C.；D..
（2）請(qǐng)參考小論文中性質(zhì)1的證明過(guò)程，寫(xiě)出性質(zhì)2的證明過(guò)程.
22.（本題12分）綜合與實(shí)踐
【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】
配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)等.所謂配方法是指將一個(gè)式子的某部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法.其實(shí)這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義解決某些問(wèn)題.
例1：把代數(shù)式進(jìn)行配方.
解：原式.
例2：求代數(shù)式的最大值.
解：原式，∵，∴
∴，∴的最大值為.
【問(wèn)題解決】
（1）若，，滿(mǎn)足，求的值.
（2）若等腰的三邊長(zhǎng)，，均為整數(shù)，且滿(mǎn)足，求的周長(zhǎng).
（3）如圖，這是美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理的一個(gè)圖形，其中，，是和的三邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得，我們把關(guān)于的一元二次方程稱(chēng)為“勾系一元二次方程”.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根.四邊形的周長(zhǎng)為，試求的面積.
23.（本題13分）綜合與探究
如圖1，已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn).
（1）求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式.
（2）如圖2，是直線下方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，將線段所在的直線沿著軸平移，使得平移后的直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖1 圖2圖3
數(shù)學(xué)參考答案
1.B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A 7.D 8.B 9. A
10.C 提示：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，則
∴
∴，
對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)，①不符合題意；
對(duì)于②，∵，∴當(dāng)時(shí)，，②符合題意；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
∵，∴，③不符合題意；
對(duì)于④，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得拋物線，∴頂點(diǎn)為在軸上，④符合題意.
∴符合題意的有2個(gè).
11.12.13.214.20%
15.9 提示：①當(dāng)時(shí)，，解得或；
②當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；
③當(dāng)時(shí)，或，
當(dāng)時(shí)，，.
當(dāng)時(shí)，，，
∵方程有三個(gè)解，∴，則，此時(shí)，
∴時(shí)，方程有三個(gè)解.
16.（1）解：
或
∴，
（2）解：∵拋物線的頂點(diǎn)是，∴可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為
17.解：（1）∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴
解得且，
∴的取值范圍為且.
18.解：（1）將，代入得
解得
∴拋物線的表達(dá)式為.
（2）易知為拋物線的頂點(diǎn).∵，
∴點(diǎn)到軸的距離為2.5米，
∴點(diǎn)到所在直線的距離（米）.
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)到地面的距離為3.5米.
19.解：（1）根據(jù)題意得.
（2）∵銷(xiāo)售單價(jià)不低于150元，∴.
根據(jù)題意得，
整理得，解得，（不合題意，舍去），
∴.
答：該品牌衣服的銷(xiāo)售單價(jià)是185元時(shí)，商場(chǎng)每天獲利13600元.
20.解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)，代入得解得
∴拋物線的表達(dá)式為.
（2）對(duì)稱(chēng)軸為直線.
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
∴，解得
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
21.解：（1）AB；CD.
（2）證明：∵，∴，
∴，
∴，.
22.解：（1）∵，
∴，，∴.
（2）∵，∴
∴，∴，
∴，.
當(dāng)為腰時(shí)，，，此時(shí)周長(zhǎng)；
當(dāng)為腰時(shí)，，，此時(shí)周長(zhǎng)，
∴的周長(zhǎng)為13或14.
（3）∵，
∴，∴
∵，∴，
∴的最小值為，
∴.∴，
∴
∵，
∴，∴，
∴，
∴，.
∵，∴，∴，
∴.
23.解：（1）將點(diǎn)，代入得
解得
∴拋物線的表達(dá)式為.
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵，，
∴解得
∴直線的表函數(shù)達(dá)式為.
（2）∵，，∴，∴，∴.
設(shè)點(diǎn).
∵軸，∴.
∵點(diǎn)，在第三象限，
∴，
∴，解得，
∵，∴舍去，
∴，∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
提示：作出如圖所示的圖形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn).
∵，∴，∴，∴，
∴，
∵點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，∵，，
∴
∴∵點(diǎn)在拋物線上，∴，
整理得，解得，
∴，.
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
0
2
6
4
一元二次方程根的兩個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用
我們知道，一元二次方程的求根公式是，由公式可知，一元二次方程的根是由它的系數(shù)決定的，即它的根與系數(shù)有著密切的關(guān)系，那么一元二次方程的根與系數(shù)有何關(guān)系？下面介紹一元二次方程的兩個(gè)根與系數(shù)關(guān)系的另外兩個(gè)性質(zhì)（非根與系數(shù)的關(guān)系定理，即非韋達(dá)定理）：
性質(zhì)1：在一元二次方程中，若（即各項(xiàng)的系數(shù)和為0），則一元二次方程的兩個(gè)根分別是，.下面我們給出它的證明過(guò)程：
證明：∵，∴，∴，∴，.
性質(zhì)2：在一元二次方程中，若，則一元二次方程的兩個(gè)根分別是，.
證明：…….

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