考點一　直線與平面垂直的判定和性質(zhì)1.線面垂直的判定和性質(zhì)1)線面垂直的判定
2.直線與平面所成的角1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和 這個平面所成的角.2)直線l與平面α所成角θ的取值范圍
3)最小角定理:平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和 這個平面內(nèi)任一條直線所成角中最小的角.三余弦公式:cs θ=cs θ1·cs θ2(如圖所示,其中θ1是斜線OA與平面α所成的 角,θ2是斜線OA的射影AB與平面內(nèi)的直線AC的夾角,θ是斜線OA與平面內(nèi) 的直線AC的夾角).
考點二　平面與平面垂直的判定和性質(zhì)1.二面角1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.2)二面角的平面角在二面角的棱上任取一點,以此點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于 棱的兩條射線,這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.記此角為θ, 當θ=90°時,二面角叫做直二面角.3)二面角的取值范圍:[0,π].
2.面面垂直的判定和性質(zhì)1)面面垂直的判定
【知識拓展】 1.三垂線定理及其逆定理1)三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果與這個平面的一條斜線在這個 平面內(nèi)的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直.2)三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)一條直線與該平面的一條斜線垂直, 那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影.2.垂直問題的轉(zhuǎn)化方向圖?
考法一　判斷或證明直線與平面垂直的方法1.利用線面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a?α,b?α?l⊥α(主要方 法);2.利用平行線垂直平面的傳遞性:a∥b,a⊥α?b⊥α;3.利用面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β(主要方法);4.利用面面平行的性質(zhì):α∥β,a⊥β?a⊥α;5.利用面面垂直的性質(zhì):α⊥β,α⊥γ,β∩γ=l?l⊥α.
例1 (2018課標Ⅱ,19,12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2?,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.
由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O知PO⊥平面 ABC.(2)作CH⊥OM,垂足為H.由(1)可得OP⊥CH,又OP∩OM=O,所以CH⊥平 面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離.由題設(shè)可知OC=?AC=2,CM=?BC=?,∠ACB=45°.所以O(shè)M=?,CH=?=?.所以點C到平面POM的距離為?.
考法二　判斷或證明平面與平面垂直的方法1.利用面面垂直的判定定理:l⊥α,l?β?α⊥β(主要方法);2.利用面面垂直的定義(作出兩平面構(gòu)成的二面角的平面角,并計算其大 小為90°);3.利用平行的傳遞性:α∥β,α⊥γ?β⊥γ.
解析 (1)證明:由于PD⊥平面ABCD,AM?平面ABCD,則PD⊥AM,又PB⊥ AM,PB∩PD=P,PB,PD?平面PBD,所以AM⊥平面PBD,因為AM?平面 PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.(2)由(1)知AM⊥平面PBD,因為BD?平面PBD,所以AM⊥BD,所以∠MAB +∠ABD=90°,因為四邊形ABCD為矩形,所以∠DAB=∠ABM,所以∠MAB +∠AMB=90°,所以∠ABD=∠AMB,則△DAB∽△ABM,則?=?,又AB=DC=1,M為BC的中點,∴AD=?,∴S矩形ABCD=AB·AD=?,∴V四棱錐P-ABCD=?S矩形ABCD·PD=?×?×1=?.
考法三　翻折問題的處理方法解決立體幾何中的翻折問題,關(guān)鍵是搞清楚翻折前后圖形中的位置關(guān)系 和數(shù)量關(guān)系的變化情況,以及翻折過程中運動變化的點的位置.一般地,位 于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變,而位于 “折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化.對于不變的關(guān) 系一般在平面圖形中處理,而對于變化的關(guān)系則在立體圖形中解決.
例3 (2021成都摸底測試,19)如圖①,在菱形ABCD中,∠A=60°且AB=2,E為 AD的中點.將△ABE沿BE折起到△A'BE的位置,使A'D=?,得到如圖②所示的四棱錐A'-BCDE.(1)求證:平面A'BE⊥平面A'BC;(2)若P為A'C的中點,求三棱錐P-A'BD的體積.?

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