題型06 最值問題之瓜豆原理-2023年中考數(shù)學(xué)重難點專題最后沖刺之最值問題（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?06最值問題之瓜豆原理
知識解讀
瓜豆原理是主從動點聯(lián)動問題，也叫旋轉(zhuǎn)相似，這類問題在解答的時候需要有軌跡思想，就是先要明確主動點的軌跡，然后要搞清楚主動點和從動點的關(guān)系，進(jìn)而確定從動點的軌跡來解決問題．
瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點動），當(dāng)主動點運(yùn)動時，從動點的軌跡相同．（古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．）
滿足條件：
1.兩動一定；2.動點與定點的連線夾角是定角；3.動點到定點的距離比值是定值．
方法：
第一步：找主動點的軌跡；
第二步：找從動點與主動點的關(guān)系；
第三步：找主動點的起點和終點；第四步：通過相似確定從動點的軌跡；
第五步：根據(jù)軌跡確定點線、點圓最值．
“瓜豆原理”其實質(zhì)就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、相似．
涉及的知識和方法：
知識：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點到直線之間的距離垂線段最短；④點到圓上點共線有最值．
模型一：運(yùn)動軌跡為圓弧
引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．
考慮：當(dāng)點P在圓O上運(yùn)動時，Q點軌跡是？

【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？
考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．Q點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放．根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．
引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考慮：當(dāng)點P在圓O上運(yùn)動時，Q點軌跡是？

【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．
考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．

引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動時，Q點軌跡是？

【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．

【模型總結(jié)】
為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．
此類問題的必要條件：兩個定量；主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

【結(jié)論】
（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；
（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．
按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．
模型二：運(yùn)動軌跡為線段
引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運(yùn)動時，Q點軌跡是？

【分析】當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．
可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．

【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點P在直線BC上運(yùn)動時，求Q點軌跡？

【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．
當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．

【模型總結(jié)】
必要條件：
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
結(jié)論：
P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）

P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

針對訓(xùn)練
一、單選題
1．如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（????）

A． B．4 C． D．6
【答案】A
【詳解】解：如圖，以為邊向上作等邊三角形，連接，

∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴點D的運(yùn)動軌跡是以點M為圓心，長為半徑的圓，要使的面積最大，則求出點D到線段的最大距離，
∵是邊長為4的等邊三角形，
∴點M到的距離為，
∴點D到的最大距離為，
∴的面積最大值是，
故選A．
2．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是　　

A． B．3 C． D．
【答案】D
【詳解】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點在線段CE上時，的長取最小值，如圖所示，

根據(jù)折疊可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故選D．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為(? ??)

A．1 B． C． D．2
【答案】D
【詳解】解：連接AD，因為∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因為CB＝CD，所以△CBD是等邊三角形，
所以BD＝DC
因為DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，
所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因為∠FDC＋∠BDF＝60°，
所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，
直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，
所以AP＝2
當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值，
CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2
故選D．

4．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運(yùn)動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（　　）

A． B． C．1 D．2
【答案】C
【詳解】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，
∵△ACB為等腰直角三角形，
∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，
∵O為AB的中點，
∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在Rt△AOP和△COQ中
，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M(jìn)點為PQ的中點，
∴MH為梯形PEFQ的中位線，
∴MH=（PE+QF）=，
即點M到AB的距離為，而CO=1，
∴點M的運(yùn)動路線為△ABC的中位線，
∴當(dāng)點P從點A運(yùn)動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長=AB=1，
故選C．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點，連接，則的最小值為(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：作QM⊥x軸于點M，Q′N⊥x軸于N，

設(shè)Q(，)，則PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
當(dāng)m=2時，OQ′2有最小值為5，
∴OQ′的最小值為，
故選：B．
二、填空題
6．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動點，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點D從點A運(yùn)動到點H的過程中，點E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為_______，當(dāng)點D運(yùn)動到點H，此時線段BE的長為__________．

【答案】???
【詳解】解：如圖，連接EC．

∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，
∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=EC，
∵點D從點A運(yùn)動到點H，
∴點E的運(yùn)動路徑的長為，
當(dāng)重合，而（即）為等邊三角形，

故答案為：．
7．如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA．若點P沿AB方向從點A運(yùn)動到點B，則點E運(yùn)動的路徑長為________．

【答案】．
【詳解】解：如圖，由題意可知點C運(yùn)動的路徑為線段AC′，點E運(yùn)動的路徑為EE′，由平移的性質(zhì)可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案為．

8．如圖，正方形的邊長為4，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_______．

【答案】
【詳解】由題意可知，點是主動點，點是從動點，點在線段上運(yùn)動，點也一定在直線軌跡上運(yùn)動

將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，
從而可知為等邊三角形，點在垂直于的直線上，
作，則即為的最小值，
作，可知四邊形為矩形，
則.
故答案為．

9．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是________．

【答案】3
【詳解】解：∵BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，

∴BD＝2，
∴．
由題意可知，D在以B為圓心，BD長為半徑的圓上運(yùn)動，
∵E為AD的中點，
∴E在以BA中點為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動，
CE的最大值即C到BA中點的距離加上長．
∵，，BC＝2，
∴C到BA中點的距離即，
又∵，
∴CE的最大值即．
故答案為3．
10．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，點F沿線段AO從點A至點O運(yùn)動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點E和點A分別位于DF兩側(cè)，連接OE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：
①；②；③直線；④點E運(yùn)動的路程是．
其中正確的結(jié)論是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②③
【詳解】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD為等邊三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，
∵△DFE為等邊三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，
∴∠ADF＝∠EFC，
∴∠BDE＝∠EFC，
故結(jié)論①正確；
②如圖，連接OE，
在△DAF和△DOE中，
，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，
故結(jié)論②正確；
③∵∠ODE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故結(jié)論③正確；
④如圖，延長OE至，使＝OD，連接，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，
∴點F在線段AO上從點A至點O運(yùn)動時，點E從點O沿線段運(yùn)動到，
∵＝OD＝AD＝AB?tan∠ABD＝4?tan30°＝，
∴點E運(yùn)動的路程是，
故結(jié)論④錯誤．
故答案為①②③．

11．如圖，已知，平面內(nèi)點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為__________．

【答案】
【詳解】解：如圖所示，延長PB到D使得PB=DB，
∵，
∴，
又∵∠APB=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∵B為PD的中點，
∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，
∴∠BAP=30°，
以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過點M作MH⊥AC于H，
∴，
同理可得，
∵∠OAM=30°=∠PAB，
∴∠BAM=∠PAO，
又∵，
∴△AMB∽△AOP，
∴，
∵點P到點O的距離為2，即OP=2，
∴，
∴點B在以M為圓心，以為半徑的圓上，
連接CM交圓M（半徑為）于，
∴當(dāng)M、B、C三點共線時，即點B在點的位置時，BC有最小值，
∵AC=2AO=8，
∴AO=4，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴BC的最小值為，
故答案為：．

12．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為__________．

【答案】
【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，

，，
，
，
，
，
即（定長），
點是定點，是定長，
點在半徑為1的上，
，
的最大值為，
故答案為：．
三、解答題
13．如圖，過拋物線上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸于點C，已知點A的橫坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；
（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；
①連接BD，求BD的最小值；
②當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．

【答案】（1）對稱軸為直線x=4；B（10，5）．（2）①．②．
【詳解】解：（1）把x=-2代入，得
，
∴A（﹣2，5），對稱軸為直線x=﹣=4，
∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴B（10，5）．
（2）①如圖1中，

由題意點D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，
∴當(dāng)O、D、B共線時，BD的最小值=OB﹣OD=．
②如圖2中，

圖2
當(dāng)點D在對稱軸上時，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，
∴DE==3，
∴點D的坐標(biāo)為（4，3）．
設(shè)PC=PD=x，在Rt△PDK中，，
∴x=，
∴P（，5），
設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b，由題意得
，
∴，
∴直線PD的解析式為．
14．如圖①，在中，，，D是BC的中點．

小明對圖①進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任取一點P，連接PB，將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點B的對應(yīng)點是點E，連接BE，得到．小明發(fā)現(xiàn)，隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：
（1）當(dāng)點E在直線AD上時，如圖②所示．
① ；②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是．
（2）請在圖③中畫出，使點E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）當(dāng)點P在線段AD上運(yùn)動時，求AE的最小值．
【答案】（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值．
【詳解】（1）①如圖②中，

∵，，
∴，
②結(jié)論：．
理由：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵AE垂直平分線段BC，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案為50，．
（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．

∵AD垂直平分線段BC，
∴，
∴，
∵，
∴ ．
（3）如圖④中，作于H，

∵點E在射線CE上運(yùn)動，點P在線段AD上運(yùn)動，
∴當(dāng)點P運(yùn)動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值．
15．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點．將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．
（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；
（2）連接AE，當(dāng)AE的長最小時，求CD的長．
?
【答案】（1）見解析；（2）
【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，AD=BE，理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．

（2）如圖2，過點A作AF⊥EB交EB延長線于點F．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=60°，
∴點E的運(yùn)動軌跡是直線BE，
根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點E與F重合時，AE的值最小，
此時CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，
∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，
∴AF⊥AC，
在Rt△ACF中，
∴CF===，
∴CD=CF=.

16．如圖所示，在中，，點是上一點，以為一邊向右下方作等邊，當(dāng)由點運(yùn)動到點時，求點運(yùn)動的路徑長．

【答案】點運(yùn)動的路徑長為．
【詳解】點為定點，
可以看作是繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°而來，
點運(yùn)動的路徑長等于點運(yùn)動的路徑長，即為的長，
，，
．
點運(yùn)動的路徑長為．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b滿足，C、D兩點分別是y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個動點；

（1）如圖1，若C（0，4），求△ABC的面積；
（2）如圖1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接OE，當(dāng)OE最短時，求A，E兩點之間的距離．
【答案】（1）△ABC的面積為12；（2）D點的坐標(biāo)為（-2，0）；（3）A，E兩點之間的距離為
【詳解】解：（1）∵，
∴，
由非負(fù)性可知，，解得：，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由（2）可知CB=CA，
∵∠CBA=60°，
∴△ABC為等邊三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°，
∵△CDE為等邊三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，
∴∠DCB=∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
∴，
∴，
∵，
∴，即：隨著D點的運(yùn)動，點E在過點A且平行于BC的直線PQ上運(yùn)動，
∵要使得OE最短，
∴如圖所示，當(dāng)OE⊥PQ時，滿足OE最短，此時∠OEA=90°，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)OE最短時，A，E兩點之間的距離為．

18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A′落在線段BC上時，求A′B的長；
(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時，求tan∠A′AD；
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝___________．
【答案】(1)4；(2)tan∠A′AD＝3或；(3)
【詳解】（1）解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4，

∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
當(dāng)A′落在線段BC上時，由旋轉(zhuǎn)得A′D＝AD＝4，
∴A′C，
∴A′B＝BC﹣A′C＝4，
∴A′B的長為4．
（2）（2）如圖2，點B′與點C在直線BD的同側(cè)，作A′E⊥AD于點E，則∠A′EA＝90°，

由旋轉(zhuǎn)得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，
∵∠BA′B'＝90°，
∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°，
∴點B、A′、D在同一條直線上，
∵∠A′ED＝∠BAD＝90°，
∴BD5，
∴sin∠ADB，cos∠ADB，
∴A′EA′D4，EDA′D4，
∴AE＝AD﹣ED＝4，
∴tan∠A′AD3；
如圖3，點B′與點C在直線BD的異側(cè)，作A′E⊥AD交AD的延長線于點E，則∠E＝90°，

由旋轉(zhuǎn)得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，
∵∠BA′B'＝90°，
∴∠B′A′D＝∠BA′B'，
∴A′D與A′B重合，
∴點B、A′、D在同一條直線上，
∵∠EDA′＝∠ADB，
∴sin∠EDA′＝sin∠ADB，cos∠EDA′＝cos∠ADB，
∴A′EA′D，EDA′D，
∴AE＝AD+ED＝4，??
∴tan∠A′AD，
綜上所述，tan∠A′AD＝3或．
（3）（3）如圖4，在AD上截取DF，則，
作DH⊥AA′于點H，在DH上截取DGDH，連接FG、CG，則，

∵A′D＝AD，
∴H為AA′的中點，
∴DH為△DAA′的中線，
∴點G為△DAA′的重心，
∵，∠FDG＝∠ADH，
∴△DFG∽△DAH，
∴∠FGD＝∠AHD＝90°，
取DF的中點O，連接OC交⊙O于點P，連接OG，則OG＝OP＝ODDF，
∴點G在以點O為圓心、半徑為的圓上運(yùn)動，
∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP，
∴CGCP，∴CG≥CP，
∴當(dāng)CG＝CP時，CG的長最小，??
∵OC，
∴CP＝OC﹣OP，
∴CG的最小值是，
故答案為：．
19．如圖所示，在矩形中，，，為的中點，為上一動點，為的中點，連接，求的最小值．

【答案】的最小值為．
【詳解】解：如圖：

當(dāng)點F與點C重合時，點P在P1處，CP1=DP1，
當(dāng)點F與點E重合時，點P在P2處，EP2=DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2=CE．
當(dāng)點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP=FP．
由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P=CF．
∴點P的運(yùn)動軌跡是線段P1P2，
∴當(dāng)BP⊥P1P2時，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點，
∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1=2．
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．
∴∠DP2P1=90°．
∴∠DP1P2=45°．
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值為BP1的長．
在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，
∴BP1=
∴PB的最小值是．
故答案是：．
20．如圖所示，在扇形中，，，點是上的動點，以為邊作正方形，當(dāng)點從點移動至點時，求點經(jīng)過的路徑長．

【答案】點經(jīng)過的路徑長為．
【詳解】解：如圖，由此BO交⊙O于F，取的中點H，連接FH、HB、BD．

易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，
∵∠FDB＝45°＝∠FHB，
∴點D在⊙H上運(yùn)動，軌跡是（圖中紅線），
易知∠HFG＝∠HGF＝15°，
∴∠FHG＝150°，
∴∠GHB＝120°，易知HB＝3，
∴點D的運(yùn)動軌跡的長為＝2π．
21．如圖1，在中，，，，以點為圓心，為半徑作圓．點為上的動點，連接，作，使點落在直線的上方，且滿足，連接，．

（1）求的度數(shù)，并證明；
（2）如圖2，若點在上時，連接，求的長；
（3）點在運(yùn)動過程中，是否有最大值或最小值？若有，請求出當(dāng)取得最大值或最小值時，的度數(shù)；若沒有，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）有．① 當(dāng)取得最大值時，；②當(dāng)取得最小值時，．
【詳解】（1）在中，，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得；
（3）有．由（1）知，，
，
，
是定值，
點是在以點為圓心，半徑為的圓上，
①如圖所示，當(dāng)點在的延長線上時，取得最大值，

．
，
．
當(dāng)取得最大值時，；
②如圖所示，當(dāng)點在線段上時，取得最小值，

，
，
當(dāng)取得最小值時，．
22．如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點在第二象限，點在軸上移動，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點點隨著點的移動也在一條直線上移動，求這條直線的函數(shù)解析式．

【答案】直線的函數(shù)解析式為．
【詳解】如圖所示．當(dāng)與軸平行時，過點作軸于點，過點作軸于點，交于點，

是等腰直角三角形，點的坐標(biāo)是，
，
，
又是等腰直角三角形，
，，
點的坐標(biāo)為．
當(dāng)與原點重合時，在軸上，

此時，即，
設(shè)所求直線解析式為：，
將、代入得
解
直線的函數(shù)解析式為．
23．如圖所示，點，的半徑為2，，，點是上的動點，點是的中點，求的最小值．

【答案】的最小值為．
【詳解】解：如圖所示，連接交于點，連接，，

，
由勾股定理得：，
，，
．
當(dāng)最小時，最小
當(dāng)運(yùn)動到時，最?。?br /> 此時的最小值為．
24．如圖所示，在等腰中，，點在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點，當(dāng)點沿半圓從點運(yùn)動至點時，求點運(yùn)動的路徑長．

【答案】點運(yùn)動的路徑長為．
【詳解】解：如圖所示，取的中點，的中點，的中點，連接、、、、、，

在等腰中，，
．
．
為的中點，
．
．
點在以為直徑的圓上，
當(dāng)點與點重合時，點與點重合：當(dāng)點與點重合時，點與點重合，易得四邊形為正方形，，
點運(yùn)動的路徑為以為直徑的半圓．
點運(yùn)動的路徑長為．
25．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形點分別在軸和軸的正半軸上，連結(jié)，，，是的中點.
(1)求OC的長和點的坐標(biāo)；
(2)如圖2，是線段上的點，，點是線段上的一個動點，經(jīng)過三點的拋物線交軸的正半軸于點，連結(jié)交于點
①將沿所在的直線翻折，若點恰好落在上，求此時的長和點的坐標(biāo)；
②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動點從點運(yùn)動到點時，點也隨之運(yùn)動，請直接寫出點運(yùn)動路徑的長.

【答案】(1) OC=，點的坐標(biāo)為；(2) ①點的坐標(biāo)為，②.
【詳解】(1) ∵，
∴.
∵四邊形是矩形，
∴.
∵是的中點，
∴，
∴點的坐標(biāo)為.
(2) ①∵，
∴，
∴.
設(shè)將翻折后，點落在上的處，
則，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴.
∴.??
∴，∴點的坐標(biāo)為.
②動點P在點O時，
∵拋物線過點P（0，0）、
求得此時拋物線解析式為y=
∴E（，0），
∴直線DE：，
∴F1（3，）；
當(dāng)動點P從點O運(yùn)動到點M時，
∵拋物線過點
求得此時拋物線解析式為，
∴E（6，0），
∴直線DE：y=-
∴F2（3，）
∴點F運(yùn)動路徑的長為，
∵△DFG為等邊三角形，
∴G運(yùn)動路徑的長為
26．在等邊三角形中，點D為上一點，連接，將繞D逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到，連接，已知，；

(1)如圖1，若，，連接，求的長；
(2)如圖2，若，分別取的中點H，的中點F，連接，，求證：；
(3)如圖3，若，P為上一點，且滿足，連接，將沿著所在直線翻折得到，連接，當(dāng)最大時，直接寫出的面積．
【答案】(1)；(2)見解析；(3)．
【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，
∵旋轉(zhuǎn)角，
∴是等邊三角形，則，，
∵為等邊三角形，
∴，，
∴，即，
∴（SAS），
∴，
∵，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）證明：延長，使，連接，，則，

即為的中點，
∵為的中點，
∴為的中位線，即，
旋轉(zhuǎn)角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，
∵為的中點，
∴，平分，
∴，，則，
∴為等邊三角形，
∴，，
又∵為等邊三角形，
∴，，
∴，即，
∴（SAS），
∴，即，
∵為的中點，
∴，
，
∴
∴．
（3）由（1）知，，，，
∵，則，
∴，
由，得，
作，則：，

∴，則，，，
即點的軌跡為：以為圓心，為半徑的圓，
由翻折可知，，而，當(dāng)，，在同一直線上時取最大值，即：取最大值，如圖

此時，，，
則．
27．在菱形中，，是對角線上的一點，連接．

（1）當(dāng)在的中垂線上時，把射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后交于，連接．如圖①，若，求的長．
（2）在（1）的條件下，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到如圖②，連接，點為的中點，連接，求的最大值．
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）解：過點F作于點M，如下圖：

∵四邊形ABCD是菱形,且
∴
∵為菱形對角線
∴,
又∵在的中垂線上
∴
∴
∴,
在中，
∴
設(shè)：，則
∵ 即：解得：
∴
∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
（2）連接AC,延長AE交BC于點M，則有,點H的運(yùn)動軌跡是以點B為圓心，BH為半徑的圓，因為點C為固定點，點Ｎ為CH的中點，所以點N的運(yùn)動軌跡是以點M為圓心，NM為半徑的圓，如下圖：

此時：在在，,當(dāng) A、M、N三點共線時，AN最大
則：在中，
∵
∴
∴
又∵M(jìn)點是BC的中點，N是CH的中點
∴
∴
28．在中，D為直線上一動點，連接，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接與相交于點F．

(1)如圖1，若D為的中點，，，，連接，求線段的長；
(2)如圖2，G是線段延長線上一點，D在線段上，連接，，若，，，，證明；
(3)如圖3，若為等邊三角形，，點M為線段上一點，且，點P是直線上的動點，連接，，，請直接寫出當(dāng)最小時的面積．
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)．
【詳解】（1）解：∵為的中點，，，
∴，則由勾股定理，可得：，
作，交于，

由題意可知，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴（AAS），
∴，，
則，
由勾股定理可得：；
（2）證明：由旋轉(zhuǎn)可知，為等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，，
∴（AAS），
∴，，
則：，
∵，
∴，即：，
∴，
又∵，
由三角形內(nèi)角和定理可得：，
即：，
∴，
作，交延長線于，連接，
∴為等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，即，
∴；

（3）作，交于，
∵是等邊三角形，
∴，，平分，
則，
將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，則，，
∴，
∴（SAS），
∴
∴，
作點關(guān)于的對稱點，連接，，由對稱易知，，
∴

當(dāng)最小時，即最小，亦即、、在同一直線，且，如圖：

作，交于，則，
∴，，
∵，，
∴，，四邊形是矩形，
則，，即，
由軸對稱可知，，
∴是等邊三角形，則：，
∵，
∴，，
∴，，
則由勾股定理可得：，，
∵，，
則為，之間的距離，
∴，即的高
∴，
∴．

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