新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十四）橢圓（含解析）

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十四）橢圓（含解析），共10頁(yè)。試卷主要包含了基礎(chǔ)練——練手感熟練度，綜合練——練思維敏銳度，自選練——練高考區(qū)分度等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十四） 橢圓
一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．(多選)已知曲線(xiàn)C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上
C．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為
D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線(xiàn)
解析：選AD　∵mx2＋ny2＝1，∴＋＝1，若m＞n＞0，∴0＜＜，∴C是橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，故A正確，B錯(cuò)誤．若m＝n＞0，則x2＋y2＝，C是圓，半徑為，C錯(cuò)誤．若m＝0，n＞0，∴y2＝，∴y＝±，則C是兩條直線(xiàn)，D正確．故選A、D.
2．(2019·北京高考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則(　　)
A．a(chǎn)2＝2b2　　　　　　　 B．3a2＝4b2
C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b
解析：選B　因?yàn)闄E圓的離心率e＝＝，
所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 ＋＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，則m＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．18
解析：選C　橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則m＝a2.由長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝8得a＝4，所以m＝16.故選C.
4．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：選A　∵△AF1B的周長(zhǎng)為4，
∴由橢圓的定義可知4a＝4，
∴a＝，∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程為＋＝1，故選A.
5．(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)橢圓＋＝1(m＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，若∠F1AF2＝，則m＝(　　)
A．1 B．
C. D．2
解析：選C　∵c＝＝1，b＝m，由∠F1AF2＝，得∠F1AO＝，
∴tan∠F1AO＝＝，解得m＝，故選C.
6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為(　　)
A．1－ B．2－
C. D．－1
解析：選D　由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝＝＝－1.故選D.

二、綜合練——練思維敏銳度
1．橢圓以x軸和y軸為對(duì)稱(chēng)軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：選C　由題意知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，即a＝2b.因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，所以若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝2，b＝1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1；若焦點(diǎn)在y軸上，則a＝4，b＝2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，故選C.
2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為(　　)
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：選A　連接PF2，由題意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故選A.
3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．＋＝1
解析：選B　橢圓9x2＋4y2＝36可化為＋＝1，可知焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，
故可設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1.
4．直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為(　　)
A. B．
C. D．
解析：選B　不妨設(shè)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0，b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，則直線(xiàn)l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選B.
5．(多選)設(shè)橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y＝m(00)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一個(gè)點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，周長(zhǎng)為18，則橢圓C的方程為_(kāi)_______．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2為直角三角形，
又知△PF1F2的面積為9，∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周長(zhǎng)為18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的橢圓方程為＋＝1.
答案：＋＝1
11．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，點(diǎn)P是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F2作∠F1PF2的外角的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A，若|OA|＝2b，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．
解析：如圖，延長(zhǎng)F2A交F1P于點(diǎn)M，由題意可知|PM|＝|PF2|，
由橢圓定義可知
|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.連接OA，知OA是△F1F2M的中位線(xiàn)，∴|OA|＝|MF1|＝a，
由|OA|＝2b，得2b＝a，則a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝a2，∴e＝＝.
答案：
12．設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)AF2與該橢圓交于A，M兩點(diǎn)．若∠F1AF2＝90°，則直線(xiàn)BM的斜率為_(kāi)_______．
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴a＝b，即橢圓方程為＋＝1.
設(shè)M，A，B，且＋＝1，
即n2－b2＝－，
kAMkBM＝·＝＝＝－，
又kAM＝－1，∴kBM＝.
答案：
13．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(00.
由已知可得B(5,0)，直線(xiàn)BP的方程為y＝－(x－5)，
所以|BP|＝y(tǒng)P，|BQ|＝.
因?yàn)閨BP|＝|BQ|，所以yP＝1，
將yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直線(xiàn)BP的方程得yQ＝2或8.
所以點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝，直線(xiàn)P1Q1的方程為y＝x，點(diǎn)A(－5,0)到直線(xiàn)P1Q1的距離為，
故△AP1Q1的面積為××＝；
|P2Q2|＝，直線(xiàn)P2Q2的方程為y＝x＋，點(diǎn)A到直線(xiàn)P2Q2的距離為，
故△AP2Q2的面積為××＝.
綜上，△APQ的面積為.
14．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線(xiàn)AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
其中c＝，設(shè)B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.
所以橢圓的方程為＋＝1.
三、自選練——練高考區(qū)分度

1．已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，則C的方程為(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：選A　設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b.
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|.
又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a.
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y軸上．
如圖所示，在Rt△AF2O中，
cos∠AF2O＝.
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cos∠BF2F1＝＝，
根據(jù)cos∠AF2O＋cos∠BF2F1＝0，可得＋＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.故選A.
2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)∠ABF＝α，且α∈，則該橢圓的離心率e的取值范圍為(　　)
A. B．(－1,1)
C. D．
解析：選A　如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′為矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos α，
∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝＝.
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，
∴sin∈，
∴e∈.故選A.
3.如圖所示，A1，A2是橢圓C：＋＝1的短軸端點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M不與A1，A2重合，點(diǎn)N滿(mǎn)足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，則＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．
解析：選A　由題意知A1(0,3)，A2(0，－3)．
設(shè)M(x0，y0)，N(x1，y1)，則直線(xiàn)MA1的斜率為kMA1＝.
由NA1⊥MA1，可得NA1的斜率為k NA1＝－.
于是直線(xiàn)NA1的方程為y＝－x＋3.　?、?br /> 同理，NA2的方程為y＝－x－3. ②
聯(lián)立①②消去y，得x＝x1＝.
因?yàn)镸(x0，y0)在橢圓＋＝1上，所以＋＝1，從而y－9＝－，所以x1＝－，所以＝＝2.故選A.