?第三節(jié)　直線、平面平行的判定與性質(zhì)
核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向
1.結(jié)合立體幾何的定義、公理，會(huì)推導(dǎo)直線和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2．常與求幾何體的體積計(jì)算相結(jié)合，會(huì)應(yīng)用直線和平面平行、平面和平面平行的判定定理、性質(zhì)定理證明空間的線、面平行關(guān)系，凸顯直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．


[理清主干知識(shí)]
1．直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行．
(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形表示
符號表示
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面

a?α，b?α，
a∥b ?a∥α
性質(zhì)定理
一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行

a∥α，a?β，
α∩β＝b?a∥b
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面．
(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形表示
符號表示
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

a?α，b?α，
a∩b＝P，a∥β，
b∥β?α∥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面　

α∥β，a?α?
a∥β
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
3.謹(jǐn)記兩個(gè)結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(直線與平面平行的定義)如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(　　)
A．一條直線不相交　　　　 B．兩條直線不相交
C．無數(shù)條直線不相交 D．任意一條直線都不相交
解析：選D　因?yàn)閍∥平面α，直線a與平面α無公共點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交，故選D.
2．(面面平行的判定定理)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是一條直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B　當(dāng)m∥β時(shí)，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)任一直線與β平行，因?yàn)閙?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．
3．(平行關(guān)系的判定)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(　　)
A．m∥α，n∥α，則m∥n B．m∥n，m∥α，則n∥α
C．m⊥α，m⊥β，則α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
解析：選C　A中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n∥α或n?α，B不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，C正確；D中，α∥β或α與β相交，D不正確．
4．(面面平行的性質(zhì)定理)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個(gè)條件：
①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.
如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(填序號)．
解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)b∥β，a?γ時(shí)，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．故應(yīng)填入的條件為①或③.
答案：①或③
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(忽視面面平行的條件)下列條件中，能判斷兩個(gè)平面平行的是(　　)
A．一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面
B．一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面
C．一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面
D．一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面
解析：選D　由兩個(gè)平面平行的判定定理可知，如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另外一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．故可知D符合．
2．(對空間平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的條件理解不到位)設(shè)m，l表示兩條不同的直線，α表示平面，若m?α，則“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的________條件．
解析：由m?α，l∥α不能推出l∥m；由m?α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要條件．
答案：既不充分也不必要
3．(忽視線面平行的條件)(1)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a與α的位置關(guān)系是______________．
(2)已知直線a，b和平面α，β，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α，β的位置關(guān)系是______________．
(3)若α∥β，直線a∥α，則a與β的位置關(guān)系是___________________________________．
解析：(1)由直線與平面平行的判定定理知，a可能平行于α，也可能在α內(nèi)．
(2)當(dāng)a，b相交時(shí)，α∥β；當(dāng)a，b平行時(shí)，α，β平行或相交．
(3)當(dāng)a在β外時(shí)，a∥β；當(dāng)a在β內(nèi)時(shí)，a∥α也成立．
答案：(1)a∥α或a?α　(2)平行或相交　(3)a∥β或a?β

考點(diǎn)一　直線與平面平行的判定與性質(zhì)
考法(一)　線面平行的判定
[例1]如圖所示，在空間幾何體ABCDFE中，四邊形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分別為棱BE，DF的中點(diǎn)．求證：PQ∥平面ABCD.
[證明]　法一：如圖，取AE的中點(diǎn)G，連接PG，QG.
在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，
又PG?平面ABCD，BA?平面ABCD，
所以PG∥平面ABCD.
在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，
所以GQ∥AD，
又GQ?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以GQ∥平面ABCD.
因?yàn)镻G∩GQ＝G，PG?平面PQG，GQ?平面PQG，
所以平面PQG∥平面ABCD.
又PQ?平面PQG，
所以PQ∥平面ABCD.
法二：如圖，連接EQ并延長，與AD的延長線交于點(diǎn)H，連接BH.
因?yàn)镋F∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，
又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，
所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.
在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.
又PQ?平面ABCD，BH?平面ABCD，
所以PQ∥平面ABCD.
考法(二)　線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
[例2]　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.
求證：AP∥GH.
[證明]　如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點(diǎn)，
又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥MO.
又MO?平面BMD，AP?平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
且AP?平面PAHG，
∴AP∥GH.
[方法技巧]
線面平行問題的解題關(guān)鍵
(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．
(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．　　

[針對訓(xùn)練]　如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求證：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC.
證明：(1)如圖，取BD的中點(diǎn)O，連接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD.
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO?平面EOC，EC?平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，
又O為BD的中點(diǎn)，所以BE＝DE.
(2)如圖，取AB的中點(diǎn)N，連接DN，MN.
因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，所以MN∥BE.
又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
因?yàn)椤鰽BD為正三角形，
所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，MN?平面DMN，DN?平面DMN，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.
考點(diǎn)二　平面與平面平行的判定與性質(zhì)
[典例]　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：
(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[證明]　(1)∵在△A1B1C1中，G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴GH與BC確定一個(gè)平面α，
∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．
(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
易證A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，
∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，且A1E?平面EFA1，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
[方法技巧]
1．判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)．
2．面面平行條件的應(yīng)用
(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行．
(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行．
[提醒]　利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線．　　
[針對訓(xùn)練]
1.如圖是長方體被一平面截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．
解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．
答案：平行四邊形
2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點(diǎn)．
(1)證明：平面BMN∥平面PCD；
(2)若AD＝6，求三棱錐P-BMN的體積．
解：(1)證明：如圖，連接BD.
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD為正三角形．
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴BM⊥AD.
∵AD⊥CD，CD?平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴BM∥CD.
又BM?平面PCD，CD?平面PCD，
∴BM∥平面PCD.
∵M(jìn)，N分別為AD，PA的中點(diǎn)，∴MN∥PD.
又MN?平面PCD，PD?平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
又BM?平面BMN，MN?平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
(2)在(1)中已證BM⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，BM?平面ABCD，
∴BM⊥平面PAD.
又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3.
∵M(jìn)，N分別為AD，PA的中點(diǎn)，PA＝PD＝AD＝3，
∴S△PMN＝S△PAD＝××(3)2＝.
∴VP-BMN＝VB-PMN＝S△PMN·BM
＝××3＝.



考點(diǎn)三　平行關(guān)系的綜合
[典例]　如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)C∈α，點(diǎn)B∈β，點(diǎn)D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求證：EF∥平面β；
(2)若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．
[解]　(1)證明：①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF?β，BD?β，∴EF∥平面β.
②當(dāng)AB與CD異面時(shí)，如圖所示，設(shè)平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四邊形ACDH是平行四邊形．
在AH上取一點(diǎn)G，使AG∶GH＝CF∶FD，
連接EG，F(xiàn)G，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF?平面EFG，∴EF∥平面β.
綜合①②可知，EF∥平面β.
(2)如圖所示，連接AD，取AD的中點(diǎn)M，連接ME，MF.
∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF為AC與BD所成的角或其補(bǔ)角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝ ＝，
即EF＝或EF＝.
[方法技巧]
利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于線段長或線段比例問題，常用平行線對應(yīng)線段成比例或相似三角形來解決．　　
[針對訓(xùn)練] 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AD，PA的中點(diǎn)．
(1)求證：PE∥平面BFG；
(2)若PD＝AD＝1，AB＝2，求點(diǎn)C到平面BFG的距離．
解：(1)證明：如圖，連接DE.
∵在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱BC，AD的中點(diǎn)，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DE∥BF.
∵G是PA的中點(diǎn)，∴FG∥PD.
∵PD?平面BFG，DE?平面BFG，F(xiàn)G?平面BFG，
BF?平面BFG，
∴PD∥平面BFG，DE∥平面BFG.
又PD∩DE＝D，∴平面PDE∥平面BFG.
∵PE?平面PDE，∴PE∥平面BFG.
(2)法一：∵PD⊥平面ABCD，F(xiàn)G∥PD，∴FG⊥平面ABCD.
過點(diǎn)C在平面ABCD內(nèi)，作CM⊥BF，垂足為M，則FG⊥CM.
∵FG∩BF＝F，∴CM⊥平面BFG，
∴線段CM的長是點(diǎn)C到平面BFG的距離．
在矩形ABCD中，∵F是AD的中點(diǎn)，AD＝1，AB＝2，△BCM∽△FBA，
∴＝.
∵FB＝＝，BC＝AD＝1，
∴CM＝，即點(diǎn)C到平面BFG的距離為.
法二：設(shè)點(diǎn)C到平面BFG的距離為d.
在矩形ABCD中，AF＝AD＝，AB＝2，
∴BF＝＝.
∵PD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，∴PD⊥BF.
∵FG∥PD，∴FG⊥BF，又FG＝PD＝，
∴△BFG的面積為BF·FG＝.
∵△BCF的面積為BC·AB＝1，VC-BFG＝VG-BCF，
∴×d＝×1×，解得d＝，
即點(diǎn)C到平面BFG的距離為.

創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向
1.如圖，已知底面邊長為且高為1的正三棱柱ABC-A1B1C1，過頂點(diǎn)A作平面α與側(cè)面BCC1B1交于EF，且EF∥BC，若∠FAB＝x，四邊形BCEF的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(　　)

解析：選C　由題意得，在Rt△ABF中，BF＝ABtan x，
所以y＝f(x)＝BC·BF＝BC·ABtan x＝3tan x.由正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可得C正確．
2．(多選)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝，以下結(jié)論正確的為(　　)
A．AC⊥BF
B．三棱錐A-BEF的體積為定值
C．EF∥平面ABCD
D．異面直線AE，BF所成的角為定值
解析：選ABC　對于A，∵ABCD-A1B1C1D1為正方體，易得AC⊥平面BDD1B1， ∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正確；對于B，
∵E，F(xiàn)，B在平面BDD1B1上，∴A到平面BEF的距離為定值，∵EF＝，又B到直線EF的距離為1，∴△BEF的面積為定值，∴三棱錐A-BEF的體積為定值，故B正確；
對于C，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，
EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正確；對于D，設(shè)上底面中心為O，當(dāng)F與B1重合時(shí)，E與O重合，易知兩異面直線所成的角是∠A1AO；當(dāng)E與D1重合時(shí)，F(xiàn)與O重合，連接BC1，易知兩異面直線所成的角是∠OBC1，可知，這兩個(gè)角不相等，故異面直線AE，BF所成的角不為定值，故D錯(cuò)誤．
3.如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件______________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)
解析：如圖，連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥D1D，HN∥BD，
∵FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，
∴平面FNH∥平面B1BDD1，若M∈FH，則MN?平面FNH，∴MN∥平面B1BDD1.
答案：點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)
4．(2021·福建漳州適應(yīng)性測試)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)N是棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)T是棱CC1上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在正方形D1DAA1(包含邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且QB∥平面D1NT，則動(dòng)點(diǎn)Q所形成的軌跡的長為________．
解析：由于QB∥平面D1NT，所以點(diǎn)Q在過B且與平面D1NT平行的平面上，如圖，取DC的中點(diǎn)E1，取線段AA1上一點(diǎn)G，使A1G＝1，易證平面BGE1∥平面D1NT.延長BE1，AD，交于點(diǎn)E，連接EG，交DD1于點(diǎn)I，顯然，平面BGE∩正方形D1DAA1＝GI，所以點(diǎn)Q的軌跡是線段GI，易求得GI＝.
答案：
5．在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為________．
解析：如圖，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作EN∥PB，F(xiàn)M∥PB，分別交AB，BC于點(diǎn)N，M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝PB＝2，所以截面的周長為2×4＝8.
答案：8

1．(多選)已知直線a，b，l，平面α，β，則下列命題中錯(cuò)誤的選項(xiàng)為(　　)
A．若α⊥β，l⊥α，則l∥β　　 B．若a⊥l，b⊥l，則a∥b
C．若α⊥β，l?α，則l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，則α∥β
解析：選ABC　對于A，由α⊥β，l⊥α，可知l?β或l∥β，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)a⊥l，b⊥l時(shí)，直線a與b可能平行，也可能相交，還可能異面，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)α⊥β，l?α?xí)r，l可能與平面β平行，也可能斜交，故C錯(cuò)誤；對于D，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行，故D正確．
2．(多選)已知α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，l是直線．給出下列命題，其中正確的命題是(　　)
A．若l上兩點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α
B．若l⊥α，l∥β，則α⊥β
C．若α∥β，l?β，且l∥α，則l∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥n
解析：選BC　對于A，若直線l在平面α內(nèi)，l上有兩點(diǎn)到α的距離為0，相等，此時(shí)l不與α平行，所以A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)閘∥β，所以存在直線m?β使得l∥m，因?yàn)閘⊥α，所以m⊥α，又m?β，所以β⊥α，所以B正確；對于C，l∥α，故存在m?α使得l∥m，因?yàn)棣痢桅?，所以m∥β，因?yàn)閘∥m，l?β，所以l∥β，C正確；對于D，因?yàn)閙⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D錯(cuò)誤，故選B、C.
3．(2021·濰坊期中)m，n是平面α外的兩條直線，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A　由已知條件m∥α，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可得，過直線m作一平面β交α于直線l，則m∥l，從而存在l?α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，從而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或異面．所以m∥n是n∥α的充分不必要條件，故選A.
4．若平面β截三棱錐所得的截面為平行四邊形，則該三棱錐的所有棱中與平面β平行的棱有(　　)
A．0條 B．1條
C．2條 D．1條或2條
解析：選C　如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.
∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，又∵EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.
又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2條棱與平面EFGH平行．因此選C.
5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，有以下四個(gè)命題：
①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.
其中真命題的序號是(　　)
A．②③ B．③④
C．①④ D．①②
解析：選A　對于命題①，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯(cuò)誤的；易知②③正確；對于命題④，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯(cuò)誤的．故選A.
6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
解析：選D　m∥α，m∥β，則有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A?l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C點(diǎn)可以在平面β內(nèi)，AC與直線l異面垂直，如圖所示，此時(shí)AC⊥β不成立，所以D不一定成立．
7.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．


解析：如圖，設(shè)BC1∩B1C＝O，連接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，
∵四邊形BCC1B1是菱形，
∴O為BC1的中點(diǎn)，
∴D為A1C1的中點(diǎn)，則A1D∶DC1＝1.
答案：1
8．(2021·蘇州調(diào)研)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若m?α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.
其中是真命題的是________(填序號)．
解析：①m∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯(cuò)誤；④α∥β或α與β相交，故④錯(cuò)誤．
答案：②
9．下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________．

解析：①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖)．
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
答案：①④
10.(2021·武漢模擬)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點(diǎn)．
(1)求證：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱錐為兩部分，求這兩部分的體積比．
解：(1)證明：在平行四邊形ABCD中，連接AC，設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O(圖略)，則O是AC的中點(diǎn)．
又E是PA的中點(diǎn)，連接EO，
則EO是△PAC的中位線，所以PC∥EO，
又EO?平面EBD，PC?平面EBD，所以PC∥平面EBD.
(2)設(shè)三棱錐E-ABD的體積為V1，高為h，四棱錐P-ABCD的體積為V，
則三棱錐E-ABD的體積V1＝×S△ABD×h，
因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以四棱錐P-ABCD的高為2h，所以四棱錐P-ABCD的體積V＝×S四邊形ABCD×2h＝4×S△ABD×h＝4V1，所以(V－V1)∶V1＝3∶1，
所以平面BDE分此棱錐得到的兩部分的體積比為3∶1或1∶3.
11.如圖，ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
證明：(1)如圖，連接AE，
則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，
連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.
又BE?平面DMF，
MO?平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，
又DE?平面MNG，GN?平面MNG，
所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點(diǎn)，
所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，
又MN?平面MNG，BD?平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.

若BE＝1，在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P，且AP＝λPD，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
解：AD上存在一點(diǎn)P，使得CP∥平面ABEF，此時(shí)λ＝.
理由如下：
當(dāng)λ＝時(shí)，AP＝PD，可知＝，
如圖，過點(diǎn)P作MP∥FD交AF于點(diǎn)M，連接EM，PC，
則有＝＝，
又BE＝1，可得FD＝5，
故MP＝3，
又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP綊EC，
故四邊形MPCE為平行四邊形，所以CP∥ME，
又ME?平面ABEF，CP?平面ABEF，
故有CP∥平面ABEF.

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