?第二節(jié)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向
1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，提升空間想象能力，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．
2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理，培養(yǎng)閱讀理解能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．

[理清主干知識(shí)]
1．公理1～3

文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
公理1
如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

?l?α
公理2
過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

　[提醒]　公理1是判斷一條直線是否在某個(gè)平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)．
2．公理2的三個(gè)推論
推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；
推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；
推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．
3．空間中兩條直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系分類：
位置關(guān)系
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
①平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
②等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
4．異面直線所成的角
(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)范圍：.
5．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．
(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(直線與直線的位置關(guān)系)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　)
A．一定是異面直線　　　　 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
解析：選C　假設(shè)c∥b，又因?yàn)閏∥a，所以a∥b，這與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能平行．
2．(確定平面的依據(jù))下列命題正確的是(　　)
A．經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面
C．四邊形確定一個(gè)平面
D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面
解析：選D　A選項(xiàng)考查公理2，即三點(diǎn)必須不在同一條直線上，才能確定一個(gè)平面；B選項(xiàng)如果點(diǎn)在直線上，則該直線和這個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面；C選項(xiàng)中的四邊形有可能是空間四邊形，只有D是正確的．
3．(異面直線所成角)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：選C　連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.
4．(平面的基本性質(zhì)及推論)已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是(　　)
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：選B　如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角，而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(誤解異面直線的概念)下列關(guān)于異面直線的說法正確的是(　　)
A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線
B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面
C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面
D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面
解析：選D　A、B、C中的兩條直線還有可能平行或相交，由異面直線的定義可知D說法正確．
2．(忽視直線在平面內(nèi))若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是(　　)
A．b?α B．b∥α
C．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α
解析：選D　將直線與平面放在正方體中，易知b與α相交或b?α或b∥α都可以．
3．(忽視異面直線所成角的范圍)如圖所示，已知在長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是________；AE和BG所成角的大小是________．
解析：∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角，即∠EGF，tan∠EGF＝＝1，∴∠EGF＝45°.∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角，即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°.
答案：45°　60°

考點(diǎn)一　平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用
[典例]　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：
(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
[證明]　(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，
所以EF∥A1B且EF＝A1B.
又因?yàn)锳1D1綊BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，
所以EF∥CD1，
所以EF與CD1確定一個(gè)平面α.
所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝CD1，
所以四邊形CD1FE是梯形，
所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，
則P∈CE?平面ABCD，
且P∈D1F?平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.
又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面A1ADD1＝AD，
所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
[方法技巧]
1．證明點(diǎn)或線共面問題的2種方法
(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；
(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．
2．證明點(diǎn)共線問題的2種方法
(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；
(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(如某兩個(gè)平面的交線)上．
3．證明線共點(diǎn)問題的常用方法
先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．　　
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．A，M，O三點(diǎn)共線
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：選A　連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四點(diǎn)共面，
∴A1C?平面ACC1A1，
∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．
同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，
∴A，M，O三點(diǎn)共線．
2.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．
證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.
∵在△BCD中，＝＝，
∴GH∥BD，∴EF∥GH.
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
(2)∵EG∩FH＝P，
P∈EG，EG?平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線．
考點(diǎn)二　空間兩條直線的位置關(guān)系
[典例]　(1)(多選)下列結(jié)論正確的是(　　)
A．在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行
B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交
D．空間中四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c
(2)已知α是一個(gè)平面，m，n是兩條不同的直線，A是一個(gè)點(diǎn)，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是(　　)
A．垂直　　　　　　　　 B．相交
C．異面 D．平行
[解析]　(1)若兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面，A錯(cuò)誤；由公理4可知B正確；若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面，C錯(cuò)誤；由平行直線的傳遞性可知D正確．故選B、D.
(2)∵α是一個(gè)平面，m，n是兩條不同的直線，A是一個(gè)點(diǎn)，m?α，n?α，且A∈m，A∈α，∴A在平面α內(nèi)，m與平面α相交．
∵A∈m，A∈α，∴A是m和平面α的交點(diǎn)，∴m和n異面或相交(特殊情況可垂直)，但一定不平行．
[答案]　(1)BD　(2)D
[方法技巧]　空間兩直線位置關(guān)系的判定方法


[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(多選)(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中(　　)

A．AE∥CD
B．CH∥BE
C．DG⊥BH
D．BG⊥DE
解析：選BCD　還原正方體直觀圖如圖，
可知AE與CD為異面直線，故選項(xiàng)A不正確；
由EH綊BC，可得CH∥BE，故選項(xiàng)B正確；
正方體中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，
故選項(xiàng)C正確；
因?yàn)锽G∥AH且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故選項(xiàng)D正確．
2．(多選)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，則在這個(gè)正四面體中(　　)
A．GH與EF平行
B．BD與MN為異面直線
C．GH與MN成60°角
D．DE與MN垂直
解析：選BCD　還原成正四面體A-DEF如圖所示，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合，易知GH與EF異面，BD與MN異面．連接GM，∵△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角．由圖易得DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE，因此正確的選項(xiàng)是B、C、D.
考點(diǎn)三　異面直線所成的角
[典例]　(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1＝2AB，D是AA1的中點(diǎn)，則BD與A1C1所成角的余弦值為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2021·岳陽聯(lián)考)在四面體ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)如圖，取CC1的中點(diǎn)M，連接DM，BM.由于D為AA1的中點(diǎn)，所以DM∥A1C1，所以∠BDM或其補(bǔ)角為異面直線BD與A1C1所成的角．設(shè)AA1＝2AB＝2，則AD＝AB＝1.因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱，所以BD＝，DM＝1，BM＝.
在△BDM中，cos∠BDM＝＝
＝，故選B.
(2)如圖，在平面BCD內(nèi)，過點(diǎn)D作BC的平行線與過點(diǎn)B所作CD的平行線相交于E，連接AE，則四邊形BCDE為平行四邊形，所以DE＝BC＝2，且∠ABE或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成的角．因?yàn)锳D⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面BCD，則AD⊥DE，所以AE＝＝，易知AB＝＝.因?yàn)锽D⊥BC，所以DC＝＝，則BE＝CD＝，于是在△ABE中，由余弦定理，
得cos∠ABE＝＝＝，
故選D.
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]　平移法求異面直線所成角的步驟
平移
平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；(3)補(bǔ)形平移
證明
證明所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角
尋找
在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之
取舍
因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角

[針對(duì)訓(xùn)練]
1．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，則異面直線A1B1與AC1所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　∵C1D1∥A1B1，∴異面直線A1B1與AC1所成的角即為C1D1與AC1所成的角，即∠AC1D1或其補(bǔ)角．
連接AD1，易知AD1⊥C1D1.∵在Rt△AC1D1中，C1D1＝1，AD1＝＝，AC1＝＝，∴cos∠AC1D1＝＝＝.
2．已知A，B兩點(diǎn)都在以PC為直徑的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4.若球O的體積為8π，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為________．
解析：由題意得三棱錐P-ABC，如圖所示，其中PA⊥AC，PB⊥BC，AB⊥BC.
過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B作AC的平行線，兩線交于點(diǎn)D，
則異面直線PB與AC所成角為∠PBD(或其補(bǔ)角)．
由PB⊥BC，AB⊥BC，PB∩AB＝B，得BC⊥平面PAB，即BC⊥PA，又PA⊥AC，BC∩AC＝C，
∴PA⊥平面ACBD，∴PA⊥AD.
計(jì)算可得AC＝2＝BD，
設(shè)球O的半徑為R，則πR3＝8π，
∴R＝，PC＝2，∴PA＝2，
∴PB＝2，PD＝2.
取PB的中點(diǎn)E，連接DE，∵PD＝BD，∴DE⊥PB，
∴cos∠PBD＝＝＝，
即異面直線PB與AC所成角的余弦值為.
答案：


創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法
異面直線所成角的解法探究
[典例]　正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BC1的中點(diǎn)，Q為A1D的中點(diǎn)，則異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為________．
[思路點(diǎn)撥]　在正方體中求異面直線所成角的余弦值，考慮到正方體的特征，可以用平移直線法求解；或建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解；或利用基向量法求解；或利用三余弦定理法求解．
[解析]　法一：平移直線法
如圖所示，連接CB1，QB1，
因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1為正方形，P為BC1的中點(diǎn)，所以B1P＝B1C.
因?yàn)锳1B1∥CD且A1B1＝CD，
所以四邊形CDA1B1為平行四邊形，
所以B1C∥A1D且B1C＝A1D，
又Q為A1D的中點(diǎn)，所以B1P∥QD且B1P＝QD，
所以四邊形DPB1Q為平行四邊形，所以B1Q∥DP，
所以∠B1QC1或其補(bǔ)角為異面直線DP與C1Q所成的角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在Rt△B1A1Q中，
B1Q＝＝＝；
同理可得C1Q＝.
在△B1C1Q中，cos∠B1QC1＝＝＝，
故異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為.
法二：坐標(biāo)法
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為D(0,0,0)，P(1,2,1)，Q(1,0,1)，C1(0,2,2)，
所以＝(1,2,1)，＝(1，－2，－1)，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
所以異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為.
法三：基向量法
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，＝a，＝b，＝c，
則＝b＋(a＋c)＝a＋b＋c，
＝－b＋(a－c)＝a－b－c.
由直線DA，DC，DD1兩兩垂直得a·b＝b·c＝a·c＝0，
所以·＝2－2
＝a2－b2－c2＝×22－22－×22＝－4，
||＝ ＝，
||＝ ＝，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
所以異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為.
法四：三余弦定理法
如圖所示，連接AD1，PQ，AP，B1C，易知四邊形ABC1D1為平行四邊形，且DQ⊥平面ABC1D1，
即PQ為DP在平面ABC1D1上的射影，
易知AP∥C1Q，所以∠APD或其補(bǔ)角為異面直線DP與C1Q所成的角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
易知cos∠APQ＝，cos∠DPQ＝，
由三余弦定理得cos∠APD＝cos∠APQ×cos∠DPQ＝×＝，
即異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為.
[答案]　

法一可通過平行四邊形找平行線達(dá)到平移的目的，將兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角求解，這時(shí)往往將平移后的角置于一個(gè)三角形中，通過解三角形獲得角的三角函數(shù)值；法二可考慮到當(dāng)載體是正方體或長(zhǎng)方體時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)去求角，這種方法往往比較簡(jiǎn)單；法三也可以利用空間向量基本定理，選取一組基向量，然后利用基向量解決其他向量的夾角問題．　　
[方法提煉]　
兩條異面直線所成角的求法
(1)利用平移直線法求解的實(shí)質(zhì)就是將空間兩直線所成角轉(zhuǎn)化為平面三角形的內(nèi)角去求解．
(2)向量法有兩種，一是建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)求解，二是利用基向量結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)求解．
(3)三余弦定理法的關(guān)鍵是找到兩條異面直線中的一條在包含另一條直線的平面內(nèi)的射影．
如圖所示，OA是與平面α相交的一條斜線，OA在平面α內(nèi)的射影為AB，AC是平面α內(nèi)的一條直線，∠OAC＝θ，∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，則cos θ＝cos θ1cos θ2.

一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．(多選)下列推斷中，正確的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合
解析：選ABD　直線不在平面內(nèi)時(shí)，直線上可能有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，即直線與平面相交，所以C錯(cuò)，根據(jù)點(diǎn)、線、面的關(guān)系可知其余都對(duì)，故選A、B、D.
2．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　)
A．相交或平行　　　　　 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
解析：選D　依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.
3．下列命題中，錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為(　　)
①直線a與平面α不平行，則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都不平行；
②直線a與平面α不垂直，則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都不垂直；
③異面直線a，b不垂直，則過直線a的任何平面與直線b都不垂直；
④若直線a和b共面，直線b和c共面，則直線a和c共面．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C　對(duì)于①，若直線a在平面α內(nèi)，這時(shí)直線a和平面α不平行，但是平面內(nèi)存在直線和a是平行的，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若直線a在平面α內(nèi)，這時(shí)直線a和平面α不垂直，但是平面內(nèi)存在直線和直線a是垂直的，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，根據(jù)線面垂直的定義可知，③是正確的；對(duì)于④，直線a，c有可能是異面直線，故④錯(cuò)誤．綜上所述，有3個(gè)命題是錯(cuò)誤命題，故選C.
4．如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線(　　)
A．12對(duì) B．24對(duì)
C．36對(duì) D．48對(duì)
解析：選B　如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢们艺襟w共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線＝24(對(duì))．
5．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A　若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，當(dāng)直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．
6.(2021·臨沂模擬)如圖，四邊形ABCD和四邊形ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．
解析：

如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝.
答案：

二、綜合練——練思維敏銳度
1．(2021·威海一中月考)設(shè)α，β為不重合的兩個(gè)平面，m，n為不重合的兩條直線，則下列命題正確的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α
B．若m?α，n?β，m∥n，則α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α
解析：選D　對(duì)于A，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m與α有可能相交，也有可能m?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m?α，n?β，m∥n，則α與β有可能相交，也有可能平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m∥α，n∥β，m⊥n，則α與β有可能平行，也有可能相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又知n⊥α，所以m⊥α，故D正確．故選D.
2．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是(　　)
A．α∥β，m?α，n?β ?m∥n
B．α⊥γ，β⊥γ ?α∥β
C．α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β
D．α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n?α∥γ
解析：選C　對(duì)于A，由α∥β，m?α，n?β，可知m，n無公共點(diǎn)，則m與n平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由α⊥γ，β⊥γ，可知α與β可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又知α∥β，所以n⊥β，故C正確；對(duì)于D，如圖所示，α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，但α與γ相交，故D錯(cuò)誤．故選C.
3.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D　連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1(或其補(bǔ)角)即為異面直線A1B與AD1所成的角．
連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，則A1C1＝，A1B＝BC1＝，
在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝＝.
4．若平面α，β的公共點(diǎn)多于兩個(gè)，則
①α，β平行；②α，β至少有三個(gè)公共點(diǎn)；③α，β至少有一條公共直線；④α，β至多有一條公共直線．
以上四個(gè)判斷中不成立的個(gè)數(shù)為(　　)
A．0　　 B．1 C．2　　　　 D．3
解析：選C　由條件知，當(dāng)平面α，β的公共點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí)，若所有公共點(diǎn)共線，則α，β相交；若公共點(diǎn)不共線，則α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．
5．(2021·沈陽模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是(　　)
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1為異面直線且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：選C　CC1與B1E在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線，所以A錯(cuò)誤；由題意知，上底面是一個(gè)正三角形，故AC不可能垂直于平面ABB1A1，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)锳E，B1C1為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，且因?yàn)椤鰽BC為正三角形，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，所以AE⊥BC，又因?yàn)锽C∥B1C1，所以AE⊥B1C1，所以C正確；因?yàn)锳1C1所在的平面A1B1C1與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點(diǎn)，故A1C1∥平面AB1E不正確，所以D錯(cuò)誤．故選C.
6．(多選)(2021·日照模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點(diǎn)，則(　　)
A．A，M，N，B四點(diǎn)共面
B．平面ADM⊥平面CDD1C1
C．直線BN與B1M所成的角為60°
D．BN∥平面ADM
解析：選BC　如圖所示，對(duì)于A，直線AM，BN是異面直線，故A，M，N，B四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正確；對(duì)于C，取CD的中點(diǎn)O，連接BO，ON，可知三角形BON為等邊三角形，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)锽N∥平面AA1D1D，顯然BN與平面ADM不平行，故D錯(cuò)誤．故選B、C.
7.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．


解析：如圖，取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，
∵C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，
∴AD∥BC，
∴直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角．
∵C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，
∴C1D⊥圓柱下底面，∴C1D⊥AD.
∵圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，
∴C1D＝AB＝AD，
∴直線AC1與AD所成角的正切值為，
∴異面直線AC1與BC所成角的正切值為.
答案：
8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：
①直線AM與CC1是相交直線；
②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與MB1是異面直線；
④直線AM與DD1是異面直線．
其中正確的結(jié)論為________(填序號(hào))．
解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤．
答案：③④
9．(2021·洛陽模擬)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是________．
解析：如圖所示，連接DN，
取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK.
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴MK∥AN，
∴∠KMC(或其補(bǔ)角)為異面直線AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點(diǎn)，
由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝ ＝.
在△CKM中，由余弦定理，
得cos∠KMC＝＝，
∴異面直線AN，CM所成角的余弦值是.
答案：
10．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則A1P＋PC的最小值為________．
解析：如圖①，連接A1B，由已知數(shù)據(jù)可得BC1＝2，A1B＝2，則A1C＋BC＝A1B2，∴∠A1C1B＝90°.將△BCC1沿BC1展平在平面A1BC1內(nèi)，連接A1C，如圖②，則A1P＋PC的最小值為線段A1C的長(zhǎng)．在△A1C1C中，A1C1＝2，CC1＝，易知∠A1C1C＝135°，由余弦定理得，A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝22＋()2－2×2××cos 135°＝4＋2＋4＝10，∴A1C＝，即A1P＋PC的最小值為.

答案：
11.如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)．
(1)求四棱錐O-ABCD的體積；
(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．
解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，
∴四棱錐O-ABCD的體積V＝×4×2＝.
(2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE，又M為OA的中點(diǎn)，
∴ME∥OC，
則∠EMD(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM為直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴異面直線OC與MD所成角的正切值為.
12.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．
(1)求證：直線EF與BD是異面直線；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角的大?。?br /> 解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，
所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾，故直線EF與BD是異面直線．
(2)如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
則AC∥FG，EG∥BD.
所以相交直線EF與EG所成的角即為異面直線EF與BD所成的角．
又因?yàn)锳C⊥BD，則FG⊥EG，
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.

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