?山東省青島市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類
一．拋物線與x軸的交點（共1小題）
1．（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過點P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．
二．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
2．（2021?青島）科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機(jī)測量小鋼球豎直向上運(yùn)動的相關(guān)數(shù)據(jù)．無人機(jī)上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽略空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同．其中無人機(jī)離地面高度y1（米）與小鋼球運(yùn)動時間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；小鋼球離地面高度y2（米）與它的運(yùn)動時間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中拋物線所示．
（1）直接寫出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機(jī)的高度差最大是多少米？

三．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
3．（2023?青島）許多數(shù)學(xué)問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點O為傘骨OA，OB的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，OA、OB關(guān)于y軸對稱．OC＝1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點之間的距離是4分米．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）分別延長AO，BO交拋物線于點F，E，求E，F(xiàn)兩點之間的距離；
（3）以拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為S1，將拋物線向右平移m（m＞0）個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為S2．若S2＝S1，求m的值．

四．三角形綜合題（共3小題）
4．（2022?青島）【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、
例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性質(zhì)探究】
如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，
則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性質(zhì)應(yīng)用】
（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝　 ??；
（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝　 　，S△CDE＝　 　；
（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝　 　．

5．（2022?青島）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動、速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接CP，EQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)EQ⊥AD時，求t的值；
（2）設(shè)四邊形PCDQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

6．（2021?青島）問題提出：
最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形．）
問題探究：
為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．
（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1．按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為（1，1，1），有1個，所以總共有1×1＝1個整數(shù)邊三角形．
表①
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
1
1
（1，1，1）
1
1個1
1×1
（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2．根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)最短邊長為1時，第三邊長只能是2，記為（2，1，2），有1個；當(dāng)最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2，記為（2，2，2），有1個，所以總共有1+1＝1×2＝2個整數(shù)邊三角形．
表②
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
2
1
（2，1，2）
1
2個1
1×2
2
（2，2，2）
1
（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：
表③
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
3
1
（3，1，3）
1
2個2
2×2
2
（3，2，2），（3，2，3）
2
3
（3，3，3）
1
（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：
表④
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
4
1
（4，1，4）
1
3個2
2×3
2
（4，2，3），（4，2，4）
2
3
（4，3，3），（4，3，4）
2
4
（4，4，4）
1
（5）請在表⑤中總結(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空：
表⑤
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，三邊長
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
5
1
（5，1，5）
1
　 　
　 　
2
（5，2，4）（5，2，5）
2
3
　 　
　 　
4
（5，4，4）（5，4，5）
2
5
（5，5，5）
1
問題解決：
（1）最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有 　 　個．
（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長邊長為n，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為n的整數(shù)邊三角形的個數(shù)．
（3）最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有 　 　個．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有 　 　個．
五．平行四邊形的性質(zhì)（共2小題）
7．（2023?青島）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠DCB的平分線交AD于點F，點G，H分別是AE和CF的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接EF．若EF＝AF，請判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結(jié)論．

8．（2021?青島）如圖，在?ABCD中，E為CD邊的中點，連接BE并延長，交AD的延長線于點F，延長ED至點G，使DG＝DE，分別連接AE，AG，F(xiàn)G．
（1）求證：△BCE≌△FDE；
（2）當(dāng)BF平分∠ABC時，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請說明理由．

六．四邊形綜合題（共3小題）
9．（2022?青島）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求證：△ABF≌△CDE；
（2）連接AE，CF，已知 　 ?。◤囊韵聝蓚€條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：∠ABD＝30°；
條件②：AB＝BC．
（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分）

10．（2023?青島）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝10cm，BD＝4cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，動點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s．以AP，AQ為鄰邊的平行四邊形APMQ的邊PM與AC交于點E．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t≤5），解答下列問題：
（1）當(dāng)點M在BD上時，求t的值；
（2）連接BE．設(shè)△PEB的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；
（3）是否存在某一時刻t，使點B在∠PEC的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

11．（2021?青島）已知：如圖，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．過點Q作QM∥BE，交AD于點H，交DE于點M，過點Q作QN∥BC，交CD于點N．分別連接PQ，PM，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：
（1）當(dāng)PQ⊥BD時，求t的值；
（2）設(shè)五邊形PMDNQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)PQ＝PM時，求t的值；
（4）若PM與AD相交于點W，分別連接QW和EW．在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

七．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共2小題）
12．（2023?青島）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學(xué)生進(jìn)行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為AB，點O是AB的中點，OC是燈桿．地面上三點D，E與C在一條直線上，DE＝1.5m，EC＝5m．該校學(xué)生在D處測得電池板邊緣點B的仰角為37°，在E處測得電池板邊緣點B的仰角為45°．此時點A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬AB的長度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）

13．（2021?青島）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動，準(zhǔn)備測量一棟大樓BC的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡DE的長是20米，坡角為37°，斜坡DE底部D與大樓底端C的距離CD為74米，與地面CD垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂B測得路燈AE頂端A處的俯角是42.6°．試求大樓BC的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）

八．頻數(shù)（率）分布直方圖（共2小題）
14．（2023?青島）今年4月15日是我國第八個“全民國家安全教育日”．為增強(qiáng)學(xué)生國家安全意識，夯實國家安全教育基礎(chǔ)、某市舉行國家安全知識競賽．競賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績（滿分100分）均不低于60分．小明將自己所在班級學(xué)生的成績（用x表示）分為四組：A組（60≤x＜70），B組（70≤x＜80），C組（80≤x＜90），D組（90≤x≤100），繪制了如圖不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中A組所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 　 　°；
（3）把每組中各個同學(xué)的成績用這組數(shù)據(jù)的中間值（如A組：60≤x＜70的中間值為65）來代替，試估計小明班級的平均成績；
（4）小明根據(jù)本班成績，估計全市參加競賽的所有8000名學(xué)生中會有800名學(xué)生成績低于70分，實際只有446名學(xué)生的成績低于70分．請你分析小明估計不準(zhǔn)確的原因．
15．（2022?青島）孔子曾說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”興趣是最好的老師．閱讀、書法、繪畫、手工、烹飪、運(yùn)動、音樂…各種興趣愛好是打開創(chuàng)新之門的金鑰匙．某校為了解學(xué)生興趣愛好情況，組織了問卷調(diào)查活動，從全校2200名學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，其中一項調(diào)查內(nèi)容是學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好的時長，對這項調(diào)查結(jié)果使用畫“正”字的方法進(jìn)行初步統(tǒng)計，得到下表：
學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長分布統(tǒng)計表
組別
時長t（單位：h）
人數(shù)累計
人數(shù)
第一組
1≤t＜2
正正正正正正
30
第二組
2≤t＜3
正正正正正正正正正正正正
60
第三組
3≤t＜4
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四組
4≤t＜5
正正正正正正正正
40
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長的中位數(shù)落在第 　 　組；
（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為 　 　，對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為 　 　°；
（4）學(xué)校倡議學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長應(yīng)不少于2h，請你估計，該校學(xué)生中有多少人需要增加自主發(fā)展興趣愛好時間？

九．游戲公平性（共1小題）
16．（2021?青島）為踐行青島市中小學(xué)生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜和小麗想合唱一首歌．小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉(xiāng)》．她們想通過做游戲的方式來決定合唱哪一首歌，于是一起設(shè)計了一個游戲：下面是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若兩個指針指向的數(shù)字之積小于4，則合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平．


山東省青島市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類
參考答案與試題解析
一．拋物線與x軸的交點（共1小題）
1．（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過點P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．
【答案】（1）m＝1．
（2）二次函數(shù)圖象與x軸有2個交點．理由見解答．
【解答】解：（1）將（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有2個交點．
二．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
2．（2021?青島）科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機(jī)測量小鋼球豎直向上運(yùn)動的相關(guān)數(shù)據(jù)．無人機(jī)上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽略空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同．其中無人機(jī)離地面高度y1（米）與小鋼球運(yùn)動時間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；小鋼球離地面高度y2（米）與它的運(yùn)動時間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中拋物線所示．
（1）直接寫出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機(jī)的高度差最大是多少米？

【答案】（1）y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝5x+30；（2）y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2＝﹣5x2+40x；（3）高度差的最大值為70米．
【解答】解：（1）設(shè)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝kx+b，
∵函數(shù)圖象過點（0，30）和（1，35），
則，
解得：，
∴y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝5x+30；
（2）∵x＝6時，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的圖象是過原點的拋物線，
設(shè)y2＝ax2+bx，
∴點（1.35），（6.60）在拋物線y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2＝﹣5x2+40x；
（3）設(shè)小鋼球和無人機(jī)的高度差為y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6時，
y＝y(tǒng)2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴拋物線開口向下，
又∵1＜x≤6，
∴當(dāng)x＝時，y的最大值為；
②6＜x≤8時，y＝y(tǒng)1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴拋物線開口向上，
又∵對稱軸是直線x＝，
∴當(dāng)x＞時，y隨x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴當(dāng)x＝8時，y的最大值為70，
∵＜70，
∴高度差的最大值為70米．
三．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
3．（2023?青島）許多數(shù)學(xué)問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點O為傘骨OA，OB的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，OA、OB關(guān)于y軸對稱．OC＝1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點之間的距離是4分米．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）分別延長AO，BO交拋物線于點F，E，求E，F(xiàn)兩點之間的距離；
（3）以拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為S1，將拋物線向右平移m（m＞0）個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為S2．若S2＝S1，求m的值．

【答案】（1）y＝﹣0.1x2+1；
（2）10；
（3）m＝2．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+c，
由題意得，點A的坐標(biāo)為：（2，0.6）、點C（0，1），
則，解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣0.1x2+1①；

（2）由點A的坐標(biāo)得，直線OA的表達(dá)式為：y＝0.3x②，
聯(lián)立①②得：0.3x＝﹣0.1x2+1，
解得：x＝2（舍去）或﹣5，
即點F（﹣5，﹣1.5），
則EF＝5×2＝10；

（3）平移后的拋物線表達(dá)式為：y＝﹣0.1（x﹣m）2+1，
令x＝0，則y＝﹣0.1m2+1，此時拋物線與y軸的交點為D（0，﹣0.1m2+1），
∵平移前后拋物線和x軸交點間的距離不變，若S2＝S1，
則OD＝OC，
即﹣0.1m2+1＝×1，
解得：m＝±2（舍去負(fù)值），
即m＝2．
四．三角形綜合題（共3小題）
4．（2022?青島）【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、
例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性質(zhì)探究】
如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，
則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性質(zhì)應(yīng)用】
（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝　3：4??；
（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝　　，S△CDE＝　　；
（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝　　．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案為：3：4；

（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案為：，；

（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝?＝，
故答案為：．
5．（2022?青島）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動、速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接CP，EQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)EQ⊥AD時，求t的值；
（2）設(shè)四邊形PCDQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）如圖：

在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，
∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，
∵EQ⊥AD，
∴∠AQE＝∠AED＝90°，
∵∠EAQ＝∠DAE，
∴△AQE∽△AED，
∴＝，即＝，
∴AQ＝，
∴t＝＝；
答：t的值為；
（2）過P作PN⊥BC于N，過C作CM⊥AD于M，如圖：

∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAM，
∵∠ACB＝90°＝∠AMC，
∴△ABC∽△CAM，
∴＝，即＝，
∴CM＝，
∴S△ACD＝AD?CM＝×5×＝8，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，
∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，
∴△PBN∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PN＝t，
∴S△BCP＝BC?PN＝×3×t＝t，
∴S＝S四邊形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ
＝14﹣t﹣（5﹣t）?t
＝t2﹣t+14；
答：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是S＝t2﹣t+14；
（3）存在某一時刻t，使PQ∥CD，理由如下：
過C作CM⊥AD于M，如圖：

由（2）知CM＝，
∴AM＝＝＝，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，
∵PQ∥CD，
∴∠AQP＝∠MDC，
∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，
∴△APQ∽△MCD，
∴＝，即＝，
解得t＝，
答：存在時刻t＝，使PQ∥CD．
6．（2021?青島）問題提出：
最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形．）
問題探究：
為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．
（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1．按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為（1，1，1），有1個，所以總共有1×1＝1個整數(shù)邊三角形．
表①
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
1
1
（1，1，1）
1
1個1
1×1
（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2．根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)最短邊長為1時，第三邊長只能是2，記為（2，1，2），有1個；當(dāng)最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2，記為（2，2，2），有1個，所以總共有1+1＝1×2＝2個整數(shù)邊三角形．
表②
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
2
1
（2，1，2）
1
2個1
1×2
2
（2，2，2）
1
（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：
表③
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
3
1
（3，1，3）
1
2個2
2×2
2
（3，2，2），（3，2，3）
2
3
（3，3，3）
1
（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：
表④
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
4
1
（4，1，4）
1
3個2
2×3
2
（4，2，3），（4，2，4）
2
3
（4，3，3），（4，3，4）
2
4
（4，4，4）
1
（5）請在表⑤中總結(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空：
表⑤
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，三邊長
整數(shù)邊三角形個數(shù)
計算方法
算式
5
1
（5，1，5）
1
　3個3　
　3×3　
2
（5，2，4）（5，2，5）
2
3
　（5，3，3）（5，3，4）（5，3，5）　
　3　
4
（5，4，4）（5，4，5）
2
5
（5，5，5）
1
問題解決：
（1）最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有 　12　個．
（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長邊長為n，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為n的整數(shù)邊三角形的個數(shù)．
（3）最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有 　4160　個．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有 　295　個．
【答案】（1）12；
（2）n是奇數(shù)時，三角形的個數(shù)是：，
n是偶數(shù)時，三角形的個數(shù)是：；
（3）4160；
拓展延伸
295．
【解答】解：（1）最長邊 三角形個數(shù)
1 1×1
2 1×2
3 2×2
4 2×3
5 3×3
6 3×4
.....．
故答案為：12；
（2）最長邊是奇數(shù)時 算式
1 1×1
3 2×2
5 3×3
7 4×4
.....．
n ，
最長邊是偶數(shù)時 算式
2 1×2
4 2×3
6 3×4
.....．
n ；
（3）當(dāng)n＝128時，
＝＝4160；
故答案是4160；
拓展延伸：
當(dāng)側(cè)棱是9時，
底邊三角形的最長邊可以是1，2，3，4，5，6，7，8，
∴直三棱柱個數(shù)共：1+2+4+6+9+12+16+20＝70，
當(dāng)9是底的棱長時，
×9＝225，
70+225＝295，
故答案是295．
五．平行四邊形的性質(zhì)（共2小題）
7．（2023?青島）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠DCB的平分線交AD于點F，點G，H分別是AE和CF的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接EF．若EF＝AF，請判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結(jié)論．

【答案】（1）見解答；
（2）四邊形FGEH是矩形．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分線AE、CF分別交BC、AD于點E、F，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA）．
（2）證明：∵△BAE≌△DCF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
∵點G、H分別為AE、CF的中點，
∴GE∥FH，GE＝FH，
∴四邊形FGEH是平行四邊形
∵EF＝AF，G為AE的中點，
∴GF⊥AE，
∴四邊形FGEH是矩形．
8．（2021?青島）如圖，在?ABCD中，E為CD邊的中點，連接BE并延長，交AD的延長線于點F，延長ED至點G，使DG＝DE，分別連接AE，AG，F(xiàn)G．
（1）求證：△BCE≌△FDE；
（2）當(dāng)BF平分∠ABC時，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請說明理由．

【答案】（1）證明見解析；
（2）矩形，理由見解析．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E為CD邊的中點，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四邊形AEFG是矩形，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四邊形AEFG是矩形．
六．四邊形綜合題（共3小題）
9．（2022?青島）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求證：△ABF≌△CDE；
（2）連接AE，CF，已知 　①?。◤囊韵聝蓚€條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：∠ABD＝30°；
條件②：AB＝BC．
（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分）

【答案】（1）見解析；
（2）①（答案不唯一），理由見解析．
【解答】（1）證明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若選擇條件①：
四邊形AECF是菱形，理由如下：

由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝，
∴AE＝AF，
∴?AECF是菱形；
若選擇條件②：
四邊形AECF是菱形，理由如下：
連接AC交BD于點O，

由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴?AECF是菱形．
故答案為：①（答案不唯一）．
10．（2023?青島）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝10cm，BD＝4cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，動點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s．以AP，AQ為鄰邊的平行四邊形APMQ的邊PM與AC交于點E．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t≤5），解答下列問題：
（1）當(dāng)點M在BD上時，求t的值；
（2）連接BE．設(shè)△PEB的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；
（3）是否存在某一時刻t，使點B在∠PEC的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）t＝；
（2）S＝﹣t2+4t（0＜t≤5），S的最大值為10；
（3）存在，t＝．
【解答】解：（1）由題意得：DQ＝10﹣2t，PM＝2t，PB＝10﹣t，QM＝AP＝t，
如下圖，點M在BD上時，

∵QM∥PB，PM∥QD，
∴∠DQM＝∠DAB＝∠MPQ，∠DMQ＝∠MBP，
∴△DQM∽△MPB，則，
即，
解得：t＝；

（2）如上圖，
∵AD∥PM，
∴∠AEP＝∠EAQ，
∵四邊形ABCD是菱形，
則∠QAE＝∠EAP，
∴∠AEP＝∠EAP，
∴△APE為等腰三角形，則PE＝AP＝t，
過點D作DH⊥AB于點H，
則S△ABD＝AB?DH＝AO?DB，
即10?DH＝×4，
解得：DH＝8，
則sin∠DAH＝＝＝，
設(shè)△PEB中PB邊上的高為h，
則S＝PB?h＝（20﹣t）×sin∠DHA×AE＝（20﹣t）×＝﹣t2+4t（0＜t≤5），
∵﹣＜0，故S由最大值，
當(dāng)t＝5時，S的最大值為10；

（3）存在，理由：
如下圖，過點B作BR⊥PE于點R，

當(dāng)點B在∠PEC的平分線上時，則BR＝OB＝2，
在Rt△PBR中，sin∠EPB＝sin∠DAB＝＝＝，
解得：t＝．
11．（2021?青島）已知：如圖，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．過點Q作QM∥BE，交AD于點H，交DE于點M，過點Q作QN∥BC，交CD于點N．分別連接PQ，PM，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：
（1）當(dāng)PQ⊥BD時，求t的值；
（2）設(shè)五邊形PMDNQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)PQ＝PM時，求t的值；
（4）若PM與AD相交于點W，分別連接QW和EW．在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）．
（2）S＝t2+t（0＜t＜8）．
（3）．
（4）存在，t＝．
【解答】解：（1）如圖1中，

由題意，BP＝DQ＝t（cm），
在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝AD＝6cm，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∵PQ⊥BD，
∴∠PQB＝90°，
∴cos∠PBQ＝＝，
∴＝，
∴t＝，
答：當(dāng)PQ⊥BD時，t的值為．

（2）如圖2中，過點P作PO⊥QM于點O．

在等腰Rt△ADE中，AD＝AE＝6，∠EAD＝90°，
∴BE＝AB+AE＝8+6＝14（cm），
∵QM∥BE，
∴∠POH＝∠PAH＝∠OHA＝90°，
∴四邊形OPAH是矩形，
∴PO＝AH，
∵QM∥EB，
∴∠DQM＝∠DBE，
∵∠QDM＝∠QDM，
∴△DQM∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴QM＝t（cm），
∵QN∥BC，
∴∠DNQ＝∠C＝90°，
∵∠CDB＝∠CDB，
∴△NDQ∽△CDB，
∴＝，
∴＝＝，
∴DN＝t（cm），QN＝t（cm）．
∴S＝S四邊形DQPM+S△DNQ
＝（PO+DH）?QM+QN?ND
＝（HA+DH）?QM+QN?ND
＝?AD?QM+QN?ND
＝×6×t+×t×t
＝t2+t．
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S＝t2+t（0＜t＜8）．

（3）如圖3中，延長NQ交BE于點G．

由（1）（2）可知DC∥AB，∠DNQ＝90°，PO⊥QM，
∵∠DNQ＝∠NGA＝∠BAD＝90°，
∴四邊形NGAD是矩形，
∴BG＝CN＝（8﹣t）（cm），
同理可證，四邊形PGQO是矩形，
∴QO＝PG＝BP﹣CN＝t﹣（8﹣t）＝（t﹣8）（cm），
∴×t＝t﹣8，
∴t＝，
答：當(dāng)PQ＝PM時，t的值為．

（4）存在．
理由：如圖4中，

由（2）得DN＝t，QM＝t，
∵QN∥BC，QM∥BE，
∴∠DNQ＝∠NQH＝∠NDH＝90°，
∴四邊形NQHD是矩形，
∴QH＝DN＝t，且∠QHD＝90°，
∴∠QHA＝∠DAE＝90°，
∵∠AWE＝∠QWD，
∴△HQW∽△AEW，
同理可證△MHW∽△PAW，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∴t＝，
經(jīng)檢驗，t＝是分式方程的解，
答：在運(yùn)動過程中，t的值為時，∠AWE＝∠QWD．
七．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共2小題）
12．（2023?青島）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學(xué)生進(jìn)行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為AB，點O是AB的中點，OC是燈桿．地面上三點D，E與C在一條直線上，DE＝1.5m，EC＝5m．該校學(xué)生在D處測得電池板邊緣點B的仰角為37°，在E處測得電池板邊緣點B的仰角為45°．此時點A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬AB的長度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）

【答案】1.4m．
【解答】解：過點B作BH⊥DC于點H，過點B作BF⊥OC于點F，如圖，

依題意得：OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠NEH＝45°，
又BH⊥DC
∴△BEH和△OEC均為等腰直角三角形，
∴EH＝BH，EC＝OC，
∵DE＝1.5m，EC＝5m，
∴OC＝EC＝5m，
∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，
∴四邊形BHCF為矩形，
∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH，
∴∠OBF＝∠NEH＝45°，
∴△OBF為等腰直角三角形，
∴BF＝OF＝CH，
設(shè)BF＝xm，則OF＝CH＝xm，
∴EH＝BH＝EC﹣CH＝（5﹣x） m，
∴DH＝DE+EH＝1.5+5﹣x＝（6.5﹣x） m，
在Rt△BDH中，tan∠BDH＝，
即：tan37°＝，
∴，
解得：x＝0.5，
檢驗后知道x＝0.5是原方程得根．
∴BF＝OF＝0.5（m），
在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得：OB＝≈0.5×≈0.5×1.41＝0.705（m），
∵點O為AB的中點，
∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4（m），
答：太陽能電池板寬AB的長度約為1.4m．
13．（2021?青島）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動，準(zhǔn)備測量一棟大樓BC的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡DE的長是20米，坡角為37°，斜坡DE底部D與大樓底端C的距離CD為74米，與地面CD垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂B測得路燈AE頂端A處的俯角是42.6°．試求大樓BC的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）

【答案】約為96米．
【解答】解：延長AE交CD延長線于M，過A作AN⊥BC于N，如圖所示：
則四邊形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC，
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），
∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，
∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），
∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），
答：大樓BC的高度約為96米．

八．頻數(shù)（率）分布直方圖（共2小題）
14．（2023?青島）今年4月15日是我國第八個“全民國家安全教育日”．為增強(qiáng)學(xué)生國家安全意識，夯實國家安全教育基礎(chǔ)、某市舉行國家安全知識競賽．競賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績（滿分100分）均不低于60分．小明將自己所在班級學(xué)生的成績（用x表示）分為四組：A組（60≤x＜70），B組（70≤x＜80），C組（80≤x＜90），D組（90≤x≤100），繪制了如圖不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中A組所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 　36　°；
（3）把每組中各個同學(xué)的成績用這組數(shù)據(jù)的中間值（如A組：60≤x＜70的中間值為65）來代替，試估計小明班級的平均成績；
（4）小明根據(jù)本班成績，估計全市參加競賽的所有8000名學(xué)生中會有800名學(xué)生成績低于70分，實際只有446名學(xué)生的成績低于70分．請你分析小明估計不準(zhǔn)確的原因．
【答案】（1）答案見解答過程；
（2）36；
（3）85.5；
（4）小明班級的這個樣本只能代表小明學(xué)校，可以用來估計小明學(xué)校的學(xué)生成績，不能用來估計全市所有學(xué)校學(xué)生的成績，因此小明的估計不準(zhǔn)確（答案不唯一，只要合理即可）．
【解答】解：（1）由頻數(shù)分布直方圖可知：C組是10人，
由扇形統(tǒng)計圖可知：C組占班級人數(shù)的20%，
∴班級人數(shù)為：10÷25%＝40（人），
∴B組的人數(shù)為：40﹣4﹣10﹣18＝8（人），
∴補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：

（2）由頻數(shù)分布直方圖可知：C組是4人，
∴A組人數(shù)占班級人數(shù)的百分比為：4÷40＝10%，
∴A組所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：360°×40%＝36°．
故答案為：36．
（3）∵A組中間值為65分，A組有4人，B組中間值為75分，B組有8人，C組中間值為85分，C組有10人，D組中間值為95分，D組有18人，
∴班級的平均成績?yōu)椋海?5×4+75×8+85×10+95×18）＝85.5（分），
答：估計小明班級的平均成績?yōu)?5.5分．
（4）∵小明班級低于70分的人數(shù)占班級人數(shù)的10%，
∴8000×10%＝800（人），
因此小明估計全市低于70分的人數(shù)有800人．
其實這樣估計是不準(zhǔn)確，其原因是：小明班級的這個樣本只能代表小明學(xué)校，可以用來估計小明學(xué)校的學(xué)生成績，不能用來估計全市所有學(xué)校學(xué)生的成績，因此小明的估計不準(zhǔn)確（答案不唯一，只要合理即可）．
15．（2022?青島）孔子曾說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”興趣是最好的老師．閱讀、書法、繪畫、手工、烹飪、運(yùn)動、音樂…各種興趣愛好是打開創(chuàng)新之門的金鑰匙．某校為了解學(xué)生興趣愛好情況，組織了問卷調(diào)查活動，從全校2200名學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，其中一項調(diào)查內(nèi)容是學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好的時長，對這項調(diào)查結(jié)果使用畫“正”字的方法進(jìn)行初步統(tǒng)計，得到下表：
學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長分布統(tǒng)計表
組別
時長t（單位：h）
人數(shù)累計
人數(shù)
第一組
1≤t＜2
正正正正正正
30
第二組
2≤t＜3
正正正正正正正正正正正正
60
第三組
3≤t＜4
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四組
4≤t＜5
正正正正正正正正
40
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長的中位數(shù)落在第 　三　組；
（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為 　30%　，對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為 　108　°；
（4）學(xué)校倡議學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長應(yīng)不少于2h，請你估計，該校學(xué)生中有多少人需要增加自主發(fā)展興趣愛好時間？

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長的中位數(shù)落在第三組，
故答案為：三；
（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為：；
對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：360°×30%＝108°，
故答案為：30%；108；
（4）2200×＝330（人），
答：估計該校學(xué)生中有330人需要增加自主發(fā)展興趣愛好時間．
九．游戲公平性（共1小題）
16．（2021?青島）為踐行青島市中小學(xué)生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜和小麗想合唱一首歌．小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉(xiāng)》．她們想通過做游戲的方式來決定合唱哪一首歌，于是一起設(shè)計了一個游戲：下面是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若兩個指針指向的數(shù)字之積小于4，則合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

∵共有12種等可能的結(jié)果，其中數(shù)字之積小于4的有5種結(jié)果，
∴合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》的概率是，
∴合唱《紅旗飄飄》的概率是，
∵＜，
∴游戲不公平．

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