遼寧省撫順市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類

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一．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）
1．（2021?遼寧）某市公交公司為落實(shí)“綠色出行，低碳環(huán)?！钡某鞘邪l(fā)展理念，計劃購買A，B兩種型號的新型公交車，已知購買1輛A型公交車和2輛B型公交車需要165萬元，2輛A型公交車和3輛B型公交車需要270萬元．
（1）求A型公交車和B型公交車每輛各多少萬元？
（2）公交公司計劃購買A型公交車和B型公交車共140輛，且購買A型公交車的總費(fèi)用不高于B型公交車的總費(fèi)用，那么該公司最多購買多少輛A型公交車？
二．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
2．（2023?遼寧）拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，當(dāng)△BEF的周長是線段PF長度的2倍時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到拋物線頂點(diǎn)時，點(diǎn)Q是y軸上的動點(diǎn)，連接BQ，過點(diǎn)B作直線l⊥BQ，連接QF并延長交直線l于點(diǎn)M，當(dāng)BQ＝BM時，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
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3．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)D為x軸上方拋物線上的動點(diǎn)，射線OD交直線AC于點(diǎn)E，將射線OD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在第二象限且＝時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△ODF為直角三角形時，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．


4．（2021?遼寧）直線y＝﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，與x軸的另一個交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥x軸于點(diǎn)G．當(dāng)DE＝FG時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，直線CD與AB相交于點(diǎn)M，點(diǎn)H在拋物線上，過H作HK∥y軸，交直線CD于點(diǎn)K．P是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，H，K，P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

三．三角形綜合題（共1小題）
5．（2021?遼寧）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交直線AC于點(diǎn)F，連接EF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時，請直接寫出線段EF與BE的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合時，請寫出線段AF，EF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，請直接寫出線段AF的長．

四．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）
6．（2023?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AB，交CA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF與⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)N，求的長．

7．（2021?遼寧）如圖，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，連接AC，BC，過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，DA與BO的延長線相交于點(diǎn)E，DO與AC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求線段DF的長．

五．幾何變換綜合題（共2小題）
8．（2022?遼寧）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至AD（AD不與AC重合），旋轉(zhuǎn)角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點(diǎn)E，連接EC．
（1）如圖①，當(dāng)α＝20°時，∠AEB的度數(shù)是 　 ?。?br /> （2）如圖②，當(dāng)0°＜α＜90°時，求證：BD+2CE＝AE；
（3）當(dāng)0°＜α＜180°，AE＝2CE時，請直接寫出的值．


9．（2023?遼寧）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是射線BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，在AE的左側(cè)作等邊三角形AED，將線段EC繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段EF，連接BF，交DE于點(diǎn)M．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時，請直接寫出線段DM與EM的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)BC＝6，CE＝2時，請直接寫出AM的長．
?
六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）
10．（2023?遼寧）小亮利用所學(xué)的知識對大廈的高度CD進(jìn)行測量，他在自家樓頂B處測得大廈底部的俯角是30°，測得大廈頂部的仰角是37°，已知他家樓頂B處距地面的高度BA為40米（圖中點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi)）．
（1）求兩樓之間的距離AC（結(jié)果保留根號）；
（2）求大廈的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

七．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）
11．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時貨輪與A港口的距離（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

12．（2021?遼寧）某景區(qū)A、B兩個景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B必須經(jīng)過C處才能到達(dá)．觀測得景點(diǎn)B在景點(diǎn)A的北偏東30°，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行600米到達(dá)C處，測得景點(diǎn)B在C的北偏東75°方向．
（1）求景點(diǎn)B和C處之間的距離；（結(jié)果保留根號）
（2）當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的筆直的跨湖大橋．大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）


遼寧省撫順市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類
參考答案與試題解析
一．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）
1．（2021?遼寧）某市公交公司為落實(shí)“綠色出行，低碳環(huán)?！钡某鞘邪l(fā)展理念，計劃購買A，B兩種型號的新型公交車，已知購買1輛A型公交車和2輛B型公交車需要165萬元，2輛A型公交車和3輛B型公交車需要270萬元．
（1）求A型公交車和B型公交車每輛各多少萬元？
（2）公交公司計劃購買A型公交車和B型公交車共140輛，且購買A型公交車的總費(fèi)用不高于B型公交車的總費(fèi)用，那么該公司最多購買多少輛A型公交車？
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）設(shè)A型公交車每輛x萬元，B型公交車每輛y萬元，
由題意得：，
解得：，
答：A型公交車每輛45萬元，B型公交車每輛60萬元；
（2）設(shè)該公司購買m輛A型公交車，則購買（140﹣m）輛B型公交車，
由題意得：45m≤60（140﹣m），
解得：m≤80，
答：該公司最多購買80輛A型公交車．
二．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
2．（2023?遼寧）拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，當(dāng)△BEF的周長是線段PF長度的2倍時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到拋物線頂點(diǎn)時，點(diǎn)Q是y軸上的動點(diǎn)，連接BQ，過點(diǎn)B作直線l⊥BQ，連接QF并延長交直線l于點(diǎn)M，當(dāng)BQ＝BM時，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
?
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）P（，5）；
（3）Q（0，+）或（0，﹣）．
【解答】解：（1）將點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，4）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；
（2）∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，4），
∴OB＝3，OC＝4，
∴tan∠OBC＝，
∴BE＝EF，BF＝EF，
∴△BEF的周長＝3EF，
∵△BEF的周長是線段PF長度的2倍，
∴3EF＝2PF，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4，
∴3k+4＝0，
解得k＝﹣，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)P（t，﹣t2+t+4），則F（t，﹣t+4），E（t，0），
∴EF＝﹣t+4，PF＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+4t，
∴3（﹣t+4）＝2（﹣t2+4t），
解得t＝3（舍）或t＝，
∴P（，5）；
（3）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴P（1，），
∵FP⊥x軸，
∴F（1，），
設(shè)Q（0，n），
如圖：過點(diǎn)M作MN⊥x軸交于點(diǎn)N，
∵∠QBM＝90°，
∴∠QBO+∠MBN＝90°，
∵∠QBO+∠OQB＝90°，
∴∠MBN＝∠OQB，
∵BQ＝BM，
∴△BQO≌△MBN（AAS），
∴QO＝BN，MN＝OB，
∴M（3+n，3），
設(shè)直線QM的解析式為y＝k'x+n，
∴k'（3+n）+n＝3，
解得k'＝，
∴直線QM的解析式為y＝x+n，
將點(diǎn)F代入，+n＝，
解得n＝+或n＝﹣，
∴Q（0，+）或（0，﹣）．

3．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)D為x軸上方拋物線上的動點(diǎn)，射線OD交直線AC于點(diǎn)E，將射線OD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在第二象限且＝時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△ODF為直角三角形時，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．


【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB交于G，交AC于點(diǎn)H，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
設(shè)D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）設(shè)F（t，t+4），
當(dāng)∠FDO＝90°時，過點(diǎn)D作MN⊥y軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FM⊥MN交于點(diǎn)M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）或（，2）；
當(dāng)∠DFO＝90°時，過點(diǎn)F作KL⊥x軸交于L點(diǎn)，過點(diǎn)D作DK⊥KL交于點(diǎn)K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
綜上所述：D點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．



4．（2021?遼寧）直線y＝﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，與x軸的另一個交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥x軸于點(diǎn)G．當(dāng)DE＝FG時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，直線CD與AB相交于點(diǎn)M，點(diǎn)H在拋物線上，過H作HK∥y軸，交直線CD于點(diǎn)K．P是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，H，K，P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（2，3）；（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，則x＝3，
∴A（3，0），
∵拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），
∵DE∥y軸交AB于點(diǎn)E，
∴E（m，﹣m+3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
連接GE，延長DE交x軸于點(diǎn)T，
∴四邊形FGED是平行四邊形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG為等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，
∴F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2m﹣3，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，
解得m＝2或m＝3（舍），
∴D（2，3）；
（3）令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
設(shè)CD的解析式為y＝kx+b，將C（﹣1，0）、D（2，3）代入，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
聯(lián)立x+1＝﹣x+3，
解得x＝1，
∴M（1，2），
∵以點(diǎn)M，H，K，P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
①如圖2，圖3，當(dāng)MH⊥MK時，H點(diǎn)在AB上，K點(diǎn)在CD上，


∵H點(diǎn)在拋物線上，
∴H（3，0）或H（0，3），
當(dāng)H（3，0）時，MH＝2，
∴KH＝4，
∴K（3，4）
∴HK的中點(diǎn)為（3，2），則MP的中點(diǎn)也為（3，2），
∴P（5，2）；
當(dāng)H（0，3）時，MH＝，
∴KH＝2，
∴K（0，1），
∴HK的中點(diǎn)為（0，2），則MP的中點(diǎn)也為（0，2），
∴P（﹣1，2），
此時HK與y軸重合，
∴P（﹣1，2）不符合題意；
②如圖4，圖5，當(dāng)MH⊥HK時，此時MH⊥y軸，


∴H（1+，2）或H（1﹣，2），
當(dāng)H（1+，2）時，MH＝，
∴P（1，2+）；
當(dāng)H（1﹣，2）時，MH＝，
∴P（1，2﹣）；
綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)M，H，K，P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．

三．三角形綜合題（共1小題）
5．（2021?遼寧）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交直線AC于點(diǎn)F，連接EF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時，請直接寫出線段EF與BE的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合時，請寫出線段AF，EF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，請直接寫出線段AF的長．

【答案】（1）EF＝EB．
（2）結(jié)論：AF2+BE2＝EF2，證明見解析部分．
（3）AF的長為或1．
【解答】解：（1）結(jié)論：EF＝BE．
理由：如圖1中，

∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴EF＝EB．

（2）結(jié)論：AF2+BE2＝EF2．
理由：如圖2中，過點(diǎn)A作AJ⊥AC交ED的延長線于J，連接FJ．

∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，
，
∴△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2+AJ2＝FJ2，
∴AF2+BE2＝EF2．

（3）如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，設(shè)AF＝x，則CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+22＝（5﹣x）2+12，
∴x＝，
∴AF＝．
如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，設(shè)AF＝x，則CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+42＝（5﹣x）2+12，
∴x＝1，
∴AF＝1，
綜上所述，滿足條件的AF的長為或1．
四．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）
6．（2023?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AB，交CA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF與⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)N，求的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）π．
【解答】（1）證明：連接OE，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，
∴OE⊥AB，
∵EF∥AB，
∴OE⊥FE．
∵OE為⊙O的半徑，
∴EF與⊙O相切；
（2）解：連接OG，OC，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°．
∵∠ACE＝45°，EG⊥AC，
∴∠MEC＝45°，
∴∠GOC＝2∠MEC＝90°，
∴∠AOG＝∠AOC﹣∠GOC＝30°，
∵AB＝8，AB是⊙O的直徑，
∴OA＝OG＝4，
∴的長＝＝．

7．（2021?遼寧）如圖，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，連接AC，BC，過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，DA與BO的延長線相交于點(diǎn)E，DO與AC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求線段DF的長．

【答案】（1）詳見解答；
（2）．
【解答】解：（1）如圖，連接OC，
∵＝，
∴AC＝BC，
又∵OA＝OB，OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∴△AOC、△BOC是等邊三角形，
∴OA＝AC＝CB＝OB，
∴四邊形OACB是菱形，
∴OA∥BD，
又∵AD⊥BD，
∴OA⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）由（1）得AC＝OA＝2，∠OAC＝60°，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝2，
∴DC＝AC＝1，AD＝AC＝，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD＝＝＝，
∵OA∥BD，
∴△CFD∽△AFO，
∴＝，
又∵＝sin30°＝，AC＝OA＝2，
∴＝，
∴＝，
即DF＝OD＝．

五．幾何變換綜合題（共2小題）
8．（2022?遼寧）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至AD（AD不與AC重合），旋轉(zhuǎn)角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點(diǎn)E，連接EC．
（1）如圖①，當(dāng)α＝20°時，∠AEB的度數(shù)是 　45°?。?br /> （2）如圖②，當(dāng)0°＜α＜90°時，求證：BD+2CE＝AE；
（3）當(dāng)0°＜α＜180°，AE＝2CE時，請直接寫出的值．


【答案】（1）45°；
（2）證明見解析；
（3）2+2或2﹣2．
【解答】（1）解：∵線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α至AD，α＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案為：45°；
（2）證明：延長DB到F，使BF＝CE，連接AF，

∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF＝，
∴EF＝，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CE＝AE；
（3）解：如圖3，當(dāng)0°＜α＜90°時，

由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2DE，
∴＝2；
如圖4，當(dāng)90°＜α＜180°時，

在BD上截取BF＝DE，連接AF，方法同（2）可證△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2DE，
∴+2．
綜上所述，的值為2+2或2﹣2．
9．（2023?遼寧）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是射線BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，在AE的左側(cè)作等邊三角形AED，將線段EC繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段EF，連接BF，交DE于點(diǎn)M．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時，請直接寫出線段DM與EM的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)BC＝6，CE＝2時，請直接寫出AM的長．
?
【答案】（1）DM＝EM；
（2）DM＝EM仍然成立；
（3）AM＝或．
【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAC＝60°，∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴DM＝EM；
（2）如圖1，

DM＝EM仍然成立，理由如下：
連接BD，
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°，BD＝CE，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DBE+∠BEF＝60°+120°＝180°，
∴BD∥EF，
∵CE＝EF，
∴BD＝EF，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴DM＝EM；
（3）如圖2，

當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時，
作AG⊥BC于G，
∵∠ACB＝60°，
∴CG＝AC?cos60°＝AC＝3，
AG＝AC?sin60°＝AC＝3，
∴EG＝CG+CE＝3+2＝5，
∴AE＝＝2，
由（2）知：DM＝EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴AM＝AE?sin60°＝2×＝，
如圖3，

當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，
作AG⊥BC于G，
由上知：AG＝3，CG＝3，
∴EG＝CG﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AE＝，
∴AM＝2×＝，
綜上所述：AM＝或．
六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）
10．（2023?遼寧）小亮利用所學(xué)的知識對大廈的高度CD進(jìn)行測量，他在自家樓頂B處測得大廈底部的俯角是30°，測得大廈頂部的仰角是37°，已知他家樓頂B處距地面的高度BA為40米（圖中點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi)）．
（1）求兩樓之間的距離AC（結(jié)果保留根號）；
（2）求大廈的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【答案】（1）兩樓之間的距離AC為40米；
（2）大廈的高度CD約為92米．
【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，

由題意得：AB＝CE＝40米，BE＝AC，
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，
∴BE＝＝＝40（米），
∴BE＝AC＝40（米），
∴兩樓之間的距離AC為40米；
（2）在Rt△BED中，∠DBE＝37°，
∴DE＝BE?tan37°≈40×0.75＝51.9（米），
∵CE＝40米，
∴DC＝DE+CE＝51.9+40≈92（米），
∴大廈的高度CD約為92米．
七．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）
11．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時貨輪與A港口的距離（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

【答案】此時貨輪與A港口的距離約為141海里．
【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，

由題意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB?cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB?sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此時貨輪與A港口的距離約為141海里．

12．（2021?遼寧）某景區(qū)A、B兩個景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B必須經(jīng)過C處才能到達(dá)．觀測得景點(diǎn)B在景點(diǎn)A的北偏東30°，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行600米到達(dá)C處，測得景點(diǎn)B在C的北偏東75°方向．
（1）求景點(diǎn)B和C處之間的距離；（結(jié)果保留根號）
（2）當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的筆直的跨湖大橋．大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

【答案】（1）300m；
（2）205m．
【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
由題意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景點(diǎn)B和C處之間的距離為300m；
（2）由題意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來少走約205m．