1.會求空間中點到直線以及點到平面的距離.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件.
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面α上不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β.(　 　)(2)點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線的長度.(　 　)(3)直線l平行于平面α，則直線l上各點到平面α的距離相等.(　 　)(4)直線l上兩點到平面α的距離相等，則l平行于平面α.(　 　)
1.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則A1A到平面B1D1DB的距離為
3.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是______.
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
令x＝1，則n＝(1，－1，－1)，
例1　(1)(2023·長沙模擬)空間中有三點P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，則點P到直線MN的距離為
①證明：BC1⊥CM；
②若E為A1C1的中點，求點A1到平面BCE的距離.
由①知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，
(1)點到直線的距離.
②若能求出點在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點間距離公式求距離．(2)求點面距一般有以下三種方法．①作點到面的垂線，求點到垂足的距離；②等體積法；③向量法.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·棗莊模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則△D1GF的面積為_____．
以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D1(0,0,2)，G(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)，
∴點D1到直線GF的距離
(2)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．
①證明：D1E⊥A1D；
②當(dāng)E為AB的中點時，求點E到平面ACD1的距離．
立體幾何中的探索性問題
例2　(2022·常德模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等邊三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O為AC的中點．(1)求證：AC⊥平面A1BO；
存在，線段CC1的中點P滿足題意．理由如下：∵A1B⊥平面ABC，OB⊥AC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，所在直線分別為x軸、y軸，過點O作Oz∥A1B，以O(shè)z所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易知平面A1OB的一個法向量為n＝(1,0,0)，設(shè)平面POB的法向量為m＝(x，y，z)，
(1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．
(1)求證：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面DAC夾角的大??；
設(shè)平面PAC與平面DAC的夾角為θ，
所以平面PAC與平面DAC夾角的大小為30°.
(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，請說明理由．
假設(shè)在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC.
由于BE?平面PAC，故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在點E，使BE∥平面PAC，此時SE∶EC＝2∶1.
1.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點．
(1)求點N到直線AB的距離；
∵N是CC1的中點，∴N(0,4,2)．
設(shè)點N到直線AB的距離為d1，
(2)求點C1到平面ABN的距離．
設(shè)平面ABN的法向量為n＝(x，y，z)，
設(shè)點C1到平面ABN的距離為d2，
2.(2023·北京模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M為線段A1C1上一點.
(1)求證：BM⊥AB1；
設(shè)平面BCM的法向量n＝(x，y，z)，
取x＝1，得n＝(1,1,1－a)，
3.已知空間幾何體ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD.
(2)探索A，B，D，E四點是否共面？若共面，請給出證明；若不共面，請說明理由.
A，B，D，E四點共面.理由如下，如圖，分別取BC，DC的中點M，N，連接AM，EN，MN，∵△ABC是等邊三角形，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AM⊥平面BCD，
∴AM∥EN，且AM＝EN，∴四邊形AMNE是矩形，∴AE∥MN，又MN∥BD，∴AE∥BD，∴A，B，D，E四點共面.
4.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，底面是邊長為4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點.
(1)求證：平面BEF⊥平面PAC；
存在.由(1)及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，∵點E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.又BE⊥AC，∴EB，EC，EF兩兩垂直.以E為坐標(biāo)原點，以EB，EC，EF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，
5.(2022·北京模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.(1)求證：AB∥平面PCD；
(2)求平面APB與平面PBC夾角的余弦值；
∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3，
∵平面PBC⊥平面ABCD，∴點P到平面ABCD的距離為2.以D為原點，以DA，DC及平面ABCD過D的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).∴A(4,0,0)，B(4,5,0)，C(0,3,0)，P(2,4,2)，
設(shè)平面APB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量為n＝(x2，y2，z2)，
令x1＝1，x2＝1可得m＝(1,0,1)，n＝(1，－2,0)，設(shè)平面APB與平面PBC的夾角為θ，
由(2)知平面PBA的一個法向量為m＝(1,0,1)，
6.(2023·鹽城模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BD和BB1的中點，P為棱C1D1上的動點.
(1)是否存在點P，使得PE⊥平面EFC？若存在，求出滿足條件時C1P的長度并證明；若不存在，請說明理由；
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意設(shè)點P(0，t,2)，0≤t≤2，則E(1,1,0)，F(xiàn)(2,2,1)，C(0,2,0)，
設(shè)平面CEF的法向量為m＝(x，y，z)，
∴m＝(1,1，－2)，若存在滿足題意的點P，
(2)當(dāng)C1P為何值時，平面BCC1B1與平面PEF夾角的正弦值最小.
易知平面BCC1B1的法向量為n＝(0,1,0)，設(shè)平面PEF的法向量為r＝(x0，y0，z0)，

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