?2023年長春市初中學業(yè)水平考試
數(shù)學
本試卷包括三道大題，共24道小題，共6頁．全卷滿分20分．考試時間為120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內．
2．答題時，考生務必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內作答，在草稿紙、試卷上答題無效．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1. 實數(shù)、、、伍數(shù)軸上對應點位置如圖所示，這四個數(shù)中絕對值最小的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據絕對值的意義即可判斷出絕對值最小的數(shù).
【詳解】解：由圖可知，，，，，
比較四個數(shù)的絕對值排除和，
根據絕對值的意義觀察圖形可知，離原點的距離大于離原點的距離，
，
這四個數(shù)中絕對值最小的是.
故選：B.
【點睛】本題考查了絕對值的意義，解題的關鍵在于熟練掌握絕對值的意義，絕對值是指一個數(shù)在數(shù)軸上所對應點到原點的距離，離原點越近說明絕對值越小.
2. 長春龍嘉國際機場T3A航站樓設計創(chuàng)意為“鶴舞長春”，如圖所示，航站樓的造型如仙鶴飛翔，蘊含了對吉春大地未來發(fā)展的美好愿景．本期工程按照滿足年旅客吞吐量人次目標設計的，其中這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據科學記數(shù)法公式轉換即可，科學記數(shù)法公式為：，，n為整數(shù)位數(shù)減1．
【詳解】解：，
故選：D．
【點睛】本題考查了科學記數(shù)法；解題的關鍵是熟練掌握科學記數(shù)法的定義．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】A. 與不能合并，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項正確，符合題意；
C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項，熟練掌握以上運算法則是解題的關鍵．
4. 下圖是一個多面體的表面展開圖，每個面都標注了數(shù)字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（ ）

A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥
【答案】C
【解析】
【分析】根據底面與多面體的上面是相對面，則形狀相等，間隔1個長方形，且沒有公共頂點，即可求解．
【詳解】解：依題意，多面體的底面是面③，則多面體的上面是面⑤，
故選：C．
【點睛】本題考查了長方體的表面展開圖，熟練掌握基本幾何體的展開圖是解題的關鍵．
5. 如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以道該零件內徑的長度．依據的數(shù)學基本事實是（ ）

A. 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B. 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
C. 兩余直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D. 兩點之間線段最短
【答案】A
【解析】
【分析】根據題意易證，根據證明方法即可求解．
【詳解】解：O為、的中點，
，，
（對頂角相等），
在與中，
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關鍵．
6. 學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根據余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.
【詳解】解：表示的是地面，表示是圖書館，
，
為直角三角形，
（米）.
故選：D.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，涉及到余弦值，解題的關鍵在于熟練掌握余弦值的概念.
7. 如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據作圖可得，進而逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：根據作圖可得，故A，C正確；
∴在的垂直平分線上，
∴，故D選項正確，
而不一定成立，故B選項錯誤，
故選：B．
【點睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵．
8. 如圖，在平面直角坐標系中，點、在函數(shù)的圖象上，分別以、為圓心，為半徑作圓，當與軸相切、與軸相切時，連結，，則的值為（ ）

A. 3 B. C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】過點分別作軸的垂線，垂足分別為，交于點，得出的橫坐標為，的縱坐標為，設，，則，根據，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，交于點，

依題意，的橫坐標為，的縱坐標為，設，
∴，
則，
又∵，，
∴
∴（負值已舍去）
解得：，
故選：C．
【點睛】本題考查了切線的性質，反比例函數(shù)的性質，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共8分）
9. 分解因式：=____．
【答案】．
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【詳解】解：．
故答案為：
【點睛】本題考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解題的關鍵．
10. 若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據根的判別式求出，再求出不等式的解集即可．
【詳解】解：關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，

解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，解題的關鍵是能熟記根的判別式的內容是解此題的關鍵，注意：已知一元二次方程為常數(shù)，，①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，③當時，方程沒有實數(shù)根．
11. 2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為__________公里．（用含x的代數(shù)式表示）
【答案】
【解析】
【分析】根據題意列出代數(shù)式即可．
【詳解】根據題意可得，
他離健康跑終點的路程為．
故答案為：．
【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關鍵是讀懂題意．
12. 如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，點在線段上．若，則和的周長之比為__________．

【答案】
【解析】
【分析】根據位似圖形的性質即可求出答案．
【詳解】解：，
，
設周長為，設周長為，
和是以點為位似中心的位似圖形，
．
．
和的周長之比為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了位似圖形的性質，解題的關鍵在于熟練掌握位似圖形性質．
13. 如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，則的大小為__________度．

【答案】
【解析】
【分析】根據題意求得正五邊形的每一個內角為，根據折疊的性質求得在中，根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：∵正五邊形的每一個內角為，
將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，
則，
∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點對應點為點，折痕為，
∴，，
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質，正多邊形的內角和的應用，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
14. 年5月8日，商業(yè)首航完成——中國民商業(yè)運營國產大飛機正式起步．時分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點距地面__________米．

【答案】
【解析】
【分析】根據題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令求平移后的拋物線與軸的交點即可．
【詳解】解：由題意可知：
、、，
設拋物線解析式為：，
將代入解析式，
解得：，
，
消防車同時后退米，即拋物線向左（右）平移米，
平移后的拋物線解析式為：，
令，解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖像的平移及坐標軸的交點；解題的關鍵是求得移動前后拋物線的解析式．
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15. 先化簡．再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根據完全平方公式以及單項式乘以單項式進行化簡，然后將字母的值代入進行計算即可求解．
【詳解】解：


當時，原式
【點睛】本題考查了整式乘法的化簡求值，實數(shù)的混合運算，熟練掌握完全平方公式以及單項式乘以單項式的運算法則是解題的關鍵．
16. 班級聯(lián)歡會上有一個抽獎活動，每位同學均參加一次抽獎，活動規(guī)則下：將三個完全相同的不透明紙杯倒置放在桌面上，每個杯子內放入一個彩蛋，彩蛋顏色分別為紅色、紅色、綠色．參加活動的同學先從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色后再將杯子倒置于桌面，重新打亂杯子的擺放位置，再從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色．若兩次選中的彩蛋顏色不同則獲一等獎，顏色相同則獲二等獎．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求某同學獲一等獎的概率．

【答案】
【解析】
【分析】依題意畫出樹狀圖，運用概率公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有種可能，獲一等獎即兩次顏色不相同的可能有種，
則某同學獲一等獎的概率為：，
答：某同學獲一等獎的概率為．
【點睛】本題考查了樹狀圖求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵．
17. 隨著中國網民規(guī)模突破億、博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數(shù)字敦煌文化大使伽瑤，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作個伽瑤玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的倍，結果提前天完成任務．問原計劃平均每天制作多少個擺件？

【答案】原計劃平均每天制作個擺件．
【解析】
【分析】設原計劃平均每天制作個，根據題意列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：設原計劃平均每天制作個，根據題意得，

解得：
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：原計劃平均每天制作個擺件．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
18. 將兩個完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內按如圖所示位置擺放．點A，E，B，D依次在同一直線上，連結、．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）己知，當四邊形是菱形時．的長為__________．
【答案】（1）見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可知易得，即，依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；
（2）如圖，在中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對角線平分對角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．
【小問1詳解】
證明：由題意可知，
，，
，
四邊形地平行四邊形；
【小問2詳解】
如圖，在中，，，，
，，
四邊形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案：．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質，平行四邊形的判定，菱形的性質，角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對等邊；解題的關鍵是熟練掌握相關知識綜合求解．
19. 近年來，肥胖經成為影響人們身體健康的重要因素．目前，國際上常用身體質量指數(shù)（ ，縮寫）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式是

例如：某人身高，體重，則他的．
中國成人的數(shù)值標準為：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖．
某公司為了解員工的健康情況，隨機抽取了一部分員工的體檢數(shù)據，通過計算得到他們的值并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據以上信息回答下列問題：
（1）補全條形統(tǒng)計圖；
（2）請估計該公司名員工中屬于偏胖和肥胖的總人數(shù)；
（3）基于上述統(tǒng)計結果，公司建議每個人制定健身計劃．員工小張身高，值為，他想通過健身減重使自己的值達到正常，則他的體重至少需要減掉_________．（結果精確到）
【答案】（1）見解析 （2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）根據屬于正常的人數(shù)除以占比得出抽取的人數(shù)，結合條形統(tǒng)計圖求得屬于偏胖的人數(shù)，進而補全統(tǒng)計圖即可求解；
（2）用屬于偏胖和肥胖的占比乘以即可求解；
（3）設小張體重需要減掉，根據計算公式，列出不等式，解不等式即可求解．
【小問1詳解】
抽取了人，
屬于偏胖的人數(shù)為：，
補全統(tǒng)計圖如圖所示，
【小問2詳解】
（人）
【小問3詳解】
設小張體重需要減掉，
依題意，
解得：,
答：他的體重至少需要減掉9kg，
故答案為：9．
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關聯(lián)，樣本估計總體，一元一次不等式的應用，根據統(tǒng)計圖表獲取信息是解題的關鍵．
20. 圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作，點C在格點上．

（1）在圖①中，的面積為；
（2）在圖②中，的面積為5
（3）在圖③中，是面積為的鈍角三角形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）以為底，設邊上的高為，依題意得，解得，即點在上方且到距離為個單位的線段上的格點即可；
（2）由網格可知，，以為底，設邊上的高為，依題意得，解得，將繞或旋轉，過線段的另一個端點作的平行線，與網格格點的交點即為點；
（3）作，過點作，交于格點．
【小問1詳解】
解：如圖所示，
以為底，設邊上的高為，
依題意得：
解得：
即點在上方且到距離為個單位的線段上的格點即可，
答案不唯一；
【小問2詳解】
由網格可知，

以為底，設邊上的高為，
依題意得：
解得：
將繞或旋轉，過線段的另一個端點作的平行線，與網格格點的交點即為點，
答案不唯一，
【小問3詳解】
如圖所示，
作，過點作，交于格點，

由網格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【點睛】本題考查了網格作圖，勾股定理求線段長度，與三角形的高的有關計算；解題的關鍵是熟練利用網格作平行線或垂直．
21. 甲、乙兩個相約登山，他們同時從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．

（1）當時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關系式為，聯(lián)立，即可求解．
【小問1詳解】
解：設乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關系式為，將，代入得，
，
解得：，
∴；
【小問2詳解】
設甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關系式為
將點代入得，

解得：，
∴；
聯(lián)立
解得：
∴乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度為米
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵．
22. 【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．
下面是小明的部分證明過程：
證明：延長至點E，使，連結，
四邊形是的內接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，

請你補全余下的證明過程．
【應用】如圖③，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連結、、．若，則的值為__________．
【答案】感知：；探究：見解析；應用：．
【解析】
【分析】感知：由圓周角定理即可求解；
探究：延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證；
應用：延長至點E，使，連結，通過證明得，可推得是等腰直角三角形，結合與可得，代入即可求解．
詳解】感知：
由圓周角定理可得，
故答案為：；
探究：
證明：延長至點E，使，連結，
四邊形是的內接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
，
∴，，
，
是等邊三角形，
，
，
即；
應用：
延長至點E，使，連結，
四邊形是的內接四邊形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形對角互補，鄰補角，全等三角形的判定和性質，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理解直角三角形；解題的關鍵是做輔助線構造，進行轉換求解．
23. 如圖①．在矩形．，點在邊上，且．動點從點出發(fā)，沿折線以每秒個單位長度的速度運動，作，交邊或邊于點，連續(xù)．當點與點重合時，點停止運動．設點的運動時間為秒．（）

（1）當點和點重合時，線段的長為__________；
（2）當點和點重合時，求；
（3）當點在邊上運動時，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請說明理由；
（4）作點關直線的對稱點，連接、，當四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對稱四邊形時，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）見解析 （4）或或
【解析】
【分析】（1）證明四邊形是矩形，進而在中，勾股定理即可求解．
（2）證明，得出；
（3）過點作于點，證明得出，即可得出結論
（4）分三種情況討論，①如圖所示，當點在上時，②當點在上時，當重合時符合題意，此時如圖，③當點在上，當重合時，此時與點重合，則是正方形，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖所示，連接，

∵四邊形是矩形
∴
∵，
∴四邊形是矩形，
當點和點重合時，
∴，
在中，，
故答案為：．
【小問2詳解】
如圖所示，

∵，，
∴，
∴
∴
∵，，
∴；
【小問3詳解】
如圖所示，過點作于點，

∵，，
∴，
則四邊形是矩形，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
【小問4詳解】
①如圖所示，當點在上時，

∵，
在中，，
則，
∵，則，，
在中，，
∴
解得：
當時，點在矩形內部，符合題意，
∴符合題意，
②當點在上時，當重合時符合題意，此時如圖，

則，，
在中，
，
解得：，
③當點在上，當重合時，此時與點重合，則是正方形，此時

綜上所述，或或．
【點睛】本題考查了矩形的性質，正方形的性質與判定，勾股定理，求正切，軸對稱的性質，分類討論，分別畫出圖形，數(shù)形結合是解題的關鍵．
24. 在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

（1）求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；
（2）當點在軸上時，求點的坐標；
（3）該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．
（4）當點在軸上方時，過點作軸于點，連結、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．
【答案】（1）；頂點坐標為
（2）
（3）或或或
（4）或或
【解析】
【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；
（2）當時，，求得拋物線與軸的交點坐標，根據拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中，得出，即可求解；
（3）①如圖所示，當，即時，②當，即時，③當，即時，④當，即，分別畫出圖形，根據最高點與最低點的縱坐標之差為，建立方程，解方程即可求解；
（4）根據在軸的上方，得出，根據題意分三種情況討論①當是的中點，②同理當為的中點時，③，根據題意分別得出方程，解方程即可求解．
【小問1詳解】
解：將點代入拋物線，得，

解得：
∴拋物線解析式為；
∵，
∴頂點坐標為，
【小問2詳解】
解：由，
當時，，
解得：，
∵拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中．
∴
∴
解得：，
∵點的坐標為，
∴；
【小問3詳解】
①如圖所示，當，即時，

拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點為頂點，最低點為點，
∵頂點坐標為，
則縱坐標之差為
依題意，
解得：；
②當，即時，

∵，即，
依題意，，
解得：或（舍去），
③當，即時，

則，
解得：或（舍去），
④當，即，

則，
解得：（舍去）或，
綜上所述，或或或；
【小問4詳解】
解：如圖所示，

∵在軸的上方，
∴
∴
∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為
∴
∵,
①當是的中點，如圖所示

則，
∴代入，
即，
解得：（舍去）或；
②同理當為的中點時，如圖所示，，，則點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，
解得：，
③如圖所示，

設，則，
∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為
∴
即
∴，
∴，
∴，
∵關于對稱，
∴，
解得：，
綜上所述，或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，二次函數(shù)的性質，面積問題，根據題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．

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