?模型剖析
如何確定△ABC面積的最小值呢？
首先我們連接OA,OB,OC. 過(guò)O點(diǎn)作OH⊥BC于H點(diǎn).（如右上圖）
顯然OA+OHAD，當(dāng)且僅當(dāng)A,O,D三點(diǎn)共線時(shí)取“=”.由于∠BAC的大小是一個(gè)定值，而且它是圓O的圓周角，因此它所對(duì)的圓心角∠AOB的度數(shù)，也是一個(gè)定值.
因此OH和圓O的半徑有一個(gè)固定關(guān)系，所以O(shè)A+OH也和圓O的半徑，有一個(gè)固定的等量關(guān)系.再根據(jù)我們剛才說(shuō)的OA+OHAD，就可以求得圓O半徑的最小值.
簡(jiǎn)證：OA+OHAD，
∵四邊形OEDH為矩形，∴OH=ED，
在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD
?步驟指引
1.作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為r，用r表示圓心到底邊距離及底邊長(zhǎng)；
2.根據(jù)“半徑+弦心距≥定高”，求r的取值范圍；
3.用r表示定角定高三角形面積，用r取值范圍求面積最小值.
例題精講
【例1】．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為 ．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，則四邊形BCFE面積的最大值為 ．
【變式1-2】．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是 ．
【例2】．如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，則BD的最大值為 ．

?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．已知點(diǎn)O為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線距離為4，點(diǎn)A、B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB＝30°
則△ABO的面積最小值為 ．
1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE面積的最小值為 ．
2．如圖，∠AOB＝45°，在邊OA，OB上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D．連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形CDE，當(dāng)CD的長(zhǎng)度保持不變且等于2cm時(shí)，則OE的最大值是 ．
3．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為 ．
4．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分別為邊BC及射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝45°，△AEF面積的最小值 ．
5．已知點(diǎn)D（2，a）為直線y＝﹣x+3上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終交x軸于A、B兩點(diǎn)，C（0，﹣1）為y軸上一點(diǎn)，連接AC，BC，則四邊形ACBD面積的最小值為 ．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且AD＝CE，連接DE，求的最小值．
7．邊長(zhǎng)為a（a為常數(shù)）的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊CD和邊BC上，且∠EAF＝45°
（1）線段EF的最小值；
（2）S△ECF的最大值；
（3）S△ECF的最小值．
8．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，得到△APE，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，為點(diǎn)P，連接EP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，連接AF、CP．
（1）求證：∠EAF＝45°；
（2）當(dāng)AF∥CP時(shí)，求DE的長(zhǎng)；
（3）試探究△AEF的面積是否存在最小值，若存在，求出△AEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸的正半軸上．△AOB的兩條外角平分線交于點(diǎn)P，P在反比例函數(shù)y＝的圖象上．PA的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)C，PB的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)D，連接CD．
（1）求∠P的度數(shù)及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求△OCD的面積；
（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
10．在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上（不與B、C重合）．
（1）如圖（1），若四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，連CF．
①求∠BCF的大小；
②如圖（2），點(diǎn)G是CF的中點(diǎn)，連DG、ED，若DE＝6，求DG的長(zhǎng)；
（2）如圖（3），若四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M在AD邊上，∠AEM＝60°，CD＝9，求線段AM的最小值．
11．如圖，在Rt△ABC中，AC＝8，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF＝120°，連接EF．
（1）如圖①，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，求DF的長(zhǎng)；
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥DE交AC于點(diǎn)G．連接EG．
①求證：EG∥DF；
②求△DEF面積的最小值．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，過(guò)點(diǎn)B作直線m∥AC，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C（點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B′），射線CA′，CB′分別交直線m于點(diǎn)P，Q．
（1）如圖1，當(dāng)P與A′重合時(shí)，求∠ACA′的度數(shù)；
（2）如圖2，設(shè)A′B′與BC的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為A′B′的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在CA′，CB′的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形PA'B′Q的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形PA′B′Q的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
13．輔助圓之定角定高求解探究
（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出AB最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
14．問(wèn)題提出
（1）如圖①，點(diǎn)O是等邊△ABC的內(nèi)心，連接OB、OC，則∠BOC的大小為 ；
問(wèn)題探究
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，點(diǎn)M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，連接MN．若BD＝8，CE＝6，求MN的長(zhǎng)；
問(wèn)題解決
（3）如圖③，某小區(qū)計(jì)劃在一片足夠大的空地上修建四邊形的花園ABCD，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD與BC之間的距離為40m，∠A+∠D＝225°．試求四邊形花園ABCD面積的最小值．
15．問(wèn)題探究
（1）如圖①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，則S△ABC＝ ．
（2）如圖②，已知四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，請(qǐng)求出四邊形ABCD面積的最大值．
問(wèn)題解決
（3）如圖③，某小區(qū)有一個(gè)四邊形花壇ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．為迎接“十四運(yùn)”，園藝師將花壇設(shè)計(jì)成由兩種花卉構(gòu)成的新造型，根據(jù)造型設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝60°，現(xiàn)需要在△AEF的區(qū)域內(nèi)種植甲種花卉，其余區(qū)域種植乙種花卉．已知種植甲種花卉每平方米需200元，乙種花卉每平方米需160元．試求按設(shè)計(jì)要求，完成花卉種植至少需費(fèi)用多少元？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）

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