近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實(shí)際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長(zhǎng)結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。
模型1.米勒最大張角（視角）模型
【模型解讀】已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。
米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。

【模型證明】
如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
【解題關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。
例1．（2023·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在足球訓(xùn)練中，小明帶球奔向?qū)Ψ角蜷TPQ，僅從射門角度大小考慮，小明將球傳給哪位球員射門較好（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，得出最大，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∵，
∴最大，∴小明將球傳給丁球員射門較好，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·山東日照·校考三模）在直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)M（1，4），N（-1，2），在x軸的正半軸上，求一點(diǎn)P，使最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】（1，0）
【分析】作△MNP的外接圓E，則∠MPN為弦MN所對(duì)的圓周角，推出當(dāng)圓E和x軸相切時(shí)，∠MPN最大，設(shè)E（x，y），則P（x，0），根據(jù)圓半徑相等得到關(guān)于x和y的方程，解之即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，作△MNP的外接圓E，則∠MPN為弦MN所對(duì)的圓周角，
∴當(dāng)圓E的半徑最小時(shí)，∠MPN最大，∴當(dāng)圓E和x軸相切時(shí)，∠MPN最大，
設(shè)E（x，y），則P（x，0），又M（1，4），N（-1，2），根據(jù)EM=EN=PE，
則，由化簡(jiǎn)可得：x+y=3，
由化簡(jiǎn)可得：，
將y=3-x代入中，解得：x=1或x=-7（舍），∴P（1，0），故答案為：（1，0）．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角，根據(jù)夾角轉(zhuǎn)化為圓的半徑最小是解題的關(guān)鍵，有一定難度．
例3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APM的度數(shù)最大時(shí)，CP的長(zhǎng)為 ．

【答案】4?22
【分析】過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′,記AM的中點(diǎn)為N,PM與⊙O交于點(diǎn)Q,連接AP′,MP′,OM,OP′,AQ,則∠AP′M=∠AQM>∠APM，證明四邊形OP′DN是矩形, 再求出圓的半徑，利用勾股定理和矩形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】：過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′,記AM的中點(diǎn)為N,PM與⊙O交于點(diǎn)Q,連接AP′,MP′,OM,OP′,AQ,

則∠AP′M=∠AQM>∠APM，
∵四邊形ABCD是正方形，AB=4，∴∠ADP′=90°，AD=CD=AB=4，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM=12AD=2，
∵過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′，∴∠OP′D=90°，
∵AM的中點(diǎn)為N,∴ON⊥AM，AN=NM=12AM=1，
∴∠OND=90°，∴四邊形OP′DN是矩形, ∴OM=OP′=DN=DM+MN=3,
在Rt△MON中,ON=OM2?MN2=22，
∴DP′=ON=22,∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′時(shí)，∠APM最大，
此時(shí)CP=4?22，故答案為：4?22
【點(diǎn)睛】本題考查了最大張角問題，涉及到了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與BC相切且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．
例4．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）課本呈現(xiàn)：如圖1，在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置對(duì)球門的張角（）有關(guān)．當(dāng)球員在，處射門時(shí)，則有張角．某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門同側(cè)的直線射門時(shí)的最大張角．
問題探究：（1）如圖2，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相交于點(diǎn)、，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有．
小明證明過程如下：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則
∵_(dá)__________
∴___________
∴
（2）如圖3，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有，你同意嗎？請(qǐng)你說明理由．
問題應(yīng)用：如圖4，若，米，是中點(diǎn)，球員在射線上的點(diǎn)射門時(shí)的最大張角為，則的長(zhǎng)度為___________米．

問題遷移：如圖5，在射門游戲中球門，是球場(chǎng)邊線，，是直角，．若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)，求的最大度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）
【答案】（1）；（2）同意，理由見解析；問題應(yīng)用：10；問題遷移：
【分析】（1）根據(jù)等量代換，按步驟進(jìn)行作答即可；
（2）如圖3，記直線交過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，解答過程同（1）；
問題應(yīng)用：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，則，，證明，則，證明三點(diǎn)共線，則，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；
問題遷移：如圖5，作線段的垂直平分線交于，交于點(diǎn)P，由（2）可知，點(diǎn)P即為所求，則四邊形為矩形，記動(dòng)圓的圓心為O，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，即，求得，則，根據(jù)，即，計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則，
∵，∴，∴；
（2）解：同意，理由如下，
如圖3，記直線交過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，則，
∵，∴， ∴；
問題應(yīng)用：解：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，
∴，，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴三點(diǎn)共線，
∴，，，∴，故答案為：10；
問題遷移：如圖5，作線段的垂直平分線交于，交于點(diǎn)P，由（2）可知，點(diǎn)P即為所求，則四邊形為矩形，
記動(dòng)圓的圓心為O，設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，∴，∵，
∴，∴的最大度數(shù)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角定理，切線的性質(zhì)，余弦、正切，勾股定理，作垂線，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在靈活運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行求解．
例5．（2023上·北京東城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：
對(duì)于及外一點(diǎn)P，M，N是上兩點(diǎn)，當(dāng)最大，稱為點(diǎn)P關(guān)于的“視角”．
直線l與相離，點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于的“視角”最大時(shí)，則稱這個(gè)最大的“視角”為直線l關(guān)于的“視角”．
(1)如圖，的半徑為1，①已知點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)A關(guān)于的“視角”；
已知直線，直接寫出直線關(guān)于的“視角”；
②若點(diǎn)B關(guān)于的“視角”為，直接寫出一個(gè)符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)的半徑為1，①點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)，若直線關(guān)于的“視角”為，求k的值；②圓心C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，若直線關(guān)于的“視角"大于，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)①，；②（答案不唯一）(2)①②
【分析】（1）①過作的切線，切點(diǎn)分別為、，可證四邊形是正方形，可得關(guān)于的“視角”是，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為、，由，即可求解；②由①得，關(guān)于的“視角”為，可得，由對(duì)稱性可得、、都可以，取其一為答案，即可求解．
（2）①可求，可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，點(diǎn)是直線上與圓心的距離最短的點(diǎn)，直線以為圓心，為半徑的圓的一條切線，作軸于點(diǎn)，可求，由，可求，從而可求
，即可求解；②如圖，當(dāng)與直線相切時(shí)，切點(diǎn)為，連接，可求，，從而可求，直線關(guān)于的“視角”是時(shí)，作于，、是的切線，、是切點(diǎn)，，即可求解．
【詳解】（1）解：①如圖，過作的切線，切點(diǎn)分別為、，
，的半徑為，四邊形是正方形，關(guān)于的“視角”是，
直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為、，，，
在中：，，
同理可求：，，
直線關(guān)于的“視角”為；故答案：，．
②由①得，關(guān)于的“視角”為，，
由對(duì)稱性可得、、都可以．
（2）解：①如圖，
直線經(jīng)過點(diǎn)，
，，，
點(diǎn)關(guān)于的“視角”為，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
直線關(guān)于的“視角”為，點(diǎn)是直線上與圓心的距離最短的點(diǎn)，，
直線以為圓心，為半徑的圓的一條切線，
如圖，作軸于點(diǎn)，，，，
在中：，
，，，
解得：，
，解得：；
②如圖，當(dāng)與直線相切時(shí)，切點(diǎn)為，連接，，

當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，，
在中：，，
在中：，，解得：，，
如圖，直線關(guān)于的“視角”是時(shí)，作于，、是的切線，、是切點(diǎn)，，，，解得：，
在中，，，解得：，
；．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“視角”，切線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，理解新定義：（1）圓外一點(diǎn)關(guān)于圓的視角就是：“過圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，這兩條切線的夾角就是這個(gè)點(diǎn)關(guān)于這個(gè)圓的視角”；（2）當(dāng)直線和圓相離時(shí)，這條直線關(guān)于這個(gè)圓的視角就是“過圓心向這條直線作垂線，垂足關(guān)于這個(gè)圓的視角就是這條直線關(guān)于這個(gè)圓的視角”是解題的關(guān)鍵．
模型2. 定角定高模型（探照燈模型）
定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢?，所以也叫探照燈模型?！?br>
條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。
結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長(zhǎng)最?。弧鰽BC的面積最小；△ABC的周長(zhǎng)最小。
證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，
過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。
∵OA+OE≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcsa≥h，
.當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長(zhǎng)最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；
△ABC的周長(zhǎng)最小:2rsin+ADrsin。
例1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形中，，連接、交于點(diǎn)，，．若，則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】作的外接圓，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，求得的最大值，進(jìn)而求得的最大值，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，作的外接圓，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，．∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，，
∴∴
∵∴，∴的最大值為,
∵，∴的最大值為,故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，圓周角定理，解直角三角形，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
例2、（2023·山東·九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD與BC之間的距離為2，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，且∠BEC=45°，則四邊形ABCD面積的最小值為 。

【解析】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，作三角形BEC的外接圓，
連接OB，OC，OE，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，則EF=2，（AD與BC之間的距離為2），
BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠ BOC=2∠BEC，
∵∠BEC= 45°，∴∠BOC= 90°，∠OBC=∠OCB=45°，
設(shè)OB=OC=OE=r，則OG= BG=r，BC=2BG=r，
∵OE+OG≥EF,，∴ r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4，
當(dāng)G，O，E三點(diǎn)共線，即EF與EG重合時(shí)，BC有最小值，最小值為4-4，
∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四邊形ABCD面積的最小值為8-8。
例3．（2023·陜西咸陽·?？级＃締栴}提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點(diǎn)到弦的距離最大值為_______；
【問題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；
【問題解決】（3）“雙減”是黨中央、國務(wù)院作出的重大決策部署，實(shí)施一年多來，工作進(jìn)展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進(jìn)一步落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實(shí)踐基地，如圖③，為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，學(xué)校計(jì)劃將四邊形部分修建為農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地，并沿鋪設(shè)一條人行走道，部分修建為興趣活動(dòng)基地．根據(jù)規(guī)劃要求，米，．且農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地部分（四邊形）的面積應(yīng)盡可能小，問四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）11；（2）；（3）四邊形的面積存在最小值，最小值為平方米
【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)直接可得答案；
（2）作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)垂線段最短可得R的最小值，從而得出的最小值，進(jìn)而得出答案；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，則，在上截取，連接，利用證明，則，要使四邊形的面積最小，只需的面積最小，由（2）同理求出面積的最小值即可．
【詳解】解：（1）∵圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，
∴上的點(diǎn)到弦的距離最大值為，故答案為：11；
（2）作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，如圖．

．
設(shè)，則，由，得，即，
∴，，
．即面積的最小值為
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，∵平分，∴．
又，．
米，，，
為等腰直角三角形，∴米，
（平方米），平方米．
在上截取，連接，如圖．
，，
，
要使四邊形的面積最小，只需的面積最?。?br>，，
作的外接圓，如圖，連接，作于點(diǎn)，
則，∴．
設(shè)，則．
由，得，解得，米，
（平方米），
（平方米）．
即四邊形的面積存在最小值，最小值為平方米．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，交平分線的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，將四邊形面積最小問題轉(zhuǎn)化為三角形面積最小是解題的關(guān)鍵．
例4．（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）【問題提出】（1）如圖1，是等腰直角三角形，，可得到 ，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，則的值是 ；
【問題探究】（2）如圖2，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上任一點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)N，若，，求四邊形面積的最大值；
【問題解決】（3）如圖3，是西安市紡渭路的一部分，因燃?xì)夤艿罁屝?，需在米，米的矩形平面開挖一個(gè)的工作面，其中E、F分別在直線、直線上，且，為緩解該路段對(duì)市民正常生活和出行影響，經(jīng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)的面積越小越好，求出的面積最小值．

【答案】（1），；（2）；（3）8
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證，即可求得；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證，設(shè)，分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況討論，分別求出關(guān)于的一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來的，得到，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得和的比值，然后根據(jù)三角形外接圓性質(zhì)得，，最后根據(jù)三角形面積公式可得答案．
【詳解】（1）是等腰直角三角形，，
，，；
，，也是等腰直角三角形，
，，，
，，，
，故答案為：，；
（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
四邊形是矩形，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，
，，，，
，，
，，，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為6，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
，四邊形面積的最大值；

（3）四邊形是矩形，，，
如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來的，得到，
，，，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，四邊形是矩形，且，
，設(shè)的外接圓半徑為，，，
由題意得，即，，
，的面積最小值為，
的面積最小值為．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
例5．（2023·重慶·?？既＃﹩栴}探究
（1）如圖①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，則S△ABC＝ ．
（2）如圖②，已知四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，請(qǐng)求出四邊形ABCD面積的最大值．
問題解決（3）如圖③，某小區(qū)有一個(gè)四邊形花壇ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．為迎接“十四運(yùn)”，園藝師將花壇設(shè)計(jì)成由兩種花卉構(gòu)成的新造型，根據(jù)造型設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝60°，現(xiàn)需要在△AEF的區(qū)域內(nèi)種植甲種花卉，其余區(qū)域種植乙種花卉．已知種植甲種花卉每平方米需200元，乙種花卉每平方米需160元．試求按設(shè)計(jì)要求，完成花卉種植至少需費(fèi)用多少元？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）
【答案】（1）；（2）16；（3）．
【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，利用正弦求出，再根據(jù)三角形面積公式即可求解； （2）因?yàn)椋?四點(diǎn)共圓，所以當(dāng)BD是直徑時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，此時(shí)，由勾股定理可得 ，因?yàn)樗倪呅? ，所以，當(dāng) 時(shí)，四邊形ABCD是正方形，由不難求出，進(jìn)而求得四邊形ABCD的最大面積；（3） 因?yàn)榧追N花卉貴，所以若費(fèi)用最少，則甲種花卉種植面積最小，最小時(shí)，將繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，可證得三點(diǎn)共線，通過證明，得，過點(diǎn)A作過點(diǎn)A作于K，求得，作的外接圓，連接 ，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，通過過得 面積的最小值為， 再通過求求得乙種花卉的種植面積為 ，最后根據(jù)甲乙兩種花卉每平方米的價(jià)格求出至少種植兩種花卉的費(fèi).
【詳解】解：（1）如圖①，過點(diǎn)作于點(diǎn)D，
，是等腰三角形，，
，，故答案為：
（2），四點(diǎn)共圓，
當(dāng)為直徑時(shí)，最大，此時(shí) ，，
，由勾股定理， ，
時(shí)，四邊形是正方形，最大，，
， 的最大值=，
（3）如圖③
甲種花卉貴，若費(fèi)用最少，則甲種花卉種植面積最小，最小時(shí)，將繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，由旋轉(zhuǎn)可得
三點(diǎn)共線，

，，
過點(diǎn)A作過點(diǎn)A作于K，，
作的外接圓，連接 ，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，
設(shè)
在中，，，
， ，，
，面積的最小值為
且
，
乙種花卉的種植面積為
種四花卉花費(fèi)：元，種乙花卉花費(fèi)：元，
至少花費(fèi)元．
【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)和判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形和四邊形的面積問題等知識(shí)，利用四點(diǎn)共圓及圖形的旋轉(zhuǎn)變換是解決本題的關(guān)鍵．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，，連接DE，CF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作，且，若的度數(shù)最大時(shí)，則AE長(zhǎng)為（ ）

A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，求得，得到點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，過作，并且點(diǎn)在的右側(cè)，，連接，，推出四邊形是菱形，于是得到點(diǎn)在以為圓心，半徑為3的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與相切時(shí)，最大；證明，即可得，由相似三角形的性質(zhì)，即可求出的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，，
在和中，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
取的中點(diǎn)，過作，并且點(diǎn)在的右側(cè)，，
連接，，過作，與的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，，∴，
∴，，∴四邊形是平行四邊形，
∵，∴，∴，∴四邊形是菱形，
∴點(diǎn)在以為圓心，半徑為3的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與相切時(shí)，最大；
∵，且，
∴四邊形是正方形，∴；
設(shè)，∵，，
∴平分，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，即，
∵，∴，∴，即，
∴，∴．故選：A ．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的判斷，圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的定義判斷當(dāng)與圓相切時(shí)最大．
2．（2022下·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1,0，B7,0．點(diǎn)C是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)∠ACB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
【答案】0,7
【分析】依題意，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心一定在第一象限，設(shè)圓心為E，過E作EC⊥x軸交于C，過E作EG⊥x軸交于G，得出四邊形COGE為矩形，在y軸上任意取一點(diǎn)M，連接AM、BM，MB與圓E的交點(diǎn)為N，連接AN，當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大，勾股定理得出EG=7，則OC=7，即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)C在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心一定在第一象限，
設(shè)圓心為E，過E作EC⊥x軸交于C，過E作EG⊥x軸交于G，
∴四邊形COGE為矩形，∴CE=OG，OC=EG，
在y軸上任意取一點(diǎn)M，連接AM、BM，MB與圓E的交點(diǎn)為N，連接AN，
∴∠ACB=∠ANB，∵∠ANB>∠AMB，∴∠ACB>∠AMB，
∴當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大，
∵A1,0，B7,0，∴G4,0，∴OG=CE=4，AG=3，∴AE=4，
∴EG=7，∴OC=7，∴C0,7；故答案為：0,7．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，得出當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是 米．

【答案】203
【分析】先證OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：如圖，取MN的中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，

∵M(jìn)N＝2OM＝40m，點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝3EF＝203m，∴EF＝MF，
又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，
此時(shí)OP＝203m，故答案為：203．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，證明OB是⊙F的切線是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積與最大面積之比等于 ．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝4，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，根據(jù)三角形的面積 公式得到AD＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE＝，當(dāng)D與C重合時(shí)，△ADE的面積最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE＝，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，
當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，∴AD＝，
∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝，
∴△ADE的最小面積；當(dāng)D與C重合時(shí)，△ADE的面積最大，
∵△ADE∽△ABC，，，∴AE＝，
∴△ADE的最大面積＝，
∴△ADE的最小面積與最大面積之比＝，故答案為 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，直線a與圓相切于A，B是直線a上另一點(diǎn)，C、D在圓上，那么∠CBD(8400 - 1200)= 840000+ 120000 ,
∴完成景觀樹和花卉的種植至少需費(fèi)用（景觀樹每平方米的費(fèi)用×景觀樹面積+花卉每平方米的費(fèi)用×花卉面積）（ 840000+ 120000）元。
9.（2023·山東·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對(duì)該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的△AEF？若存在，請(qǐng)求出△AEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】定角旋轉(zhuǎn)，求面積最小，考慮將AF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交BC所在直線于G，構(gòu)造定角定高模型，通過三角函數(shù)，等積轉(zhuǎn)化，將求△AEF和△AEG的面積用相同的邊表示，既將求S△AEF的最小值轉(zhuǎn)化為求S△AEF’的最小值。
【解答】把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并縮小為，得到△ABG，
則AG＝AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，過點(diǎn)E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，
∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，
設(shè)△AGE的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OE，過得O作OH⊥GE于H，
則∠GOE＝2∠EAG＝90°，設(shè)△AGE的外接圓的半徑為R，
則GE＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣，
∴△AGE的面積≥××（8﹣）×4＝16﹣16，
∴△AGE的面積的最小值為16-16，∴△AEF的面積的最小值為﹣24．
10．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知四邊形ABCD中，∠BCD＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，BE＝2ED＝4．若CE＝2AE，求AC的最大值
【答案】
【分析】本題首先作△BCD的外接圓⊙O，連接OB，OD，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥BD于H，解直角三角形求出OE，OC，繼而求出EC，AE的最大值即可求解本題．
【詳解】作△BCD的外接圓⊙O，連接OB，OD，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥BD于H，如下圖所示：
∵BE＝2ED＝4，∴DE＝2，BD＝4+2＝6，
∵，∴∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∵OB＝OD=OC，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
又∵OH⊥BD，∴BH＝HD＝3，∴OH＝，OB＝2OH＝，
∴HE＝BE﹣BH＝4﹣3＝1，∴OE＝＝＝2，
∵，∴，∴EC的最大值為，
∵EC＝2AE，∴AE的最大值為，∴AC的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，解題關(guān)鍵在于輔助線的構(gòu)造以及最值問題的轉(zhuǎn)化，同弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的關(guān)系需熟記于心，求解邊長(zhǎng)時(shí)勾股定理較為常用，幾何題目出現(xiàn)60°等特殊角度時(shí)，常構(gòu)建特殊的直角三角形，利用三邊關(guān)系以簡(jiǎn)化運(yùn)算．
11．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【提出問題】我們知道，點(diǎn)和圓有三種位置關(guān)系（如圖1）．已知在⊙O中，點(diǎn)A、B、C分別是圓外、圓上、圓內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)D、E是上不與點(diǎn)B重合的任意兩點(diǎn)，分別連接AD、AE、BD、BE、CD、CE，如何比較、、的大小關(guān)系．
【解決問題】小邕利用已學(xué)知識(shí)判斷和的大小關(guān)系，步驟如下：
解：，理由如下：
如圖2，延長(zhǎng)DC與相交于點(diǎn)F，連接EF，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，
∵是△CFE的外角，∴∠DFE+∠CEF=∠DCE，
∴∠DFE

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