高一年級(jí)考試數(shù)學(xué)試題 2023.01一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件可得，然后可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以所以故選：A2. 在下列函數(shù)中，函數(shù)表示同一函數(shù)的（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題意，判斷函數(shù)是否相等，需對(duì)比定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，先求定義域，再整理解析式，可得答案.【詳解】由題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，其解析式為，對(duì)于A，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，對(duì)應(yīng)法則不同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，與題目中的函數(shù)一致，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，故D錯(cuò)誤，故選：C.3. 命題“”的否定為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用全稱命題的否定的概念求解即可.【詳解】命題“”的否定為“”故選：D4. 角為第一或第四象限角的充要條件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角所在的象限，可判斷出三角函數(shù)值的符號(hào)，從而可判斷出選項(xiàng).【詳解】若角為第一象限角，則，若角為第四象限角，則，所以若角為第一或第四象限角，則；若，則或，所以角為第一或第四象限角.故選：C.5. 已知函數(shù)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式及指數(shù)運(yùn)算求函數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：B.6. 設(shè)，，，則下列結(jié)論成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】比較、的大小關(guān)系，并比較、、三個(gè)數(shù)與的大小關(guān)系，由此可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】且，即，又，因此，.故選：B.7. 人們通常以分貝（符號(hào)是）為單位來表示聲音強(qiáng)度的等級(jí)，強(qiáng)度為的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為，噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音約為，大貨車?guó)Q笛時(shí)，聲音約為，則噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)的聲音強(qiáng)度是大貨車?guó)Q笛時(shí)聲音強(qiáng)度的（    ）倍.A.  B.  C.  D. 1000【答案】C【解析】【分析】解出、可得答案.【詳解】由可得由可得所以噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)的聲音強(qiáng)度是大貨車?guó)Q笛時(shí)聲音強(qiáng)度的倍故選：C8. 已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【詳解】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即.本題選擇C選項(xiàng).【考點(diǎn)】 指數(shù)、對(duì)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 若則下列命題正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)及特例法判斷ABC，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D即可.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若，則，移項(xiàng)可得，故B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故D正確；故選：BD10. 關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（    ）A. 是以為最小正周期的周期函數(shù)B. 的表達(dá)式可改寫為C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BC【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷ACD，利用誘導(dǎo)公式判斷B即可.【詳解】的最小正周期，A錯(cuò)誤；，B正確；因?yàn)?/span>，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確；因?yàn)?/span>，所以圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，D錯(cuò)誤；故選：BC11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. B. 是偶函數(shù)C. 的值域?yàn)?/span>D. ，且，恒成立【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的定義，以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，故A正確；因?yàn)?/span>，故B錯(cuò)誤；由于，則，，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故C正確；由于在定義域上為增函數(shù)，故在定義域上為增函數(shù)，即有時(shí)，，將式子中的換為，可得當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選:ACD12. 下列說法正確的是（    ）A. 函數(shù)的最小值為2B. 若，，，則最小值為4C. 若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為2D. 若，則的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式逐項(xiàng)分析判斷，注意基本不等式成立的條件.【詳解】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則；綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)?/span>，無最小值，A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，B正確；對(duì)C：當(dāng)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，若對(duì)，恒成立，則，即實(shí)數(shù)m的最大值為2，C正確；對(duì)D：∵，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即，故的最大值是，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則______【答案】##0.5【解析】【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)解得，再計(jì)算得到答案.【詳解】，故，.故答案：14. 若，，則_______．【答案】【解析】【分析】先由，求出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以故答案為：15. 當(dāng)時(shí)，使成立的x的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象，進(jìn)行求解即可．【詳解】由正切函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，若，則，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的應(yīng)用，利用正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．16. 對(duì)于函數(shù)、，設(shè)，，若存在、使得，則稱與互為“友好函數(shù)”.已知函數(shù)與互為“友好函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)為，由題意可求得函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍是，由可得出，令，，則實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在的值域，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出為函數(shù)在的值域，即為實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，.由于與互為“友好函數(shù)”，則，可得，解得，所以，函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍是，由可得，令，，則實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在的值域.當(dāng)時(shí)，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四．解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最值．【答案】（1）    （2）最小值是1，最大值是2．【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象，利用周期公式求得函數(shù)解析式，再根據(jù)整體思想求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由函數(shù)圖象可得，解得，又，所以，所以，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以當(dāng)或即或時(shí)，取得最小值，最小值是1，當(dāng)即時(shí)，取得最大值，最大值是2．18. 已知，集合，．（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）2    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可；（2）先化簡(jiǎn)集合，在利用集合交集的概念求解即可.【小問1詳解】由題知【小問2詳解】由解得，所以，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，即，要使則，解得，所以，綜上綜實(shí)數(shù)的取值范圍是．19. 已知．（1）求；（2）若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角三角關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【小問1詳解】因所以，所以.【小問2詳解】由正切函數(shù)的定義知，又因?yàn)?/span>，所以，，所以．20. 已知關(guān)于x的不等式．（1）若不等式的解集為，求a，b的值：（2）若，解不等式．【答案】（1）    （2）答案見解析．【解析】【分析】（1）由不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系求解；（2）根據(jù)相應(yīng)方程兩根的大小分類討論求解．【小問1詳解】原不等式可化為，由題知，，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得．【小問2詳解】原不等式可化為，因?yàn)?/span>，所以原不等式化為，當(dāng)，即時(shí)，解得；當(dāng)，即時(shí)，解得；當(dāng)，即時(shí)，解得；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．21. 近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷，特別是美國(guó)對(duì)我國(guó)華為的限制，盡管美國(guó)對(duì)華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對(duì)各國(guó)的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而，這并沒有讓華為卻步．華為在2018年不僅凈利潤(rùn)創(chuàng)下記錄，海外增長(zhǎng)同樣強(qiáng)勁．今年，華為為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)．通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本300萬元，每生產(chǎn)x（千部）手機(jī)，需另投入成本萬元，且．由市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)0.8萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完．（1）求出2023年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)=銷售額-成本）；（2）2023年產(chǎn)量為多少千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【答案】（1）    （2）當(dāng)2023年年產(chǎn)量為100千部時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為9000萬元【解析】【分析】（1）由利潤(rùn)=銷售額-成本，討論x的范圍，得出函數(shù)關(guān)系式；（2）利用二次函數(shù)和不等式分別得出函數(shù)的最值，即可得出最大利潤(rùn)．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)2023年年產(chǎn)量為100千部時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為9000萬元．22. 已知函數(shù)．（1）已知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的解析式；（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值；（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．【答案】（1）；    （2）或；    （3）．【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)定義求解；（2）化簡(jiǎn)方程然后分類討論得方程根的情況，注意檢驗(yàn)；（3）由定義確定函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)最大值與最小值的差，由題意轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題后求解．【小問1詳解】由題知，當(dāng)，，設(shè)．則，所以，因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以，又因?yàn)?/span>所以；【小問2詳解】令，整理得，因?yàn)?/span>有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且只有一根或兩相等根，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，只需所以，此時(shí)，符合題意綜上，或．【小問3詳解】在上任取，且，則，．所以，所以在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)在上的最大值與最小值分別為，．所以，即，對(duì)任意成立．因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，y有最小值，所以，解得．所以a的取值范圍為．
 

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