高三年級考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 若，其中，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】通過復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)相等，求得，計算復(fù)數(shù)的模可得結(jié)果.【詳解】.故選：C.2. 設(shè)集合或，若，則的取值范圍是（    ）A. 或 B. 或C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，根據(jù)，可求得結(jié)果.【詳解】由集合或，得，又集合且，則2或，即或.故選：B.3. 是第一象限角或第二象限角，則是的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由題可得時的范圍，再根據(jù)充分必要條件的概念即得．【詳解】由，可得是第一象限角或第二象限角或終邊在軸非負半軸，所以由推不出，而由是第一象限角或第二象限角，可得，所以由可推出，所以是的必要不充分條件．故選：B．4. 已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列，，則（    ）A.  B.  C. 48 D. 96【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件得到關(guān)于與的方程，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，因為成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得所以故選:C5. 已知函數(shù)在處取得最大值，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由輔助角公式即可得到的值，然后由誘導(dǎo)公式化簡即可得到結(jié)果.【詳解】因為，其中，當(dāng)時，取得最大值，即，所以，所以故選：A6. 在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi)，作一內(nèi)接圓柱，若圓柱的表面積等于圓錐的側(cè)面積，則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓柱和圓錐底面半徑分別為r，R，由圓柱表面積等于圓錐側(cè)面積建立方程，求半徑比.【詳解】設(shè)圓柱和圓錐底面半徑分別為r，R，因為圓錐軸截面頂角為直角，所以圓錐母線長為，設(shè)圓柱高為h，則，，由題，，得.故選：D.7. 已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，為坐標(biāo)原點，記與的面積分別為和，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線，聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，得，，，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】由題意得：，設(shè)直線，聯(lián)立得：，設(shè)，不妨令，則，故，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：B8. 設(shè)，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，，再利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.【詳解】令，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以所以，即，所以.令，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，綜上，.故選：D.【點睛】解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 若，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】∵，則，，∴，即，A正確；例如，，，，， 顯然，B錯誤；由得，，∴，即，C正確；易知，，，，∴，D正確；故選：ACD．10. 已知，，動點P滿足．設(shè)點P的軌跡為曲線C，直線l：與曲線C交于D，E兩點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 曲線C的方程為 B. 的取值范圍為C. 當(dāng)最小時， D. 當(dāng)最大時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出曲線C的方程判斷A；再利用曲線C的性質(zhì)計算判斷B，C，D作答.【詳解】設(shè)點，則，由得：，整理得：，即，所以曲線C的方程為，A正確；顯然曲線C是以點為圓心，4為半徑的圓，，點A在圓C外，，所以的取值范圍為，B正確；直線l：恒過定點，顯然點在圓C內(nèi)，線段是經(jīng)過點的圓的弦，直線斜率，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)最小時，，則有，解得，C錯誤；當(dāng)最大時，線段是經(jīng)過點的圓的直徑，則，解得，D正確.故選：ABD11. 已知函數(shù)，則（    ）A. 是偶函數(shù)B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增C. 在上有4個零點D. 的值域是【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、零點的定義以及復(fù)合函數(shù)的值域，可得答案.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，A正確；對于B，當(dāng)時，.令，由于函數(shù)在時單調(diào)遞減，函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；對于C，當(dāng)時，由，得或，所以或或，所以偶函數(shù)在上有6個零點，C不正確；對于D，當(dāng)時，.因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.由于函數(shù)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)的值域為，D不正確.故選：AB.12. 如圖所示，在長方體中，是的中點，直線交平面于點，則（    ）A. 三點共線B. 的長度為1C. 直線與平面所成角的正切值為D. 的面積為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用公理3，分別證明點同時在兩個平面上即可；對于B，利用長方體的性質(zhì)，以及中位線定理，可得答案；對于C，利用線面角的定義，根據(jù)長方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)定義，可得答案；對于D，利用三角形之間的關(guān)系，可得答案.【詳解】對于A，連結(jié)，則四點共面，平面平面，又平面在平面與平面的交線上，同理也在平面與平面的交線上.三點共線，故A正確：對于B，設(shè)直線與平面的交點為，易證平面平面，從而得到，因為為中點，所以為中點，同理可得為的中點，所以，故B正確；對于C，取中點，連接，因為平面平面，則即為直線與平面所成角，，故C錯誤；對于D，因為，所以?，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13 已知函數(shù)則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，直接代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則.故答案為:14. 已知向量，若，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算及垂直關(guān)系的向量表示求解即可.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，解得故答案為：15. 已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)a，b都有，且當(dāng)時，．若，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的條件，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．詳解】解：對任意實數(shù)a，b都有，且當(dāng)時，．設(shè)，則，．所以，即，所以是增函數(shù)．因為，即，所以.所以原不等式化為等價為，則，即，則，得，故不等式的解集是.故答案為：16. 已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為是上的兩點，是的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為，若，則的兩條浙近線的斜率之積為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，進而根據(jù)點差法得，再根據(jù)得，進而得，再求漸近線的斜率之積即可得答案.【詳解】解：設(shè)，因為是上的兩點，是的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為，所以①，②，③，④，所以，②③得，整理得所以，因為雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，所以，，因為，所以，即，整理得：，所以，整理得，所以，即，所以，整理得，因為的兩條浙近線分別為，所以，的兩條浙近線的斜率之積為故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求B；（2）若，D為邊AC的中點，且，求的面積．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）將條件中的角向邊進行轉(zhuǎn)化，然后由余弦定理可得答案；（2）由可得，然后可得值，然后可得答案.【小問1詳解】因為，所以，所以，所以，即，所以，又，所以．【小問2詳解】因為，D為邊AC的中點，所以，且，在中，，同理，在中，，因為，所以，所以，在中，，即，所以，所以的面積．18. 已知數(shù)列的前n項和為，，且（）．（1）求的通項公式；（2）若，數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由與的關(guān)系可得是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由裂項相消法即可求得，從而證明.【小問1詳解】由，得．當(dāng)時，，所以，所以，由于，所以，因為，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以．【小問2詳解】由（1）知，，，，因為，所以．19. 如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中點．（1）求證：；（2）若，求直線BC與平面ADB所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理證得平面ABC，再得到平面PBC，從而即可得證；（2）根據(jù)題意，以C為坐標(biāo)原點，，，方向分別為x軸，y軸，z軸的正A方向，建立空間直角坐標(biāo)系，再由空間向量的坐標(biāo)運算結(jié)合線面角的計算公式，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：在中，，，，所以，所以，又平面平面ABC，平面平面，平面PAB，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又，，PB，平面PBC，所以平面PBC，又平面PBC，所以．【小問2詳解】在中，，，，所以．以C為坐標(biāo)原點，，，方向分別為x軸，y軸，z軸的正A方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)平面ADB的一個法向量為，則取，則，所以．設(shè)直線BC與平面ADB所成的角為，則，所以直線BC與平面ADB所成角的正弦值是．20. 如圖，為了測量某條河流兩岸兩座高塔底部A，B之間的距離，觀測者在其中一座高塔的頂部D測得另一座高塔底部B和頂部C的視角的正切值為（即），已知兩座高塔的高AD為30m，BC為60m，塔底A，B在同一水平面上，且，．（1）求兩座高塔底部A，B之間的距離；（2）為慶祝2023年春節(jié)的到來，在兩座高塔頂部各安裝了一個大型彩色燈飾．政府部門為了方便市民觀賞這兩個彩色燈飾，決定在A，B之間的點P處（點P在線段AB上）搭建一個水上觀景臺，為了達到最佳的觀賞效果，要求最大，問：在距離A點多遠處搭建，才能達到最佳的觀賞效果?【答案】（1）60m    （2）在距離A處米處搭建，才能達到最佳的觀賞效果【解析】【分析】（1）由二倍角的正切公式與三角比的定義求解；（2）由兩角和的正切公式表達為關(guān)于的函數(shù)后求解最值.【小問1詳解】由題知，，，，，如圖，作，垂足為E，則四邊形ABED為矩形，所以．所以，所以，設(shè)，則，解得或（舍去），所以，所以兩座高塔底部A，B之間的距離為60m．【小問2詳解】設(shè)，則．所以，，所以．設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立．又因為在銳角范圍內(nèi)，越大，越大，所以當(dāng)時，取得最大值，此時．所以在距離A處米處搭建，才能達到最佳的觀賞效果．21. 已知橢圓E：過，兩點．（1）求橢圓E的方程；（2）已知，過的直線l與E交于M，N兩點，求證：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）將兩點坐標(biāo)代入，求出橢圓方程；（2）依據(jù)斜率是否為零，分類討論，斜率為零時易得結(jié)論，斜率不為零時證明QP平分，可得結(jié)論.【小問1詳解】由題知，橢圓E過，，所以，解得，，所以橢圓E的方程為．【小問2詳解】證明：當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l的方程為，所以，或，．所以．當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，，，由，得，所以，，，所以，，所以，所以QP平分，因為，，所以，即．22. 已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若對任意的恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】(1)證明不等式成立，即證明，建立新的函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可判斷.(2)對的正負分類討論，當(dāng)時，可以直接去絕對值.當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求導(dǎo)，求函數(shù)的最值即可解決.【小問1詳解】證明：因為的定義域為，所以若，.要證，即證，即證.令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.【小問2詳解】若對任意的恒成立，即對任意的恒成立.令.若，則.由（1）知，所以，又，所以，又，所以，符合題意；若，令，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得，且，所以，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得.設(shè)，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上所述，a的取值范圍為.【點睛】不等式的恒成立問題通常都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，通過求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值.當(dāng)參數(shù)范圍不確定時，需要進行分類討論，求導(dǎo)求函數(shù)的最值.
 

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