2023—2024學年度上學期2022級9月月考數(shù)學試卷命題人：馮韻      審題人：鄭華考試時間：2023年9月14日一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．用簡單隨機抽樣的方法從含有個個體的總體中抽取一個容量為的樣本，其中某一個體“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是（    ）A．、 B．、C．、 D．、2．已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，3．已知兩個向量，，且，則的值為（    ）A．1 B．2 C．4 D．84．已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（    ）A． B． C． D．5．如圖，元件通過電流的概率均為0.9，且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在M，N之間通過的概率是A．0.729 B．0.8829 C．0.864 D．0.98916．同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記事件“點數(shù)之和為7”，事件“點數(shù)之和為3的倍數(shù)”，則（    ）A．為不可能事件 B．與為互斥事件C．為必然事件 D．與為對立事件7．袋子里裝有形狀大小完全相同的4個小球，球上分別標有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球上數(shù)字是1”，表示事件“第二次取出的球上數(shù)字是2”，表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是5”，表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是6”，通過計算，則可以得出（    ）A．B與D相互獨立 B．A與D相互獨立 C．B與C相互獨立 D．C與D相互獨立8．在邊長為1的菱形ABCD中，，將沿對角線AC折起得三棱錐. 當三棱錐體積最大時，此三棱錐的外接球的表面積為（      ）A． B． C． D． 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（    ）A．若空間中的O，A，B，C，滿足，則A，B，C，三點共線B．空間中三個向量，，，若，則，，共面C．對空間任意一點和不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面D．設(shè)是空間的一組基底，若，，則不能為空間的一組基底10．已知空間向量，則下列選項中正確的是（    ）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時， 11．如圖，正方體的棱長為，點為底面的中心，點為側(cè)面內(nèi)   （不含邊界）的動點，則（    ）A．B．存在一點，使得C．三棱錐的體積為D．若，則面積的最小值為12．已知長方體的棱，，點滿足：，、、，下列結(jié)論正確的是（    ）  A．當，時，到的距離為B．當，時，直線與平面所成角的正切值的最大值為C．當時，點的到平面的距離的最大值為1D．當，時，四棱錐外接球的表面積為 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外的任意一點，若點P在平面ABC內(nèi)，且，則實數(shù)              ．14．如圖，在二面角中，且，垂足分別為A，B，已知，=12，則二面角所成平面角為      ．15．如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點E，M是AC的中點，，則的最小值為      ．16．中國古代數(shù)學經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于      . 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．在中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足.(1)求B；(2)若，且的面積為，是的中線，求的長. 18．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35~45歲所有人的年齡的方差. 19．為了普及垃圾分類知識，某校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為p，乙同學答對每題的概率都為q（），且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙兩人同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為．(1)求p和q的值；(2)求甲、乙兩人共答對3道題的概率． 20．我省從2021年開始，高考不分文理科，實行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學，外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學、生物這4門再選科目中選擇2門。已知福建醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學、生物至少1門。(1)從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合福建醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率；(2)假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，求這三人中恰好有一人的選科組合符合福建醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率. 21．如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點．(1)證明：；(2)若為上的動點，與平面所成最大角的正弦值為，求二面角的余弦值. 22．如圖，在矩形ABCD中，，，M是線段AD上的一動點，將沿著BM折起，使點A到達點的位置，滿足點平面且點在平面內(nèi)的射影E落在線段BC上.(1)當點M與端點D重合時，證明：平面；(2)求三棱錐的體積的最大值；

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