2023-2024學(xué)年山東省青島大學(xué)附中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列四個圖形中，不是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 2.  據(jù)交通運輸部發(fā)布消息，某年春節(jié)期間，全國共發(fā)送旅客億人次，比前一年同期增長，將億這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可以表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  不等式組的解集是，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，將向下平移個單位，再繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是(    )
A.  B.  C.  D. 6.  如圖，，分別是的角平分線和中線，于，交于，連接，若，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 7.  將一個有角的三角板的直角頂點放在一張寬為的紙帶邊沿上．另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成角，如圖，則三角板的最大邊的長為(    )A.  B.  C.  D. 8.  如圖，菱形的對角線，相交于點，點為邊上一動點不與點，重合，于點，于點，若，，則的最小值為(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共7小題，共28.0分）9.  計算： ______ ；
分解因式： ______ ．10.  為響應(yīng)“綠色奧運”的號召，九年級班全體師生義務(wù)植樹棵，原計劃每小時植樹棵，但由于參加植樹的全體師生植樹的積極性高漲，實際工作效率提高為原計劃的倍，結(jié)果提前分鐘完成任務(wù)，則的值為______ ．11.  如圖所示，若，則 ______ ．
 12.  一次函數(shù)和的圖象如圖所示，其交點為，則不等式的解集是______．
 13.  如圖，在四邊形中，為對角線的中點，連接、、，若，則的度數(shù)為______ ．
 14.  對于正數(shù)，規(guī)定，例如，則的結(jié)果是          ．15.  【問題提出】
如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的選擇方法？
【問題探究】
為發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的問題入手，再逐次遞進(jìn)，最后得出一般性的結(jié)論
探究一：
如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，會有多少種不同的選擇方法？
如圖，當(dāng)，時，顯然有種不同的選擇方法；
如圖，當(dāng)，時，有，；，；，這種不同的選擇方法；
如圖，當(dāng)，時，有______種不同的選擇方法；

由上可知：從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有______種不同的選擇方法．
探究二：
如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個，個個連續(xù)的自然數(shù)，分別有多少種不同的選擇方法？
我們借助下面的框圖繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律完成填空從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有______種不同的選擇方法；
從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有______種不同的選擇方法；

從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有______種不同的選擇方法；

由上可知：如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有______種不同的選擇方法．
【問題解決】
如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有______種不同的選擇方法．
【實際應(yīng)用】
我們運用上面探究得到的結(jié)論，可以解決生活中的一些實際問題．
今年國慶七天長假期間，小亮想?yún)⒓幽陈眯猩缃M織的青島兩日游，在出行日期上，他共有______種不同的選擇．
星期天，小明、小強和小華三個好朋友去電影院觀看我和我的祖國，售票員李阿姨為他們提供了第七排號到號的電影票讓他們選擇，如果他們想拿三張連號票，則一共有______種不同的選擇方法．
【拓展延伸】
如圖，將一個的圖案放置在的方格紙中，使它恰好蓋住其中的四個小正方形，共有______種不同的放置方法．

 三、解答題（本大題共9小題，共68.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
尺規(guī)作圖：
已知線段，，求作菱形，使菱形邊長等于，對角線．
結(jié)論：
17.  本小題分
計算：
化簡：；
解不等式組：．18.  本小題分
近年來網(wǎng)約車十分流行，初三某班學(xué)生對“美團(tuán)”和“滴滴”兩家網(wǎng)約車公司各名司機月收入進(jìn)行了一項抽樣調(diào)查，司機月收入單位：千元如圖所示：

根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如下： 平均月收入千元中位數(shù)千元眾數(shù)千元方差千元“美團(tuán)” ______ “滴滴” ______ ______ 完成表格填空；
若從兩家公司中選擇一家做網(wǎng)約車司機，你會選哪家公司，并說明理由．19.  本小題分
小明同學(xué)三次到某超市購買、兩種商品，其中僅有一次是有折扣的，購買數(shù)量及消費金額如下表：類別
次數(shù)購買商品數(shù)量件購買商品數(shù)量件消費金額元第一次第二次第三次解答下列問題：
第______次購買有折扣；
求、兩種商品的原價；
若購買、兩種商品折扣數(shù)相同，求折扣數(shù)；
小明同學(xué)再次購買、兩種商品共件，在中折扣數(shù)的前提下，消費金額不超過元，求至少購買商品多少件．20.  本小題分
“節(jié)能減排，綠色出行”，越來越多的人喜歡騎自行車出行某自行車車行經(jīng)營的型自行車去年銷售總額為元，今年該自行車每輛售價比去年降低元若該自行車今年的銷售總額與去年相同，那么今年的銷售總量需要比去年增加請解答以下問題：
型自行車今年每輛售價為多少？
該車行今年計劃新進(jìn)一批型車和新款型車共輛，且型進(jìn)貨數(shù)量不超過型車數(shù)量的倍型車和型車每輛的進(jìn)價分別為元和元，型車每輛的售價為元，該自行車行應(yīng)如何組織進(jìn)貨才能使這批自行車獲利最多？獲利最多是多少？21.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，且與正比例函數(shù)的圖象交點為．
請直接寫出、的值； ______ ， ______ ．
若線段上的動點，過作軸交于點．
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，線段的長為，則與的函數(shù)關(guān)系式為______ ；
若為等腰三角形，請求出點的坐標(biāo)．
平面內(nèi)是否存在一點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22.  本小題分
如圖，平行四邊形的對角線、交于點，為中點，過點作交的延長線于，連接與．
求證：≌；
當(dāng)四邊形是怎樣的特殊四邊形時，四邊形為菱形？請說明理由．
23.  本小題分
甲、乙兩名同學(xué)沿直線進(jìn)行登山，甲、乙沿相同的路線同時從山腳出發(fā)到達(dá)山頂甲同學(xué)到達(dá)山頂休息后再沿原路下山，他們離山腳的距離隨時間變化的圖象如圖所示，根據(jù)圖象中的有關(guān)信息回答下列問題：
甲同學(xué)上山過程中與的函數(shù)解析式為______ ；點的坐標(biāo)為______ ．
若甲同學(xué)下山時在點處與乙同學(xué)相遇，此時點與山頂?shù)木嚯x為．
求甲同學(xué)下山過程中與的函數(shù)解析式；
相遇后甲、乙各自繼續(xù)下山和上山，求當(dāng)乙到達(dá)山頂時，甲與乙的距離是多少千米．
24.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點，長方形的頂點，分別在軸與軸上，已知，點為軸上一點，其坐標(biāo)為，點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿線段的方向運動，當(dāng)點與點重合時停止運動，運動時間為秒．
當(dāng)點經(jīng)過點時，求直線的函數(shù)解析式；
求的面積關(guān)于的函數(shù)解析式；
點在運動過程中是否存在使為等腰三角形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項A、、中的圖形都能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
選項B中的圖形不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的定義繞一個點旋轉(zhuǎn)能夠與自身重合的圖形判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．2.【答案】 【解析】解：億，
故選：．
將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案．
本題考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：，選項錯誤；
，選項錯誤；


，選項錯誤；
，選項正確．
故選：．
利用整式的混合運算法則計算并判斷．
本題考查了整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握整式的混合運算法則．4.【答案】 【解析】解：不等式組的解集是，
解不等式得，
解不等式得，
不等式組的解集是，
，
，
故選：．
根據(jù)解不等式，可得每個不等式的解集，再根據(jù)每個不等式的解集，可得不等式組的解集，根據(jù)不等式的解集，可得答案．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：如圖，

則為所求，
點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是，
故選：．
根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將向下平移個單位，再繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，即可得點的對應(yīng)點的坐標(biāo)．
本題考查了坐標(biāo)與圖形變換旋轉(zhuǎn)、平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．6.【答案】 【解析】解：為的角平分線，，
是等腰三角形，
，
，
，，
為的中線，
是的中位線，
，
，
故選：．
首先證明是等腰三角形，則，，則是的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解．
本題考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位線定理，正確證明是關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：過點作，，
在直角三角形中，
，
，
又三角板是有角的三角板，
，
，
，
故選：．
過另一個頂點作垂線如圖，可得直角三角形，根據(jù)直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半，可求出有角的三角板的直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊．
此題考查的知識點是含角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關(guān)鍵是先求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊．8.【答案】 【解析】解：連接，作于點，
四邊形是菱形，對角線、相交于點，
，，，
，
，
，
，
解得，
于點，于點，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
的最小值為，
故選：．
連接，作于點，由菱形的性質(zhì)得，，，由勾股定理得，由，求得，再證明四邊形是矩形，則，因為，所以，則的最小值為，于是得到問題的答案．
此題重點考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度、垂線段最短等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．9.【答案】   【解析】解：原式

；
原式
．
故答案為：；．
原式利用乘方的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及二次根式乘法法則計算即可得到結(jié)果；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，實數(shù)的運算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：原計劃每小時植樹棵，實際工作效率提高為原計劃的倍，故每小時植棵，由題意得：
，
故答案為：．
原計劃每小時植樹棵，實際工作效率提高為原計劃的倍，故每小時植棵，原計劃植棵樹可用時小時，實際用了小時，根據(jù)關(guān)鍵語句“結(jié)果提前分鐘完成任務(wù)”可得方程．
此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是弄清題意，表示出原計劃植棵樹所用時間與實際所用時間．11.【答案】 【解析】解：連接，如圖：

六邊形的內(nèi)角和為，，
，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理可得，從而可得答案．
本題考查多邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是求出．12.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)和的圖象交點為，
當(dāng)時，，即，
不等式的解集為．
故答案為．
由于不等式就是不等式，觀察圖象，直線落在直線上方的部分對應(yīng)的的取值范圍即為所求．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．13.【答案】 【解析】解：，是的中點，
，，
，
，，
，
，，
，
．
故答案為：．
由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，推出，，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，，即可推出．
本題考查直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可求解．14.【答案】 【解析】解：，，，，，
，，
，




．
故答案為：．
計算出，，，的值，總結(jié)出其規(guī)律，再求所求的式子的值即可．
本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，代數(shù)式求值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的新規(guī)定解答．15.【答案】探究一：；；
探究二：；；；；
問題解集：；
實際應(yīng)用：；；
拓展延伸：． 【解析】【分析】
本題考查了規(guī)律型圖形的變化類，先從最簡單的問題入手，再逐次遞進(jìn)，最后得出一般性的結(jié)論是解決此類問題的關(guān)鍵．
探究一：觀察規(guī)律可知，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，由此可得結(jié)果；
探究二：選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，
選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，
以此類推，選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，
選擇個連續(xù)自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少；
【問題解決】：將探究二結(jié)論中的換成即可；
【實際應(yīng)用】將，，代入之前的結(jié)論即可；
將，，代入之前的結(jié)論即可；
【拓展延伸】圖案向右移動，每次一格，可得橫向的放置方法數(shù)，圖案向下移動，每次一格，可得縱向的放置方法數(shù)，兩者相乘即為總數(shù)．
【解答】
解：探究：當(dāng)，時，由題干圖可知有種不同的選擇方法，
根據(jù)根據(jù)規(guī)律可知：
從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；
探究：從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，
選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，
以此類推，選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，
選擇個連續(xù)自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少；
故從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；
從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；

從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；

由上可知：如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；
【問題解決】
由規(guī)律可知：
從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；
【實際應(yīng)用】
從連續(xù)天選擇連續(xù)天，則，，總共有種選擇；
號到號總共張電影票，選擇連號，則，，總共有種不同的選擇；
【拓展延伸】
圖案向右移動，每次一格，可看作選，可得種放置方法，
圖案向下移動，每次一格，可看作，選，可得種放置方法，
故總共種放置方法．16.【答案】解：如圖，四邊形即為所求． 【解析】作直線，在上截取線段；
作線段的垂直平分線，交線段于點；
以點為圓心，線段的長為半徑畫弧，交直線于點，；
分別連接，，，；
則四邊形就是所求作的菱形．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的作法、菱形的判定．17.【答案】解：原式
；
，
由可得，
，
由可得，
，
不等式組的解集為：． 【解析】先計算括號，再計算乘除即可；
分別求出兩個不等式的解集，尋找公共部分即可．
本題考查分式的混合運算，解一元一次不等式組等知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算法則，屬于中考常考題型．18.【答案】解：；；；
選美團(tuán)，因為平均數(shù)一樣，中位數(shù)、眾數(shù)美團(tuán)大于滴滴，且美團(tuán)方差小，更穩(wěn)定． 【解析】解：美團(tuán)平均月收入：；
滴滴中位數(shù)為；
方差：；
故答案為：；；；
見答案．
【分析】
利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義分別計算后即可確定正確的答案；
根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小和方差的大小進(jìn)行選擇即可．
本題考查了統(tǒng)計的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是能夠了解有關(guān)的計算公式，難度不大．19.【答案】三．
設(shè)商品的原價為元件，商品的原價為元件，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：商品的原價為元件，商品的原價為元件．
設(shè)折扣數(shù)為，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：折扣數(shù)為．
設(shè)購買商品件，則購買商品件，
根據(jù)題意得：，
解得：，
為整數(shù)，
的最小值為．
答：至少購買商品件． 【解析】解：觀察表格數(shù)據(jù)，可知：第三次購買的、兩種商品均比頭兩次多，總價反而少，
第三次購買有折扣．
故答案為：三．
見答案；
見答案；
見答案．
【分析】
由第三次購買的、兩種商品均比頭兩次多，總價反而少，可得出第三次購物有折扣；
設(shè)商品的原價為元件，商品的原價為元件，根據(jù)總價單價數(shù)量結(jié)合前兩次購物的數(shù)量及總價，即可得出關(guān)于、的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)折扣數(shù)為，根據(jù)總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)購買商品件，則購買商品件，根據(jù)總價單價數(shù)量結(jié)合消費金額不超過元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小整數(shù)即可得出結(jié)論．
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：觀察三次購物的數(shù)量及總價，找出哪次購物有折扣；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．20.【答案】解：設(shè)型自行車今年每輛售價為元，則去年每輛售價為元，根據(jù)題意得，
，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
答：型自行車今年每輛售價為元；
解：設(shè)購進(jìn)型車輛，則購進(jìn)型車共輛，
依題意，，
解得：，
根據(jù)題意，型車和型車每輛的進(jìn)價分別為元和元，型自行車今年每輛售價為元；型車每輛的售價為元，
設(shè)利潤為元，則，
即，
，
當(dāng)時取得最大值，最大值為元，
購進(jìn)型車輛，購進(jìn)型車共輛，才能使這批自行車獲利最多，獲利最多元． 【解析】設(shè)型自行車今年每輛售價為元，則去年每輛售價為元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可求解；
設(shè)購進(jìn)型車輛，則購進(jìn)型車共輛，求得，設(shè)利潤為元，根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題考查了分式方程的意義，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程與不等式是解題的關(guān)鍵．21.【答案】     【解析】解：把點的坐標(biāo)代入中可得，
故答案為：，；
直線的解析式為，
軸，點的橫坐標(biāo)為，
，，
，
故答案為：，
在中，令得，
，
，，
，，
為線段上的動點，為等腰三角形，
，
解得：或此時不在線段上，舍去，
；
存在一點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
設(shè)，
又，，，
當(dāng)，為對角線，則，的中點重合，
，
解得，
；
當(dāng)，為對角線時，，的中點重合，
，
解得，
；
當(dāng)，為對角線，則，的中點重合，
，
解得，
；
綜上所述，的坐標(biāo)為或或．
把點的坐標(biāo)代入即可解答．
由，，可得；
求出，根據(jù)為線段上的動點，為等腰三角形，可得，即可求得；
設(shè)，分三種情況：當(dāng)，為對角線，則，的中點重合，當(dāng)，為對角線時，，的中點重合，當(dāng)，為對角線，則，的中點重合，分別列出方程組，即可解得答案．
本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰三角形，平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．22.【答案】證明：，
，
是的中點，
，
在和中，
，
≌；
解：當(dāng)四邊形是矩形時，四邊形為菱形，理由如下：
由可知，≌，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是矩形，
，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
又，
平行四邊形是菱形． 【解析】由證明≌即可；
先證四邊形是平行四邊形，得，，再證四邊形是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．
本題考查了菱形的判定、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.【答案】   【解析】解：設(shè)甲同學(xué)登山過程中，路程千米與時間時的函數(shù)解析式分別為，
由圖象得，
，
解析式為；
當(dāng)時，，
甲到達(dá)山頂時間是小時，而甲同學(xué)到達(dá)山頂休息小時后再沿原路下山，
，
故答案為：；；

當(dāng)時，，
解得，
點，
設(shè)甲同學(xué)下山過程中與的函數(shù)解析式為，將和代入得：
則：，
解答，
答：甲同學(xué)下山過程中與的函數(shù)解析式為；

乙到山頂所用時間為：小時，
當(dāng)時，，
當(dāng)乙到山頂時，甲離乙的距離是：千米．
答：甲與乙的距離是千米．
由圖可知，甲同學(xué)登山過程中路程與時間成正比例函數(shù)，設(shè)，用待定系數(shù)法可求解，當(dāng)時，可得，即可得的坐標(biāo)；
把代入中乙同學(xué)上山過程中與的函數(shù)解析式，求出點的橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；
把代入中乙同學(xué)上山過程中與的函數(shù)解析式，求出乙到山頂所用時間，再代入的關(guān)系式求解即可．
本題考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求值的運算技能和從坐標(biāo)系中提取信息的能力，是一道綜合性較強的代數(shù)應(yīng)用題，有一定的能力要求．24.【答案】解：，，四邊形為長方形，
．
設(shè)此時直線解析式為，
把，分別代入得，
，
解得，
此時直線的函數(shù)解析式為；

當(dāng)點在線段上，時，，高為，，
當(dāng)點在線段上，時，，高為，，
的面積關(guān)于的函數(shù)解析式為；

存在，理由為：
因為，所以滿足條件的點上．
若為等腰三角形，分三種情況考慮，

當(dāng)時，
在中，，
根據(jù)勾股定理得：，
，即；
當(dāng)時，過點作于，

，
，
；
當(dāng)時，過點作于，

在中，，
根據(jù)勾股定理得：，
，
，
綜上，滿足題意的坐標(biāo)為或或 【解析】設(shè)直線解析式為，將與坐標(biāo)代入求出與的值，即可確定出解析式；
當(dāng)在段時，三角形底與高為固定值，求出此時面積；當(dāng)在段時，底邊為固定值，表示出高，即可列出與的關(guān)系式；
存在，分別以，，為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出坐標(biāo)即可．
此題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．

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