2022—2023學(xué)年第二學(xué)期期中質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知向量，，則A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?/span>，所以=（5，7），故選A.考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，屬容易題. 2. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡，再由虛部的定義求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)所以的虛部為，故選：C.3. 在中，已知，則角等于（    ）A. 或 B. 或 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理解三角形即可，要注意角度的取值范圍.【詳解】根據(jù)正弦定理有，題中又中，，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確故選：D.4. 將曲線C1：上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2，則C2的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】解：將向右平移個(gè)單位長度得到，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變得到；故選：A5. 已知向量，向量．若向量與向量垂直，則（    ）A.  B.  C. 3 D. 5【答案】A【解析】【分析】由向量與垂直求出，根據(jù)模長的坐標(biāo)表示即得.【詳解】因?yàn)?/span>，向量與垂直，所以，所以，即，∴. 故選：A.6. 在中，，，，D，E分別是邊上的三等分點(diǎn)，則的值是（    ）A. 6 B.  C. 8 D. 【答案】B【解析】【分析】以作為基底分別表示出，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求出．【詳解】因?yàn)?/span>D，E分別是邊上的三等分點(diǎn)，不妨設(shè)，，所以，由可得，，即，同理可得，，所以．故選：B．7 已知，若，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知可得，，應(yīng)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出，，進(jìn)而利用差角正弦公式求.【詳解】由題設(shè)，，，∴，，∴故選：C8. 2022年北京冬奧會(huì)，首鋼滑雪大跳臺(tái)（如圖1）是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素．某校研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A（如圖2）距離地面的高度AB（AB與地面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物PQ，測得PQ的高度為25.4米，并從P點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物PQ之間的地面上的點(diǎn)M處測得A點(diǎn)，P點(diǎn)的仰角分別為75°和30°（其中B，M，Q三點(diǎn)共線），該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，，）A. 58 B. 60 C. 66 D. 68【答案】B【解析】【分析】在中，求得PM，在中，利用正弦定理求得AM，然后在中，由 求解.【詳解】解：如圖所示：由題意得：，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中， ，故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A. 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B. 的虛部為2 C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的概念判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)的模判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故A錯(cuò)誤；，則復(fù)數(shù)的虛部為，故B錯(cuò)誤，，故C正確；，故D正確；故選：CD10. 《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形（圖2）中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，且，則下列說法正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的定義及向量加法的平行四邊形法則判斷即可；【詳解】解：依題意，故A錯(cuò)誤；，故B正確；因?yàn)?/span>，即，所以以，為鄰邊的平行四邊形為正方形，對(duì)角線長為，所以，故C正確；因?yàn)?/span>，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC11. 已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示.則下列結(jié)論正確的是（    ）  A. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圖像求出函數(shù)解析式，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意，，，所以，又，可得，又，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以不是函數(shù)的對(duì)稱軸，A錯(cuò)；，所以是對(duì)稱中心，B正確；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，C正確；，，所以或，即或，又，所以，它們的和為，D正確.故選：BCD12. 如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記．在上述坐標(biāo)系中，若，，則（    ）A.  B.  C.  D. 與夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】由題設(shè)，且，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求、和，進(jìn)而求夾角，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題意，，且，A正確；所以，則，，則，B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；由上知：，D正確.故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13. 已知，，，且是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為______.【答案】【解析】【分析】利用向量夾角公式以及向量投影公式直接求解.【詳解】設(shè)與夾角，則，所以在上的投影向量為，故答案為：.14. 在中，若，，的面積為，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】首先求出，由面積求出，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，又，解得，由余弦定理，所以.故答案為：15. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度．得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)是奇函數(shù)，則φ＝_______．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)平移規(guī)律求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求的值.【詳解】函數(shù)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，所以，則，，則，，因?yàn)?/span>，所以.故答案為：16. 如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊、，點(diǎn)在以為直徑的半圓上．已知以直角邊、為直徑的兩個(gè)半圓的面積之比為3，，則______．【答案】【解析】【分析】由以直角邊、為直徑的兩個(gè)半圓的面積之比為3，可得，進(jìn)而可得，從而利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)橐灾苯沁?/span>、為直徑兩個(gè)半圓的面積之比為3，所以，所以在直角三角形中，因?yàn)?/span>，所以，所以，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知復(fù)數(shù)，（1）當(dāng)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根據(jù)實(shí)部為零，虛部不為零得到方程，解得即可；（2）依題意可得，再解一元二次不等式組即可；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，解得或，解得且，即時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限時(shí)，，解得或，解得，所以18. 已知向量，，且與的夾角為.（1）求；（2）若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由向量的夾角公式，求得，所以，求得，即可求得；（2）根據(jù)，求得，再結(jié)合向量與共線時(shí)，求得，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：向量，，可得，，且，因?yàn)?/span>與的夾角為，可得，解得或（舍），所以，則，所以.【小問2詳解】解：由向量，，可得，，由，解得，當(dāng)向量與共線時(shí)，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長．【答案】（1）見解析    （2）14【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【小問1詳解】證明：因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以；【小問2詳解】解：因?yàn)?/span>，由（1）得，
由余弦定理可得， 則，所以，故，所以，所以的周長為. 20. 學(xué)軍中學(xué)11月在杭州樂園舉行了秋游活動(dòng)，其中“旋轉(zhuǎn)木馬”項(xiàng)目受到了師生們的喜愛．假設(shè)木馬旋轉(zhuǎn)時(shí)為逆時(shí)針方向的水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，半徑為5米，周期為1分鐘．如圖，在旋轉(zhuǎn)木馬右側(cè)有一固定相機(jī)C（C，O兩點(diǎn)分別在AB的異側(cè)），若記木馬一開始的位置為點(diǎn)A，與C的直線距離為7米．110秒后木馬的位置為點(diǎn)B，與C的直線距離為8米．（1）求弦長的值；（2）求旋轉(zhuǎn)中心O到C點(diǎn)的距離．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先求出木馬旋轉(zhuǎn)的角度，進(jìn)而得到，從而求得弦長的值；（2）在三角形中，先根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，又在三角形中，根據(jù)余弦定理即可求得．【小問1詳解】連接由木馬旋轉(zhuǎn)的角度為，即，所以三角形為等邊三角形，所以；【小問2詳解】連接，在三角形中，由余弦定理有，因?yàn)?/span>，所以，又，在三角形中，由余弦定理有，故旋轉(zhuǎn)中心O到C點(diǎn)距離為．21. 已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．（1）若∥，，求x的值；（2）若f（x）?，，求f（x）的最大值及相應(yīng)x的值．【答案】（1）或（2）的最大值為，此時(shí)【解析】【分析】（1）利用向量共線得到三角方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值問題，易解；（2）把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用角的范圍結(jié)合單調(diào)性即可得到最大值．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴cosx＝0或，即cosx＝0或tanx，∵，∴或；（2） ∵，∴，∴，∴，故f（x）的最大值為，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查了向量共線與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力.22. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；（2）由（1）中函數(shù)的圖象（縱坐標(biāo)不變）橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再把整個(gè)圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，已知，問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得．若存在，求出Р點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）    （2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合伴隨向量的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出的解析式，結(jié)合向量垂直建立方程關(guān)系進(jìn)行求解．【小問1詳解】，故；【小問2詳解】，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，即， 因，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和同時(shí)等于，此時(shí)，

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