2022-2023學(xué)年山東省濟寧市兗州區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若，則的值為（    ）A．3 B．6 C．9 D．3或6【答案】D【分析】根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以或，解得或.經(jīng)檢驗符合題意故選：D2．若X的概率分布列為：X01Pa0.5則等于（    ）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.25【答案】C【分析】由分布列的性質(zhì)求得a，再求數(shù)學(xué)期望.【詳解】由，得，∴．故選：C．3．若函數(shù)，則（    ）A．0 B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)運算公式求解.【詳解】，因為，，所以，故選：B．4．一個袋子中有個紅球和個白球，這些小球除顏色外沒有其他差異從中不放回地抽取個球，每次只取個設(shè)事件“第一次抽到紅球”，“第二次抽到紅球”，則概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求出和，進而由條件概率公式計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，事件“第一次抽到紅球”，“第二次抽到紅球”，則，，則．故選：A．5．某試驗每次成功的概率為，現(xiàn)重復(fù)進行10次該試驗，則恰好有3次試驗未成功的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項分布的概率公式即可求解.【詳解】由題意可知，重復(fù)進行10次該試驗，恰好有3次試驗未成功，說明7次成功，3次未成功，所以所求概率為．故選：B．6．隨機變量，已知其概率分布密度函數(shù)在處取得最大值為，則（    ）附：，.A．0.97725 B．0.84135 C．0.15865 D．0.02275【答案】C【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)求出，再利用特殊區(qū)間的概率及正態(tài)分布的性質(zhì)求解．【詳解】由題意，，，所以，，所以．故選：C．7．的展開式中的系數(shù)是（    ）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【分析】運用二項式定理求解.【詳解】由題意原式中的系數(shù)；故選：B.8．已知，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性得到和，然后得到，根據(jù)題意進而求解即可.【詳解】令，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則；令，則，當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，要使成立，則有，所以，故選：B. 二、多選題9．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由排列組合公式，結(jié)合分步計數(shù)原理以及分類計數(shù)原理和間接法，依次分析選項，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件產(chǎn)品中有2件合格品，1件不合格品，則合格品的取法有種，不合格品的取法有種，則恰好有1件是不合格品的取法有種取法；則正確，若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2種情況，①抽出的3件產(chǎn)品中有2件合格品，1件不合格品，有種取法，②抽出的3件產(chǎn)品中有1件合格品，2件不合格品，有種取法，則抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種，正確；抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品，用間接法分析：在100件產(chǎn)品中任選3件，有種取法，其中全部為合格品的取法有種，則抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種取法，正確；若抽出的3件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品，用間接法分析：在100件產(chǎn)品中任選3件，有種取法，其中有2件為不合格品的抽法有種，則至多有1件是不合格品的抽法有有種，錯誤；故選：．10．下列關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的等式中，正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由題意利用組合數(shù)公式、排列數(shù)公式，逐一檢驗各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【詳解】解：對于A，，故A正確；對于B，，，所以所以，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：ABD11．如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（    ）A．在區(qū)間上是增函數(shù)B．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)C．是的極大值點D．是的極小值點【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)得出導(dǎo)函數(shù)的符號，進而得出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的極值的定義即可求解.【詳解】根據(jù)圖象知，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯誤，故B正確；當時，取得是極大值，是的極大值點，故C正確；當時，取得極小值，是的極小值點，故D正確.故選：BCD.12．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點.依據(jù)不動點理論，下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)有1個不動點B．函數(shù)有2個不動點C．若定義在R上的奇函數(shù)，其圖像上存在有限個不動點，則不動點個數(shù)是奇數(shù)D．若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點，則實數(shù)a滿足（e為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】ACD【分析】利用“不動點”的定義，研究的零點個數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)和，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項，,利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合是的一個“不動點”，其它的“不動點”都關(guān)于原點對稱，即可判斷選項，將函數(shù)在區(qū)間，上存在不動點，轉(zhuǎn)化為在，上有解，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進行分析，即可判斷選項．【詳解】解：對于選項,令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以所以在上有且僅有一個零點，即有且僅有一個“不動點”，故選項正確；對于選項,令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上最多有一個零點，即最多只有一個“不動點”，故選項錯誤；對于選項，因為是上的奇函數(shù)，則為定義在上的奇函數(shù)，所以是的一個“不動點”，其它的“不動點”都關(guān)于原點對稱，其個數(shù)的和為偶數(shù)，所以一定有奇數(shù)個“不動點”，故選項正確；對于選項,因為函數(shù)在區(qū)間，上存在不動點，則在，上有解，則在，上有解，令，則，再令，則，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以， 所以在，上恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，所以，，所以實數(shù)滿足為自然對數(shù)的底數(shù)），故選項正確．故選：．【點睛】本題考查的是函數(shù)的新定義問題，試題以函數(shù)和方程的有關(guān)知識為背景設(shè)計問題，要求學(xué)生能理解函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用基礎(chǔ)知識探究新的問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進行解答即可． 三、填空題13．一袋中有大小相同的3個紅球和2個白球，從中任取3球，恰有兩個白球的概率是          ．【答案】/0.3【分析】根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】一袋中有大小相同的3個紅球和2個白球，從中任取3球，恰有兩個白球的概率．故答案為：.14．若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是          ．【答案】【分析】由題意知在上恒成立，從而結(jié)合一元二次不等式恒成立問題，可列出關(guān)于 的不等式，進而可求其取值范圍.【詳解】由題意知，在上恒成立，則，解得.故答案為：．15．1260有          個不同的正因數(shù).（用數(shù)字作答）【答案】36【分析】將1260分解，然后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算即可.【詳解】，第一步，可以取，共3種，第二步，可以取，共3種，第三步，可以取，共2種，第四步，可以取，共2種，所以一共有種取法，對應(yīng)36個不同的正因數(shù).故答案為：3616．如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”現(xiàn)提供6種顏色給“弦圖”的5個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有          種.（用數(shù)字作答）  【答案】1560【分析】分別用3種顏色、4種顏色、5種顏色涂色即可.【詳解】如圖所示，  用3種顏色涂色，則①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有種，用4種顏色涂色，則①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有種，用5種顏色涂色，則①、③、⑤、②、④異色，所以涂色方案有種，所以涂色方案共有種.故答案為：1560. 四、解答題17．已知二項式的展開式中第三項的二項式系數(shù)為15.(1)求；(2)求展開式中的常數(shù)項.【答案】(1)6(2)15 【分析】（1）根據(jù)題意，化簡求解即可；（2）利用二項展開式的通項求解.【詳解】（1）由題意得，即，化簡得，解得或（負值舍去）．所以.（2）由二項展開式的通項得，因為，令，得，所以常數(shù)項為．18．求函數(shù)，(1)求在處的切線方程；(2)求在區(qū)間內(nèi)的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法求解；【詳解】（1）解：由，可得，，故，所以在處的切線方程為，即所求的切線方程；（2）因為，令，解得或.當x變化時，及隨x的變化而變化如下表所示．x-23 +0-0+ 8↗極大值↘極小值↗18由上表可知當時，取得最小值；當時，取得最大值18.故在區(qū)間內(nèi)的值域為.19．有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).（算出具體數(shù)字）(1)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(2)全體排成一排，女生必須站在一起；(3)全體排成一排，男生互不相鄰；(4)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.【答案】(1)5040(2)576(3)1440(4)3720 【分析】（1）分兩步完成，先選3人站前排，余下4人站后排，再利用分步乘法計數(shù)原理求解；（2）利用捆綁法，將女生看成一個整體，進行全排列，再與3名男生進行全排列求解； （3）利用插空法，先排女生，再在空位中插入男生求解；（4）先7名學(xué)生全排列，再減去甲在最左邊，乙在最右邊，然后加上甲在最左邊且乙在最右邊的情況求解.【詳解】（1）解：分兩步完成，先選3人站前排，有種方法，余下4人站后排，有種方法，所以一共有（種）；（2）將女生看成一個整體，進行全排列，有種，再與3名男生進行全排列有種，共有=（種）.（3）先排女生有種方法，再在空位中插入男生有種方法，故有（種）；（4）7名學(xué)生全排列，有種方法，其中甲在最左邊時，有種方法，乙在最右邊時，有種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種方法，故共有（種）.20．甲、乙兩人參加某種選拔測試.規(guī)定每人必須從備選的6道題中隨機抽出3道題進行測試,在備選的6道題中,甲答對其中每道題的概率都是,乙只能答對其中的3道題.答對一題加10分,答錯一題(不答視為答錯)得0分.(1)求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)規(guī)定:每個人至少得20分才能通過測試,求甲、乙兩人中至少有一人通過測試的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)乙的得分為的可能值有，分別計算概率，列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望；（2）先由（1）中分布列算出乙通過的概率，再計算出甲通過的概率，然后計算出甲乙都沒有通過的概率，用1去減即可得出甲、乙兩人中至少有一人通過測試的概率.【詳解】（1）設(shè)乙的得分為的可能值有乙得分的分布列為:X0102030P 所以乙得分的數(shù)學(xué)期望為  (2) 乙通過測試的概率為  甲通過測試的概率為,  甲、乙都沒通過測試的概率為所以甲、乙兩人中至少有一人通過測試的概率為【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與概率的計算，遇到至多至少常采用間接法求解.21．一個圓柱形圓木的底面半徑為，長為，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中為圓心，，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為（單位：），表面積為（單位：）．（1）求關(guān)于的函數(shù)表達式；（2）求的值，使體積最大；【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)圓的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義可得出；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，得到增、減區(qū)間，進而求出極值，最后可以得到最大值時的.試題解析：（1）梯形的面積.體積.（2）.令得或，，當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)； 當時，體積最大.【解析】1、數(shù)學(xué)建模能力及三角函數(shù)求導(dǎo)法則；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值.【方法點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)建模能力以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值.22．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性：當時，，則在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設(shè)g（x）=lnx-x+1 ，利用導(dǎo)數(shù)易得，即得證.【詳解】（1） 的定義域為（0，+），.若a≥0，則當x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當時，時；當x∈時，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當a＜0時，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當x∈（0,1）時，；當x∈（1，+）時，.所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當x＞0時，g（x）≤0.從而當a＜0時，，即.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù). 

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