2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用集合的并集運(yùn)算即可求出答案.【詳解】由題意可知，，故選：D2. 已知命題：，，則是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定判斷即可.【詳解】：，.故選：C.3. “”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式得到，得到答案.【詳解】，故，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B4. 在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)和三角函數(shù)概念，即可求出的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，則，故選：A.5. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的解析式，判定得出,再由零點(diǎn)的存在定理，即可得到連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間．【詳解】解:由題意，函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，，, ,,∴,根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，可得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的定義以及函數(shù)零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，其中熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算的性質(zhì)，合理利用零點(diǎn)的存在定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．6. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，，計(jì)算，得到大小關(guān)系.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，故，故.故選：A7. 已知且，若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】確定在上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到，再考慮定義域得到，得到答案.【詳解】在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，考慮定義域：，故，綜上所述：.故選：B8. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若，，且，都有成立，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【詳解】令，由題意知在上為減函數(shù)，又為上的偶函數(shù)，所以為上的奇函數(shù)，又在上為減函數(shù)，，所以在上為減函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，解得；②當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，解得.所以或.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 若實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)得到，，AC正確；取特殊值排除BD得到答案.【詳解】，故，，AC正確；取，滿(mǎn)足，不成立，B錯(cuò)誤；取，，滿(mǎn)足，不成立，D錯(cuò)誤.故選：AC10. 已知，則下列各式中，與數(shù)值相同的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故A錯(cuò)；，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD.11. 若，，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】求出，則由對(duì)數(shù)的計(jì)算公式可判斷A；求出可判斷B；要判斷，即判斷，因?yàn)?/span>可判斷C；由均值不等式可判斷D.【詳解】由題意可得出，，所以，故A正確；，所以，故B不正確；要判斷，即判斷，因?yàn)?/span>，所以，故C不正確；，故D正確.故選：AD12. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（    ）A. 函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B. 函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C. 函數(shù)在上是減函數(shù) D. 函數(shù)的值域?yàn)?/span>【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷AB選項(xiàng)；利用換元法分析函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)單調(diào)性求值域即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，所以，所以為偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，B正確；令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，又為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，又為增函數(shù)，所以在上是增函數(shù).又為上的偶函數(shù)，所以，所以的值域?yàn)?/span>.所以C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若扇形的弧長(zhǎng)和面積都是4，則這個(gè)扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)是______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為，半徑為，，所以，.故答案為：2.14. 已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若冪函數(shù)的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出冪函數(shù)的解析式，即可求出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，可知定點(diǎn)，設(shè)，代入，可得，所以，所以.故答案為：.15. 若，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)得到，確定，計(jì)算，得到答案.【詳解】，故，故，，故，，，，故.故答案為：16. 已知且，若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意可知，函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，利用單調(diào)性列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)是上單調(diào)遞增函數(shù)，可得，解得，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚.17. 若，求的值.【答案】3【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求值即可【詳解】因?yàn)?/span>，，，，，所以.18. 已知集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，代入可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由可知，討論集合是否為空集，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由條件可知.因?yàn)?/span>，所以.當(dāng)即時(shí)，，符合；當(dāng)即時(shí)，，則有解得.綜上可知，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.19. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求在上的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解析式；（2）先根據(jù)定義判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求值域.【小問(wèn)1詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)，則有：當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則；所以在上的解析式為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，則，對(duì)，且，則，故，∴，即，故在上為增函數(shù)，且，則，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>.20. 流行性感冒簡(jiǎn)稱(chēng)流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病.了解引起流感的某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防流感的傳播有極其重要的意義，某科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定是某種細(xì)菌進(jìn)行研究.經(jīng)過(guò)2分鐘菌落的覆蓋面積為，經(jīng)過(guò)3分鐘覆蓋面積為，后期其蔓延速度越來(lái)越快；菌落的覆蓋面積（單位：）與經(jīng)過(guò)時(shí)間（單位：）的關(guān)系現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型：①（，），②（），③（）可供選擇.（參考數(shù)據(jù)：，）（1）選出你認(rèn)為符合實(shí)際的函數(shù)模型，說(shuō)明理由，并求出該模型的解析式；（2）在理想狀態(tài)下，至少經(jīng)過(guò)多少分鐘培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過(guò)？（結(jié)果保留到整數(shù)）【答案】（1）答案見(jiàn)解析；    （2）至少經(jīng)過(guò)培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過(guò).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分析三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)速度快慢，選擇，并求出解析式；（2）根據(jù)題意，，求出的取值范圍，進(jìn)而得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>（，）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，（）和（）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，所以應(yīng)選函數(shù)模型（，）.由題意得，解得，所以該函數(shù)模型為（）；【小問(wèn)2詳解】由題意得，即，所以，又.所以至少經(jīng)過(guò)培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過(guò).21. 已知函數(shù)在上為減函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）    （2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）考慮和兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得到，解得答案.（2）考慮和兩種情況，根據(jù)，考慮和的大小關(guān)系，解不等式得到答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，則，解得.綜上所述：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為，，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.22. 已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）在上為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意是定義在上的奇函數(shù)，所以，即可求出實(shí)數(shù)的值；（2）由（1）知，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義化簡(jiǎn)，即可證明其單調(diào)性；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得到不等式，利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得.此時(shí)，，所以，所以是上的奇函數(shù)，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，任取，，且，則，因?yàn)?/span>，所以，即，又，，所以，即，所以在上為減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】由題意知恒成立，因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>在上為減函數(shù)，所以設(shè)（），則，即因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即亦即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為9.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
 

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