2022-2023學(xué)年河南省周口市太康縣高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知z復(fù)數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則的值為（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算規(guī)則以及共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】 ， ；故選：B.2．已知，，則，的夾角等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，因?yàn)?/span>，所以，的夾角等于．故選：A3．設(shè)是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平分及向量加減法計(jì)算可得.【詳解】是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則,所以.故選：A.4．在△ABC中，，則此三角形中的最大角的大小為（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理可得出，設(shè)，則，，然后根據(jù)余弦定理求出即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，，設(shè)，則，，所以最大.由余弦定理可得，.因?yàn)?/span>，所以.故選：C.5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是截面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界），若，則的最小值為（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】找到的軌跡為，的最小值為到的距離，由垂直關(guān)系求出答案.【詳解】若，則在平面上的投影在上，所以的軌跡為，  的最小值為到的距離，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，且，所以，故的最小值為.故選：C6．如圖所示，的直觀圖是邊長(zhǎng)為的等邊，則在原圖中，邊上的高為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直觀圖與原圖的關(guān)系求解即可.【詳解】在直觀圖中，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的等邊，所以上的高，∴，∴在原圖中，上的高.故選：A.7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（    ）A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸【答案】C【分析】由題意求得盆中水的上地面半徑，代入圓臺(tái)體積公式求得水的體積，除以盆口面積得答案．【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．積水深9寸，水面半徑為寸，則盆中水的體積為（立方寸）．平地降雨量等于（寸．故選：C．8．如圖，已知正方體，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則下列命題中假命題為（    ）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．直線始終與直線異面D．直線始終與直線異面【答案】C【分析】當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，可判斷A；通過線面平行的判定定理，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，即可判斷B；當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，兩條線在同一平面內(nèi)，不是異面直線，可判斷C；直線PQ與另一條線所在的平面相交，從而證明這兩條線不相交，也不平行即可判斷D.【詳解】正方體中，易得平面，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，平面，，故A正確；連接、，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，為三角形的中位線，即，故B正確；平面，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，平面，所以直線和在同一平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；平面，平面，，所以直線始終與直線不相交，且不平行，所以直線與直線是異面直線，故D正確；故選：C 二、多選題9．設(shè)，，為復(fù)數(shù)，且，下列命題中正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上【答案】ACD【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷A，利用特值可判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)相等可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件可判斷D.【詳解】設(shè)，，，對(duì)A， 若，即，則，所以，，故A正確；對(duì)B，若，則，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，所以，即，因?yàn)?/span>，，則至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)，由，可得，所以，，即，，故C正確；對(duì)D，由，可得，所以，又不全為零，所以表示一條直線，即在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，故D正確.故選：ACD.10．下列命題正確的是（    ）A．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，，則△ABC是等腰三角形B．已知，，則C．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，則的值為D．在△ABC中，，AB＝2，BC＝4，則BC邊上的高為【答案】BCD【分析】由已知可得A＝B或，可判斷A；求得，可求判斷B；求得，可判斷C；先根據(jù)余弦定理求出b＝4，然后利用等面積法即可求出BC邊上的高．【詳解】解：對(duì)于A，∵，∴2A＝2B或，∴A＝B或，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，，∴，∴，∴，故B正確；在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，則，故C正確；在△ABC中，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，則c＝2，a＝4，因?yàn)?/span>，所以，整理得，解得b＝4，（負(fù)值舍去），因?yàn)?/span>，，設(shè)BC邊上的高為h，則，，解得，故D正確.故選：BCD．11．在正三棱錐中，，D為PC的中點(diǎn)，以下四個(gè)結(jié)論中正確的是（    ）A．若平面ABD，則二面角余弦值為B．若平面ABD，則三棱錐的外接球體積為C．若，則三棱錐的體積為D．若，則三棱錐的外接球表面積為【答案】ABD【分析】平面ABD，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可判斷出為正四面體形，根據(jù)正四面體形性質(zhì)判斷即可；，可判斷出為PA，PB，PC兩兩垂直的正三棱錐，將其還原到正方體中即可計(jì)算判斷.【詳解】A，B選項(xiàng)中，如圖，因?yàn)?/span>平面ABD，所以 AD， BD，因?yàn)?/span>D為PC的中點(diǎn)，所以，，所以正三棱錐為正四面體，設(shè)中點(diǎn)為E，則二面角的平面角為，，，，根據(jù)余弦定理可知，根據(jù)正四面體形外接球半徑公式可知，外接球半徑，則外接球體積為，故A，B正確；C，D選項(xiàng)中，根據(jù)條件可知，正三棱錐為PA，PB，PC兩兩垂直的正三棱錐，所以體積為，故C錯(cuò)誤；其外接球半徑，故外接球表面積，故D正確.故選：ABD．12．如圖，多面體ABCDEF的8個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則（    ）A． B．平面平面FABC．直線EA與平面ABCD所成的角為 D．點(diǎn)E到平面ABF的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)多面體ABCDEF的8個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點(diǎn)，可判斷A選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性找到平面的垂線，根據(jù)線面角的性質(zhì)可求C選項(xiàng)，求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，由，，，為正三角形可得為正方形，故，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取中點(diǎn)為，在，中，由正三角形的性質(zhì)可得，，，平面平面，平面，平面，則為二面角的平面角，由，，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由條件可知四棱錐、四棱錐均為正四棱柱，連接，交點(diǎn)為正方形的中心，則平面，即為直線與平面所成的角，由，，得，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，連接，在正方形可知，，平面，平面，，與相交，且平面，平面即為三棱錐的高，設(shè)點(diǎn)E到平面ABF的距離為，由幾何關(guān)系可求得，，，，由可得，，代入數(shù)據(jù)解得，故D正確．故選：ACD. 三、填空題13．在中，若，，，則    ．【答案】/【分析】先利用商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系求出，再利用正弦定理即可得解.【詳解】由，得，則，則，所以（負(fù)值舍去），由，在三角形中易得，因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.14．如圖．在直角梯形中．，點(diǎn)P是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為            ．【答案】4【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由在直角梯形中．，則，則以A為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則，故，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為4，故答案為：415．如圖所示，圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為         .【答案】/【分析】由圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體積公式即可得出答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積為：，所以，所以圓錐的高.故圓錐的體積為：.故答案為：.16．已知在四面體V-ABC中，，，，則該四面體外接球的表面積為        ．【答案】/【分析】先判斷出V在平面的射影為的外心,求出四面體外接球的半徑，即可求出四面體外接球的表面積.【詳解】∵，∴V在平面ABC的射影為的外心．又，，所以的外接圓的半徑；,設(shè)四面體外接球的半徑為R，．解得．所以外接球的表面積為．故答案為：． 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)．(1)求；(2)若z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a，b的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求，進(jìn)而求模長(zhǎng)；（2）將代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列式求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以．（2）由（1）可得：，將代入方程得：，則，解得：．18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求；(2)若的最大角為最小角的2倍，求a的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解余弦值，進(jìn)而根據(jù)同角關(guān)系即可求解正弦值，（2）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式得，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，在中，由余弦定理，得，所以．（2）由已知，最大角為角A，最小角為角C，即，由正弦定理得，即，又，所以，將，代入上式得，由于 解得．19．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)證明:；(2)若，，，求AM的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理和余弦定理化角為邊，整理即可得證；（2）在中，由（1）結(jié)合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解.【詳解】（1）由，得，則，由正弦定理和余弦定理得，化簡(jiǎn)得；（2）在中，，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，由，得，在中，，所以.20．如圖，在四棱錐中，，且．(1)證明：平面平面；(2)若，，且四棱錐的體積為，求與平面所成的線面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)． 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證明得底面，再根據(jù)四棱錐的體積公式求出，從而用線面角的定義求解.【詳解】（1）因?yàn)樵谒睦忮F中，，所以，， 又，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面， 因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?/span>，所以，由（1）知平面，平面，所以，因?yàn)?/span>， 底面， 所以底面，                                       設(shè)，求得，，因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以解得，所以，因?yàn)?/span>底面，    所以為與平面所成的角，在中，，所以．所以與平面所成的線面角為．21．平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點(diǎn)在同一平面上，已知．(1)當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說明理由．(2)記與的面積分別為和，請(qǐng)求出的最大值．【答案】(1)為定值，定值為1(2)14 【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；（2）由面積公式可得，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)配方求最值即可．【詳解】（1）法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，為定值，定值為1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，為定值，定值為1；（2），令，所以，所以，即時(shí)， 有最大值為14．22．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，分別為棱中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若平面平面，直線與平面所成的角為，且，求二面角的大?。?/span>【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可證得結(jié)論；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證得平面，由線面角定義可知，根據(jù)二面角平面角的定義可知所求二面角的平面角為，由長(zhǎng)度關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】（1）為中點(diǎn)，，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；分別為中點(diǎn)，，平面，平面，平面；，平面，平面平面.（2）平面平面，平面平面，平面，，平面，即為直線與平面所成角，即；設(shè)，則，平面，平面，，；，，平面，平面，平面平面，即為二面角的平面角，，，，即二面角的大小為. 

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