浙江省嘉興市海鹽高級中學2023-2024學年高二數(shù)學上學期返校測試試題（Word版附解析）

這是一份浙江省嘉興市海鹽高級中學2023-2024學年高二數(shù)學上學期返校測試試題（Word版附解析），共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
海鹽高級中學高二返校評估測試數(shù)學試卷（2023.8）（考試時間  120分鐘    試卷總分 150分）一、單選題（40分）1. 已知，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的除法運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：B.2. 已知平面向量，，，若∥，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出的坐標，再由∥，列方程可求出的值，從而可求出的坐標，進而可求出【詳解】因為，，所以，因為∥，，所以，解得，所以，所以，故選：C3. 甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如表所示：從這四個人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽，最佳人選是（      ） 甲乙丙丁平均成績8.68.98.98.2方差3.55.62.13.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】C【解析】【分析】分別從平均成績最高和方差最小兩方面找到最佳人選即可.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可知，甲，乙，丙，丁四個人中乙和丙的平均數(shù)最大且相等，又甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，所以綜合平均數(shù)和方差兩個方面說明丙成績即高又穩(wěn)定，所以丙是最佳人選，故選：C.4. 從長度為的5條線段中任取3條，則這3條線段能構成一個三角形的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用列舉法，列出5條線段中任取3條線段的所有情況，然后找出能構成三角形的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】從5條線段中任取3條，可能的情況有：，，，，，，，，，共有10種可能，其中，能構成三角形的只有，，共3種可能，所以能構成三角形的概率為.故選：A.5. 如圖，若直線的斜率分別為，則（    ）    A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關系求解即可.【詳解】解析  設直線的傾斜角分別為，則由圖知，所以，即．故選：A6. 已知直線過，且，則直線的斜率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【詳解】設直線斜率為，直線斜率為，因為直線過，，所以斜率為，因，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.7. 已知，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式，再結合同角三角函數(shù)基本關系式，即可求解.【詳解】因為，所以，又，所以故選：D8. 在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，則銳二面角的大小為（    ）A. 30° B. 45°C. 60° D. 75°【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角的坐標公式即可求解.【詳解】因為平面，平面，所以，，又是矩形，所以兩兩垂直，故以為坐標原點，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，  又，，，所以，因為平面，所以平面的一個法向量為，而,設平面的法向量為，則，取，則，，所以30°，所以銳二面角的大小為30°，故選：A.二、多選題（20分）9. 若甲組樣本數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3，乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，下列說錯誤的是（    ）A. 的值不確定B. 乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的2倍C. 兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相等D. 兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等【答案】ABC【解析】【分析】由甲組平均數(shù)為，則乙組平均數(shù)為，解得值，又乙組方差為甲組方差的倍，可判斷選項AB，再利用極差與中位數(shù)定義判斷CD項.【詳解】對選項A，由題意可知，，故A錯誤；對選項B，易知乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的倍，故B錯誤；對選項C，不妨設，則甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，又已知甲組數(shù)據(jù)各不相同，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不相等，故C錯誤；對選項D，設甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當時，，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，故D正確.故選：ABC.10. 下列說法正確的是（    ）A. 從五名同學中選三名同學去聽專家講座，不同的選法有10種B. 甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為C. 從裝有2個紅球，3個白球的不透明袋子中任取3個球，則事件“所取的3個球中至少有1個紅球”與事件“3個都是白球”互為對立事件D. 設兩個獨立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)排列組合的公式以及相互獨立事件乘法公式逐一判斷即可．【詳解】A選項，從五名同學中選三名同學去聽專家講座，不同選法有種，故A正確；B選項，甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為，故B正確；C選項，從裝有2個紅球，3個白球的不透明袋子中任取3球，有以下情形：3白，1紅2白，2紅1白，則事件“所取的3個球中至少有1個紅球”與事件“3個都是白球”互為對立事件，C正確；D選項，∵，即，∴，得，又，∴，故D錯誤，故選：ABC．11. 已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（    ）A. 函數(shù)為偶函數(shù) B. C.  D. 函數(shù)的圖象的對稱軸方程為【答案】ACD【解析】【分析】整理可得，根據(jù)平移整理得，結合余弦函數(shù)得對稱軸求解．【詳解】對于A，由已知得，函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對于B，C，可得，故C正確；對于D，令，，可得，，故D正確.故選：ACD.12. 在棱長為2的正方體中，為棱上的動點（含端點），則下列說法正確的是（    ）A. 存在點，使得平面B. 對于任意點，都有平面平面C. 異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是D. 若平面，則平面截該正方體的截面圖形的周長最大值為【答案】AB【解析】【分析】利用線面平行的判定判斷A；利用面面垂直的判定判斷B；求出異面直線夾角的余弦范圍判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，為棱上的動點（含端點），對于A，當點與重合時，由，得，有，而平面，平面，因此平面，即平面，A正確；對于B，由平面，平面，得，又，平面，則平面，而平面，因此平面平面，B正確；對于C，由平面，平面，得，因為，顯然是銳角，則是異面直線與所成的角，而，，C錯誤；對于D，當點與重合時，與選項B同理得平面，當平面為平面時，平面截正方體所得截面圖形為矩形，其周長為，D錯誤.故選：AB三、填空題（20分）13. 已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則| +2 |= ______ .【答案】【解析】【詳解】∵平面向量與的夾角為，∴.∴故答案為.點睛：(1)求向量的夾角主要是應用向量的數(shù)量積公式．(2) 常用來求向量的模．14. 若經過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)傾斜角為鈍角斜率為負，結合直線斜率公式，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角，所以斜率，解得．所以的取值范圍是，．故答案為：，．15. 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且a＝1，，則△ABC外接圓的半徑為 ____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，求解角，再根據(jù)正弦定理求半徑.【詳解】因為，所以，即，所以，由為三角形內角得，因為a＝1，由正弦定理得，所以．故答案為：16. 直四棱柱的底面正方形邊長為，側棱長為，以頂點為球心，為半徑作一個球，則球面與直四棱柱的表面相交所得到的所有弧長之和等于______．【答案】【解析】【分析】分別求出球面與面、面、面、面的交線長，相加即可得出結果.【詳解】如下圖所示：①因為正方形的邊長為，所以，以頂點為球心，為半徑的球與面的交線是以為圓心，半徑為，且圓心角為的圓弧，其長度為；②因為底面，且，所以，以頂點為球心，為半徑的球與面的交線是以點為圓心，半徑為，圓心角為的圓弧，其長度為；③設以頂點為球心，為半徑的球與棱的交點為點，因為，，則，所以，，從而可得，故以頂點為球心，為半徑的球與側面的交線是以點為圓心，半徑為，且圓心角為的圓弧，其長度為；④同③可知，以頂點為球心，為半徑的球與側面的交線是以點為圓心，半徑為，且圓心角為的圓弧，其長度為.因此，球面與直四棱柱的表面相交所得到的所有弧長之和等于.故答案為：.四、解答題（10+12+12+12+12+12）17. 已知平面向量.（1）若與垂直，求的值；（2）若向量，若與共線，求.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先求向量與的坐標，利用向量垂直的坐標運算，求的值；           （2）求向量與的坐標，利用向量共線的坐標運算求的值，得向量的坐標，利用公式求.【小問1詳解】，則，，由與垂直，則，解得.【小問2詳解】，則有，由與共線，故，即，解得，                                        可得，18. 從某學校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.（1）求第七組的頻率；（2）估計該校的800名男生的身高的中位數(shù)；（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中任取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求.【答案】（1）；（2）174.5；（3）.【解析】【分析】（1）求出第六組的頻率后，根據(jù)頻率和為1可求得結果；（2）根據(jù)前三組頻率和小于0.5，前四組的頻率大于0.5可知中位數(shù)位于第四，再根據(jù)中位數(shù)的概念列式可求得結果；（3）將事件轉化為隨機抽取的兩名男生在同一組，根據(jù)列舉法以及古典概型的概率公式可求得結果.【詳解】（1）第六組的頻率為，所以第七組的頻率為；（2）身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，估計這所學校的800名男生的身高的中位數(shù)為m，則由得所以可估計這所學校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5.（3）第六組的人數(shù)為4人，設為a，b，c，d，第八組的人數(shù)為2人，設為A，B，則有共15種情況，因事件發(fā)生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為共7種情況，故.【點睛】關鍵點點睛：將事件轉化為隨機抽取的兩名男生在同一組是解題關鍵.19. 在中，內角，，的對邊分別是，，，且滿足.（1）求角的值；（2）若，，求的面積.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再用余弦定理即可求得結果；（2）由正弦定理結合已知求得，利用面積公式即可求得結果.【詳解】（1）因為故，故可得，即可得，又，故可得.（2）由（1）中所求，故可得，則由，可得.故可得三角形面積【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，屬綜合基礎題.20. 四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E為AD的中點.（1）求證：平面PCE⊥平面PAD；（2）求PC與平面PAD所成的角的正切值；（3）求二面角A-PD-C的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）推導出，，，從而平面，由此能證明平面平面；（2）斜線在平面內的射影為，是與平面所成角的平面角，推導出，，由此能求出與平面所成角的正切值；（3）過點作，垂足為，連結，推導出，平面，，是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．【詳解】（1）四邊形為菱形，，，為等邊三角形，，在中，是中點，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面．（2）平面，斜線在平面內的射影為，即是與平面所成角的平面角，平面，平面，，在中，，在中，，平面，平面，，在中，，與平面所成角的正切值為．（3）在平面中，過點作，垂足為，連結，平面，平面，，，平面，，是二面角的平面角，在中，，，，在中，，，，在中，，由余弦定理得，二面角的正弦值為．【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正切值、二面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題．21. 在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）若，且的面積為，求.【答案】（1）見解析（2）2【解析】【詳解】試題分析：（1）由，根據(jù)正弦定理可得 ，利用兩角和的正弦公式展開化簡后可得，所以，；（2）由，根據(jù)余弦定理可得，結合（1）的結論可得三角形為等腰三角形，于是可得，由 ，解得.試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，由已知得： ，展開得： ，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴ ，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由 ，得：.22. 如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，．  （1）求點B到平面ECD的距離；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）推導出，，，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解點面距離（2）利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．【小問1詳解】取中點，連接，，，，，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，，又，，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，則,,,,0,,,0,,,,，,設平面的一個法向量為，，，，,則，取，得，又,所以點B到平面ECD的距離為   【小問2詳解】由題意可知：平面的一個法向量為,0,，設平面的一個法向量為，,0,，,,，則，取，得,0,，設平面與平面所成銳二面角的平面角為，則．平面與平面所成銳二面角的余弦值為．