2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求得，再根據(jù)向量的加法法則即可得解.【詳解】，所以，.故選：A.2．命題“，”的否定為（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用全稱(chēng)命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題“，”為全稱(chēng)命題，該命題的否定為“，”.故選：D．3．已知，，和的夾角為，則（    ）A．12 B．3C．6 D．3【答案】C【分析】利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得，把代入求得的值．【詳解】由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得，解得，故選：C．4．“”是“”成立的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分、必要條件結(jié)合任意角的三角函數(shù)值分析判斷.【詳解】若，則；若，不一定有，例如，則；綜上所述：“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.5．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BD，再根據(jù)的符號(hào)可排除A，即可得出答案.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除BD；又，故排除A.故選：C.6．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用兩角和差正余弦公式、二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，，，由正弦函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】；；；，.故選：D.7．半圓的直徑AB＝4, O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A．2 B．0 C． D．【答案】D【詳解】為的中點(diǎn)，，從而則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值是，故選D.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查平面向量的幾何運(yùn)算以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.8．已知函數(shù)（且），則的所有零點(diǎn)之和為（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】將的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，因此可作出二者的圖象，則問(wèn)題可解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以由，得，因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且與的圖象在和時(shí)，各有2個(gè)交點(diǎn)，如圖示：所以（且）的所有零點(diǎn)之和為,故選：C． 二、多選題9．下列能化簡(jiǎn)為的是（   ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算分別判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D不合題意；故選：ABC．10．若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．的最小正周期為 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．不是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換得出的圖象，再利用的性質(zhì)結(jié)合周期公式逆推即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.對(duì)于A，的周期為，故A正確；對(duì)于B，由，得，從而即時(shí)，單調(diào)遞減，故B不正確；對(duì)于C，，所以不是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故C正確；對(duì)于D，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D正確.故選：ACD.11．以下結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)的最小值是2 B．若a，且，則C．若，則的最小值為3 D．函數(shù)的最大值為0【答案】BD【分析】由基本不等式知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由基本不等式知當(dāng)，則，故B正確，對(duì)于C，令，方程無(wú)解，則等號(hào)不成立，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)的最大值為0，故D正確，故選：BD12．已知函數(shù)，則（    ）A．， B．，C．函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn) D．方程有5個(gè)根【答案】ABD【分析】利用正弦函數(shù)的周期性可判斷A；利用正弦函數(shù)的值域及指數(shù)函數(shù)的值域可判斷BC；作出函數(shù)的圖像可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，是周期為的周期函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，，，所以沒(méi)有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線過(guò)點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像，的圖象與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，所以D正確．故選：ABD． 三、填空題13．已知扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積      ．【答案】6【分析】由扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式可得答案.【詳解】因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)為，所以．故答案為：6．14．如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，點(diǎn)G為AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則向量用與表示為                【答案】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理結(jié)合線性運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故答案為：.15．水車(chē)（如圖1）是一種圓形灌溉工具，它是古代中國(guó)勞動(dòng)人民充分利用水力發(fā)展出來(lái)的一種運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)械.根據(jù)文獻(xiàn)記載，水車(chē)大約出現(xiàn)于東漢時(shí)期.水車(chē)作為中國(guó)農(nóng)耕文化的重要組成部分，體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力，為水利研究史提供了見(jiàn)證.圖2是一個(gè)水車(chē)的示意圖，它的半徑為2m，其中心（即圓心）O距水面1m.如果水車(chē)每60s逆時(shí)針轉(zhuǎn)1圈，在水車(chē)輪邊緣上取一點(diǎn)P，我們知道在水車(chē)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)距水面的高度h（單位：m）是一個(gè)變量，它是關(guān)于時(shí)間t（單位：s）的函數(shù).為了方便，不妨從P點(diǎn)位于水車(chē)與水面交點(diǎn)Q時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，則我們可以建立函數(shù)關(guān)系式（其中，，）來(lái)反映h隨t變化的周期規(guī)律.  則            .【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：點(diǎn)P距水面的高度h的最大值為3，最小值為，則，解得；又因?yàn)?/span>，即，且，可得；又因?yàn)樾D(zhuǎn)一周用時(shí)秒，即的最小正周期為，且，可得，所以.故答案為：. 四、雙空題16．如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為         ，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為         ．【答案】          【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 五、解答題17．已知向量滿足，.(1)若，求實(shí)數(shù)x的值；(2)求的最小值，及此時(shí)x值.【答案】(1)(2)最小值為1時(shí)，  【分析】（1）根據(jù)向量垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解；（2）根據(jù)模長(zhǎng)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，則，由題意可得，解得.（2）因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí)，取到最小值1，即當(dāng)時(shí)，取到最小值1.18．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）（2）【解析】（1）由圖象得出周期，進(jìn)而得出，再由，得出的值，即可得出的解析式；（2）利用平移變換以及伸縮變換得出的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式，即可得出的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】（1）由圖像可知，，則，則，即，，，解得（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到的圖象，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象即由，解得即的單調(diào)遞增區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圖象求正弦型函數(shù)的解析式以及正弦函數(shù)圖象的變換求解析式，求正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.19．某學(xué)校決定對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，藥熏開(kāi)始前要求學(xué)生全部離開(kāi)教室.已知在藥熏過(guò)程中，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與藥熏時(shí)間t（小時(shí)）成正比；當(dāng)藥熏過(guò)程結(jié)束，藥物即釋放完畢，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）達(dá)到最大值.此后，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù)).已知從藥熏開(kāi)始，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）關(guān)于時(shí)間t（小時(shí)）的變化曲線如圖所示.  (1)從藥熏開(kāi)始，求每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量不高于0.125毫克時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥熏開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室?【答案】(1)(2)至少需要經(jīng)過(guò)0.8個(gè)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室 【分析】（1）時(shí)，設(shè)，根據(jù)圖象列式求解，從而得函數(shù)解析式；（2）解不等式，，可得結(jié)論．【詳解】（1）由圖象可知：當(dāng)時(shí)，圖象為正比例函數(shù)圖象，設(shè)為，可得，解得所以y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)，令，則，整理得，則，解得，所以至少需要經(jīng)過(guò)0.8個(gè)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.20．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值及對(duì)稱(chēng)中心；(2)若x＝為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求cos2的值.【答案】(1)，()(2)+ 【分析】（1）結(jié)合二倍角公式及輔助角公式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及兩角和的余弦公式即可求解．【詳解】（1），，由，得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（2）由（1）及題意得，又因?yàn)?/span>，所以，又，則,,故．21．已知向量，向量.求：(1)及 ；(2)的最小值為，求t的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）由（1）整理得，換元令，原題意等價(jià)于在上的最小值為，分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)最值運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，，所以，又因?yàn)?/span>，則，可得，所以；.（2）由（1）可得：，因?yàn)?/span>，令，原題意等價(jià)于在上的最小值為，注意到函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，則有：若，則在上單調(diào)遞減，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，解得，不合題意，舍去；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，解得或（舍去）；若，則在上單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，不合題意，舍去；綜上所述：t的值為.22．已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)函數(shù)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)(3)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)題意條件，分別求解的定義域和解對(duì)數(shù)不等式即可完成求解；（2）通過(guò)題意條件，找到和兩函數(shù)值域的關(guān)系，分別求解出對(duì)應(yīng)的值域，通過(guò)分類(lèi)討論即可完成求解；（3）通過(guò)題意條件，通過(guò)討論的值，分別作出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，借助換元，觀察函數(shù)圖像的交點(diǎn)狀況，從而完成求解.【詳解】（1）函數(shù)，由，可得，即的定義域?yàn)?/span>；不等式，所以，即為，解得，則原不等式的解為；（2）函數(shù)，若存在，使得成立，則和在上的值域的交集不為空集；由（1）可知：時(shí)，顯然單調(diào)遞減，所以其值域?yàn)?/span>；若，則在上單調(diào)遞減，所以的值域?yàn)?/span>，此時(shí)只需，即，所以；若，則在遞增，可得的值域?yàn)?/span>，此時(shí)與的交集顯然為空集，不滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)的范圍是；（3）由，得，令，則，畫(huà)出的圖象，當(dāng)，只有一個(gè)，對(duì)應(yīng)3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由，得在，三個(gè)分別對(duì)應(yīng)一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)，在時(shí)，，三個(gè)分別對(duì)應(yīng)1個(gè)，1個(gè)，3個(gè)零點(diǎn)，共5個(gè)，綜上所述：當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有5個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于“存在，使得成立”，需要將其轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)值域的關(guān)系，即兩個(gè)函數(shù)的值域有交集，需根據(jù)函數(shù)的具體范圍進(jìn)行適時(shí)的分類(lèi)討論即可. 

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