1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.
1.等比數(shù)列有關的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它的前一項的比都等于 常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使 成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ .
2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝ .(2)等比數(shù)列通項公式的推廣：an＝amqn－m.(3)等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝________
＝ .
3.等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q，則 ，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則 ，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為 (k，m∈N*).
(4)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn， ， 仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)
1.等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.2.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).3.數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.(　　)(2)當公比q>1時，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.(　　)(3)等比數(shù)列中所有偶數(shù)項的符號相同.(　　)(4)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列.(　　)
1.設a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
若a，b，c，d成等比數(shù)列，則ad＝bc，數(shù)列－1，－1,1,1.滿足－1×1＝－1×1，但數(shù)列－1，－1，1,1不是等比數(shù)列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要不充分條件.
2.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6等于A.31 B.32 C.63 D.64
根據(jù)題意知，等比數(shù)列{an}的公比不是－1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
3.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個數(shù)為____________.
1,3,9或9,3,1
∴這三個數(shù)為1,3,9或9,3,1.
例1　(1)(2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6等于A.14 B.12 C.6 D.3
方法一　設等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1.
所以a6＝a1q5＝3，故選D.
方法二　設等比數(shù)列{an}的公比為q，
(2)(2023·桂林模擬)朱載堉(1536～1611)是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中闡述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”.即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一
設第一個音的頻率為a，相鄰兩個音之間的頻率之比為q，那么an＝aqn－1，根據(jù)最后一個音的頻率是最初那個音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝ ，
等比數(shù)列基本量的運算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解.(2)解方程組時常常利用“作商”消元法.(3)運用等比數(shù)列的前n項和公式時，一定要討論公比q＝1的情形，否則會漏解或增解.
跟蹤訓練1　(1)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3等于A.16 B.8 C.4 D.2
設等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，
(2)在1和2之間插入11個數(shù)使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為M，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說法錯誤的是A.插入的第8個數(shù)為B.插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的 倍C.M>3D.N4，
所以 >5，
所以－1－ >4，即M>4，
所以N＝M＋3>7，故D錯誤.
例2　已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
選①②作為條件證明③：設Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，當n＝1時，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
解得q＝2，所以a2＝2a1.
選①③作為條件證明②：因為a2＝2a1，{an}是等比數(shù)列，所以公比q＝2，
選②③作為條件證明①：設Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，當n＝1時，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，因為a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，
所以{an}為等比數(shù)列.
(3)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列.
跟蹤訓練2　在數(shù)列{an}中， ＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
因為a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，
所以數(shù)列{an＋1}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，
∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的兩根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，
又數(shù)列{an}為等比數(shù)列，等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同，可得a7＝3，
(2)已知數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于A.150 B.－200C.150或－200 D.400
依題意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又因為數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，即S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，
S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150.
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.(2)巧用性質(zhì)，減少運算量，在解題中非常重要.
跟蹤訓練3　(1)(2023·六安模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，則a7＋a8等于A.40 B.36 C.54 D.81
在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數(shù)列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，
(2)等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)個項，所有奇數(shù)項和S奇＝255，所有偶數(shù)項和S偶＝－126，末項是192，則首項a1等于A.1 B.2 C.3 D.4
∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
1.(2023·岳陽模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足a5－a3＝8，a6－a4＝24，則a3等于A.1 B.－1 C.3 D.－3
設an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，
2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于A.40 B.60 C.32 D.50
由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
3.已知等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，則a4a5a6等于A.±8 B.－8 C.8 D.16
又等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同，所以a5＝2，
4.(2022·日照模擬)河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1 016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構成一個數(shù)列{an}，則lg2(a3·a5)的值為A.16 B.12 C.10 D.8
由題意，得{an}是以2為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)g2(a3·a5)＝lg2(8×22×8×24)＝12.
5.(多選)設等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列說法正確的是A.數(shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列B.數(shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C.數(shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列
對于B，當q＝－1時，數(shù)列{an＋an＋1}的項中有0，不是等比數(shù)列；對于C，當q＝1時，數(shù)列{an－an＋1}的項中有0，不是等比數(shù)列；
7.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，則公比q＝____，S5＋a5＝______.
由題意得2a1＝2，∴a1＝1.
8.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若數(shù)列{3n－an}也是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式可以為 ____________________.(寫出一個即可)
an＝3n－1(答案不唯一)
設等比數(shù)列{an}的公比為q，令bn＝3n－an，則b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{bn}是等比數(shù)列，∴ ＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化為q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，則an＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零實數(shù)).
設數(shù)列{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).
9.等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解.若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.
(2)記Sn為{an}的前n項和，若Sm＝63，求m.
10.Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；
(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.
假設存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列.因為S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
11.(多選)在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝ k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列關于“等差比數(shù)列”的判斷正確的是A.k不可能為0B.等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”C.等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”D.“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0
對于A，k不可能為0，正確；對于B，當an＝1時，{an}為等差數(shù)列，但不是“等差比數(shù)列”，錯誤；對于C，當?shù)缺葦?shù)列的公比q＝1時，an＋1－an＝0，分式無意義，所以{an}不是“等差比數(shù)列”，錯誤；對于D，數(shù)列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比數(shù)列”，且有無數(shù)項為0，正確.
12.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝8，a4＝－1，則數(shù)列{Sn}A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項
根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝－1，
故S1最大，S2最小.
13.設{an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝_____.
{bn}有連續(xù)四項在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，則an＝bn－1，{an}有連續(xù)四項在{－54，－24,18,36,81}中.又{an}是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項則q0,4S1＋S2＝S3.(1)求數(shù)列{an}的公比q；
由4S1＋S2＝S3，得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，整理得4a1＝a3，所以4a1＝a1q2.因為a1≠0，所以q2＝4，由題意得q>0，所以q＝2.
an＝a1·2n－1，
當n≥3時，f(n)單調(diào)遞增，

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