2022-2023學(xué)年山東省煙臺(tái)市海陽(yáng)市八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  若方程的一個(gè)根是，則常數(shù)的值為(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖，矩形的對(duì)角線，，則的長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 4.  滿足的整數(shù)的值可能是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知∽，它們的面積分別為和，且，則的長(zhǎng)為(    )A.  B.  C.  D. 6.  “今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問(wèn)井深幾何？”這是我們古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的“井深幾何”問(wèn)題，其題意可以山示意圖表示設(shè)井深為尺，所列方程正確的是(    )A.
B.
C.
D.
 7.  已知如圖，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(    )
A.  B.
C.  D. 8.  視力表用來(lái)測(cè)試一個(gè)人的視力，如圖是視力表的一部分，圖中的“”均是相似圖形，其中不是位似圖形的是(    )A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
 9.  觀察下列表格，一元二次方程的一個(gè)近似解為(    ) A.  B.  C.  D. 10.  如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則下列結(jié)論：∽；；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(    )
 A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  計(jì)算：______．12.  三角尺在燈泡的照射下在墻上形成的影子如圖所示，若，，則這個(gè)三角尺的周長(zhǎng)與它在墻上形成的影子的周長(zhǎng)的比是______ ．
 13.  如圖，將正方形紙片折疊，為折痕，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，則的度數(shù)為______ ．
 14.  已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)解，若，則的值為______．15.  如圖，在矩形中，，點(diǎn)，分別是，邊的中點(diǎn)，連接，若矩形與矩形相似，則矩形的面積為______ ．
 16.  如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)止，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為若，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為______
  三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
求代數(shù)式的值，其中如表是小明和小穎的解答過(guò)程： 解：原式．解：原式．填空：______ 的解法是錯(cuò)誤的；
求代數(shù)式的值，其中．18.  本小題分
解下列方程：
；
．19.  本小題分
如圖，在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，請(qǐng)按如下要求畫圖：
以點(diǎn)為位似中心，在軸下方，畫出的位似圖形，使它與的位似比為：；
若內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫出在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
20.  本小題分
如圖為一塊銳角三角形的余料，它的邊，，工人師傅要把它加工成菱形零件，使菱形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)，分別在邊，上，加工成的零件的高，求的高的長(zhǎng)．
21.  本小題分
“疫情”期間，小穎在家制作一種工藝品，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行線上銷售經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)是元件時(shí)，每天可售出該商品件，且售價(jià)每降低元，就會(huì)多售出件若每件工藝品需要元成本，設(shè)該工藝品的售價(jià)為元件．
請(qǐng)用含的代數(shù)式表示：
銷售每件工藝品的利潤(rùn)：______ 元；
每天能售出該工藝品的件數(shù)：______ ；
為了支持“抗疫”行動(dòng)，小穎決定每銷售一件該工藝品便通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)自動(dòng)向醫(yī)療基金會(huì)捐款元，若每天銷售該工藝品的純利潤(rùn)為元，求該工藝品的售價(jià)．22.  本小題分
如圖，在正方形中，，在邊上取中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)做與交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
求證：∽；
求的面積．
 
23.  本小題分
若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”例如，一元二次方程的兩個(gè)根是和，則方程就是“倍根方程”．
若關(guān)于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
若關(guān)于的一元二次方程是“倍根方程”，求該方程的根．24.  本小題分
已知四邊形中，，分別是，邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
特例解析：
如圖，若四邊形是矩形，且，求證：；
類比探究：
如圖，若四邊形是平行四邊形，且，求證：．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程的一個(gè)根是，
，
解得，
故選：．
根據(jù)方程的一個(gè)根是，可以得到，然后求解即可．
本題考查一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出的值．2.【答案】 【解析】解：、，原式化簡(jiǎn)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式化簡(jiǎn)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式化簡(jiǎn)正確，符合題意；
D、，原式化簡(jiǎn)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式，熟知化簡(jiǎn)二次根式的方法是解題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，，
，
，
，
為等邊三角形，
，
故選：．
先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得．
本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
四個(gè)選項(xiàng)中只有選項(xiàng)中的值符合題意，
故選：．
先解不等式得到，再估算出即可得到答案．
本題主要考查了解一元一次不等式，無(wú)理數(shù)的估算，正確求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：∽，它們的面積分別為和，
，
，
．
故選：．
根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行求解即可．
本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：由題意得，，，，，，
∽，
，即，
故選：．
根據(jù)題意可證明∽得到，然后代入數(shù)值即可得到答案．
本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，證明∽是解題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，
，
選項(xiàng)C符合題意，
故選：．
根據(jù)黃金分割的定義可得，進(jìn)而可得答案．
本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：和、和、和，兩個(gè)圖形是相似形、對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊平行，都是位似圖形；
和，對(duì)應(yīng)邊不平行，不是位似圖形，
故選：．
根據(jù)位似圖形的概念判斷即可．
本題考查的是位似變換的概念，位似圖形必須滿足：兩個(gè)圖形必須是相似形、對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊平行．9.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>時(shí)，，
時(shí)，，
所以方程解的范圍為．
故選：．
利用表中數(shù)據(jù)可判斷方程解的范圍為，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．
本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說(shuō)明未知數(shù)的值愈接近方程的根．10.【答案】 【解析】解：，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
又，
∽，故正確；
是邊的中點(diǎn)，
，
四邊形是矩形，
，，
∽

，故正確；
，，
，
，
∽，
，
，
，
，故正確，
故選：．
先證明，再由，即可證明∽；
先得到，由矩形的性質(zhì)可得，，由此證明∽，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
可證∽，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．就可以用平方差公式計(jì)算．結(jié)果是乘式中兩項(xiàng)的平方差相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．
本題應(yīng)用了平方差公式，使計(jì)算比利用多項(xiàng)式乘法法則要簡(jiǎn)單．12.【答案】 【解析】解：，，
，
，
由題意得：這個(gè)三角尺的周長(zhǎng)與它在墻上形成的影子是位似圖形，
這個(gè)三角尺的周長(zhǎng)與它在墻上形成的影子的位似比，
這個(gè)三角尺的周長(zhǎng)與它在墻上形成的影子的周長(zhǎng)的比是，
故答案為：．
根據(jù)已知可求出的長(zhǎng)，從而求出，然后根據(jù)題意可得：這個(gè)三角尺的周長(zhǎng)與它在墻上形成的影子是位似圖形，從而利用位似圖形的性質(zhì)即可解答．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，中心投影，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：四邊形是正方形，
，，
由折疊的性質(zhì)可得，
．
故答案為：．
先由正方形的性質(zhì)得到，，再由折疊的性質(zhì)可得，，則可得．
本題主要考查了正方形與折疊問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為，，則，．
由、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)解，得出，，整理，整體代入求得的數(shù)值即可．
【解答】解：、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)解，
，，
，

即
解得．
故答案為．15.【答案】 【解析】解：設(shè)，則，
矩形與矩形相似，
，即，
解得，，
，
矩形的面積為，
故答案為：．
根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．
考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，難度不大．16.【答案】或 【解析】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，
則，，，
當(dāng)與對(duì)應(yīng)時(shí)，∽，
，
即，
；
當(dāng)與對(duì)應(yīng)時(shí)，∽，
，
即，
，
當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或，
故答案為：或．
分∽和∽兩種情況分別求解即可．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17.【答案】小明 【解析】解：原式，
，
，
原式，
小明的解法是錯(cuò)誤的；
故答案為：小明；
原式，
，
，
原式




．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)和得出答案即可；
先根據(jù)和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．
本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，理解二次根式的性質(zhì)，掌握利用完全平方公式分解因式的技巧是解題關(guān)鍵．18.【答案】解：，
，
，
解得；
，
，
，，，
，
，
解得． 【解析】先把原方程化為一般式，然后利用直接開(kāi)平方的方法解方程即可；
先把原方程化為一般式，然后利用公式法解方程即可．
本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：如圖所示，即為所求；

與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，是內(nèi)部一點(diǎn)，
點(diǎn)在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為． 【解析】根據(jù)位似比和位似圖形的性質(zhì)先找到、、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、的位置，然后順次連接、、即可；
根據(jù)位似比為，結(jié)合位似圖形的位置只需要把的橫縱坐標(biāo)都乘以即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題主要考查了畫位似圖形，求位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，熟知位似圖形的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：四邊形是菱形，
，，
∽，
，即，
，
，
，
、分別是菱形的高和的高，
，，
由平行線的唯一性可知、、三點(diǎn)共線，
同理可證∽，
，
，

，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
，
的高的長(zhǎng)． 【解析】由菱形的性質(zhì)可得，，證明∽得到，進(jìn)而推出，再證明、、三點(diǎn)共線，同理可證∽，得到，則，由此即可得到答案．
本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，正確推出是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：  件
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
不符合題意，舍去．
答：該工藝品的售價(jià)為元件． 【解析】解：每件工藝品需要元成本，該工藝品的售價(jià)為元件，
銷售每件工藝品的利潤(rùn)為元．
故答案為：．
當(dāng)售價(jià)是元件時(shí)，每天可售出該商品件，且售價(jià)每降低元，就會(huì)多售出件，該工藝品的售價(jià)為元件，
每天能售出該工藝品件．
故答案為：件．
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
不符合題意，舍去．
答：該工藝品的售價(jià)為元件．

根據(jù)利潤(rùn)售價(jià)成本價(jià)，即可含的代數(shù)式表示出銷售每件工藝品的利潤(rùn)；
根據(jù)每天售出該工藝品的件數(shù)降低的價(jià)格，即可用含的代數(shù)式表示出每天能售出該工藝品的件數(shù)；
根據(jù)總利潤(rùn)銷售每件工藝品的利潤(rùn)日銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合條件的值即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出各量；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．22.【答案】證明：四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∽．
解：在正方形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，，，，
由已證：∽，
，即，
解得，
，
又，
∽，
，即，
解得，
則的面積為． 【解析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再證出，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
先利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再證∽，利用相似三角形的性質(zhì)可得，然后利用三角形的面積公式求解即可得．
本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23.【答案】解：設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根分別為和，
則，
解得，
即這個(gè)方程的一個(gè)根為，
將代入方程得：，
解得．
設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根分別為和，
由題意得：，
整理得：，
，
將代入得：，
解得，
，
所以該方程的根為或． 【解析】設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根分別為和，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求出，再將代入方程即可得；
設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根分別為和，根據(jù)“倍根方程”的定義可得，由此即可得．
本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，理解“倍根方程”的概念是解題關(guān)鍵．24.【答案】證明：四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
又，
；
證明：如圖，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，
，
四邊形是平行四邊形，

，，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
又，
． 【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)同角的余角相等得到，從而可證明∽，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明結(jié)論；
如圖，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，利用平行線的性質(zhì)以及同角的補(bǔ)角相等證明∽，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得證．
本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，同等的余角或補(bǔ)角相等．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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