2022-2023學年浙江省嘉興市高二下學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．設集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的基本運算進行計算即可.【詳解】解：由，得，由，得，所以.故選：B.2．設（為虛數(shù)單位），則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則進行運算，再利用共軛復數(shù)的概念求解.【詳解】因為，所以復數(shù)的共軛復數(shù)．故選：A3．已知為非零向量，且滿足，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用平面向量數(shù)量積及投影向量公式計算即可.【詳解】因為，所以，即：，所以在上的投影向量為.故選：D.4．設函數(shù)，則“”是“在上單調遞增”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】運用復合函數(shù)單調性求得a的范圍，再運用集合的包含關系即可求得結果.【詳解】因為在上單調遞增，所以由復合函數(shù)的單調性可知，，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.5．已知且滿足，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】運用配湊角，代入已知等式中可得，再結合角的范圍可求得的值，進而可求得、的值.【詳解】因為，，，所以，又因為，，所以，，所以，所以，所以，又因為，所以，所以所以.所以，故選：B.6．設.這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列結論正確的是（    ）  A．B．C．D．【答案】D【分析】運用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求解即可.【詳解】對于A項，由圖可知，，故A項不成立；對于B項，由圖可知，，，所以，故B項不成立；對于C項，因為，，，所以，故C項不成立；對于D項，由圖可知，，所以，故D項正確.故選：D.7．某校一場小型文藝晩會有6個節(jié)目，類型為：2個舞蹈類?2個歌唱類?1個小品類?1個相聲類.現(xiàn)確定節(jié)目的演出順序，要求第一個節(jié)目不排小品類，2個歌唱類節(jié)目不相鄰，則不同的排法總數(shù)有（    ）A．336種 B．360種 C．408種 D．480種【答案】C【分析】先求第一個節(jié)目不排小品類不同的排法種數(shù)，再求第一個節(jié)目不排小品類且2個歌唱類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)，再相減即可.【詳解】利用間接法：第一個節(jié)目不排小品類，共有種不同的排法，第一個節(jié)目不排小品類且2個歌唱類節(jié)目相鄰，共有種不同的排法，所以第一個節(jié)目不排小品類，2個歌唱類節(jié)目不相鄰，有種不同的排法，故選：C.8．在三棱錐中，，平面平面，則該三棱錐體積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用面面垂直的性質定理得出平面，分析知當時三棱錐體積最大，令，則體積，換元構造函數(shù)，利用導數(shù)求得其最值即可.【詳解】因為平面平面，為兩平面交線，取中點，因為，所以，又平面，所以平面，所以三棱錐的體積，因為，所以當長度確定時，長度不變，此時當時面積達到最大，故求出當時三棱錐體積的最大值即可.當時，令，則，則，由可得，令，則，從而，當時遞增，當時遞減，所以，即最大體積為.故選：B 二、多選題9．某校一支田徑隊有男運動員12人，女運動員8人，全隊中身高最高為，最低為，則下列說法正確的有（    ）A．該田徑隊隊員身高數(shù)據(jù)的極差為B．用不放回簡單隨機抽樣的方法從田徑隊中抽取一個容量為10的樣本，則每位運動員被抽到的概率均為C．按性別用分層抽樣的方法從田徑隊中抽取一個容量為10的樣本，樣本按比例分配，則男?女運動員抽取的人數(shù)分別為7人與3人D．若田徑隊中男?女運動員的平均身高分別為和，則該田徑隊的運動員總體平均身高為【答案】ABD【分析】對于A，身高的最大值減最小值即可；對于B，不放回的簡單隨機抽樣中每個個體被抽取的概率相等，等于抽取的人數(shù)與總體人數(shù)的比；對于C，利用分層抽樣的方法按比例抽取即可；對于D，根據(jù)男女生的比例及平均數(shù)公式求得結果.【詳解】對于A，由于全隊中身高最高為，最低為，該田徑隊隊員身高數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B，由已知田徑隊共有人，用不放回簡單隨機抽樣的方法從田徑隊中抽取一個容量為10的樣本，則每位運動員被抽到的概率均為，故B正確；對于C，田徑隊有男運動員12人，女運動員8人，男女生比例為，若抽取一個容量為10的樣本，男?女運動員抽取的人數(shù)分別為6人與4人，故C錯誤；對于D，若田徑隊中男?女運動員的平均身高分別為和，男生占，女生占，則該田徑隊的運動員總體平均身高為，故D正確.故選：ABD.10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的有（    ）  A．B．C．在區(qū)間上單調遞減D．為偶函數(shù)【答案】AC【分析】由圖列方程組可判斷A項，代入點可判斷B項，結合圖象及其周期可判斷C項，令計算可判斷D項.【詳解】由圖可知，，，所以，所以，將點代入可得：，，又因為，所以，所以，故A項正確，B項錯誤；對于C項，因為，所以，由圖可知，在上單調遞減，即：在上單調遞減，故C項正確；對于D項，因為，所以，當時，，所以不是偶函數(shù)，故D項錯誤.故選：AC.11．一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發(fā)，每隔向左或向右移動一個單位，向左移動的概率為，向右移動的概率為.則下列結論正確的有（    ）A．第八次移動后位于原點0的概率為B．第六次移動后位于4的概率為C．第一次移動后位于-1且第五次移動后位于1的概率為D．已知第二次移動后位于2，則第六次移動后位于4的概率為【答案】BCD【分析】運用二項分布可判斷A項、B項，運用分步乘法計算可判斷C項，運用條件概率公式計算可判斷D項.【詳解】對于A項，在8次移動中，設變量X為質點向右運動的次數(shù)，則，若移動8次后，質點位于0的位置，則質點向右移動4次，向左移動4次，所以第八次移動后位于原點0的概率為，故A項錯誤；對于B項，在6次移動中，設變量X為質點向右運動的次數(shù)，則，若移動6次后，質點位于4的位置，則質點向右移動5次，向左移動1次，所以第八次移動后位于原點0的概率為，故B項正確；對于C項，記“第一次移動后位于”為事件A，“第五次移動后位于1”為事件B，由題意知，質點先向左移動1次，剩余的4次中質點向右移動3次，向左移動1次，所以第一次移動后位于且第五次移動后位于1的概率為，故C項正確；對于D項，記“第二次移動后位于2”為事件M，“第六次移動后位于4”為事件N，當?shù)诙我苿雍笪挥?/span>2且第六次移動后位于4時，質點先向右移動2次，剩余的4次中質點向右移動3次，向左移動1次，所以，，所以已知第二次移動后位于2，則第六次移動后位于1的概率為，故D項正確.故選：BCD.12．定義域為的函數(shù)滿足，則（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用賦值法對進行賦值結合函數(shù)的周期可得答案.【詳解】令可得選項正確；令，則，即，則為上的偶函數(shù)；令，則，即①；令，則②，由①②得，即；若，則，與條件不符，故，此時有，因為，所以，B選項錯誤；令，則，即，所以，從而，故為函數(shù)的一個周期，所以選項正確；因為，所以，此時有，則選項正確，故選：ACD. 三、填空題13．某學生在對50位同學的身高（單位：）與鞋碼（單位：歐碼）的數(shù)據(jù)進行分析后發(fā)現(xiàn)兩者呈線性相關，得到經(jīng)驗回歸方程.若50位同學身高與鞋碼的均值分別為，則          .【答案】【分析】利用回歸方程必過樣本中心，代入求解即可.【詳解】因為經(jīng)驗回歸方程為，，所以.故答案為：.14．的展開式中的系數(shù)為          .（用數(shù)字作答）【答案】80【分析】在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于2，求出的值，即可求得含的系數(shù)．【詳解】的展開式的通項公式為，令，求得，可得的系數(shù)為，故答案為：80.15．某校團委組織了一場“承五四精神，譜青春華章”的學生書畫比賽，評出一?二?三等獎作品若干，其中二等獎和三等獎作品數(shù)量相等，高二年級作品分別占.現(xiàn)從獲獎作品中任取一件，記事件“取出一等獎作品”，“取出獲獎作品為高二年級”，若，則          .【答案】【分析】設出一、二、三等獎作品件數(shù)，由可得，進而可求得，結合條件概率公式計算可得結果.【詳解】設一、二、三等獎作品分別有x，y，y件，所以，解得：，所以0.46，所以.故答案為：.16．若，則的取值范圍為          .【答案】【分析】構造函數(shù)研究其在上的單調性，運用其單調性可得，解不等式即可.【詳解】原不等式等價于，令，則不等式等價于，因為，所以當時，，所以在上單調遞減，又因為，所以，即，即，解得或，又因為，所以.故答案為：. 四、解答題17．記為數(shù)列的前項和，且，已知.(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知得為公差為的等差數(shù)列，求得，利用與的關系求得，再利用累乘法即可得到結果.（2）利用等差數(shù)列前項和公式表示出，即可得出，然后利用裂項相消法求得其前項的和，即可得到結論.【詳解】（1）由題意得為公差為的等差數(shù)列，則，即，兩式作差得，即，所以，即，，因為，所以.（2）由題知，，所以，則，當時，有，因為，所以恒成立等價于，從而.18．如圖，在三棱錐中，已知平面，平面平面.  (1)求證：平面；(2)若是的中點，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用面面垂直的性質可得線面垂直；（2）幾何法和向量法都是先根據(jù)線面角求出的長，然后找到二面角的平面角或者利用法向量求解二面角.【詳解】（1）過點作于點，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面，所以，又，平面，所以平面.  （2）幾何法：因為平面，所以，又因為平面，所以為與平面的所成角，令，則，則，解得；因為，且平面平面，所以為的平面角，.  坐標法：因為平面，所以，則以為軸，為軸建立空間直角坐標系，軸，取，則，;設平面的法向量為，由可得：；取，則，平面的一個法向量為，設與平面所成角為，則，解得，此時，則，設平面與平面的夾角為，則.  19．記的內(nèi)角的對邊分別為.已知.(1)求角的大?。?/span>(2)若為線段上的一點，且滿足，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知，利用正弦定理結合輔助角公式可得，從而可得答案；（2）利用正弦定理求得，可得，從而得，再由三角形面積公式可得答案.【詳解】（1）因為由正弦定理可得，因為，所以，則，即，因為.（2）因為，所以，，所以，.    20．某校學生每一年需要進行一次體測，體測包含肺活量?50米跑?立定跳遠等多個項目，現(xiàn)對該校的80位男生的肺活量等級（優(yōu)秀?良好?合格?不合格）進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：身高肺活量等級合計良好和優(yōu)秀不合格和合格低于175公分222244不低于175公分30636合計522880(1)能否有的把握認為男生的身高與肺活量的等級劃分有關聯(lián)？(2)某體測小組由6位男生組成，其中肺活量等級不合格的有1人，良好的有4人，優(yōu)秀的有1人，肺活量等級分按如下規(guī)則計算：不合格記0分，合格記1分，良好記2分，優(yōu)秀記3分.在該小組中隨機選擇2位同學，記肺活量等級分之和為，求的分布列和均值.附：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)有的把握認為男生的身高與肺活量的等級劃分有關聯(lián)(2)分布列見解析， 【分析】（1）計算判斷即可.（2）分析出的可能取值為2、3、4、5，分別計算各自概率即可求得結果.【詳解】（1）零假設：認為男生的身高與肺活量的等級劃分無關聯(lián)，，所以假設不成立，所以我們有的把握認為男生的身高與肺活量的等級劃分有關聯(lián).（2）由題意知，的可能取值為：2、3、4、5.，，，，則的分布列如下：2345所以.21．已知橢圓的左右頂點分別為，上頂點為為橢圓上異于四個頂點的任意一點，直線交于點，直線交軸于點.(1)求面積的最大值；(2)記直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）方法1：設出點M的坐標，計算點到直線的距離，運用輔助角公式轉化為求三角函數(shù)的最大值，進而可求得結果.方法2：聯(lián)立橢圓方程及與平行的直線的方程，令，進而可求得結果.（2）分別求出交點M、Q、P坐標，計算即可.【詳解】（1）方法1：如圖所示，由題意知，，，，設，則，點到直線的距離為：，所以，所以.故△MBD面積的最大值為：.方法2：設與平行的直線，聯(lián)立得，令，顯然當時與橢圓的切點與直線的距離最大，，所以.故△MBD面積的最大值為：.（2）如圖所示，設直線，聯(lián)立得，則點的坐標為，設點為，則，所以，即，所以，聯(lián)立得點的坐標為，所以，，所以.故為定值.【點睛】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略（1）求代數(shù)式為定值．依題設條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．（2）求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形求得．（3）求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得．22．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當時，求函數(shù)的最大值；(2)已知，且滿足，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）運用導數(shù)研究的單調性，進而求得其最大值.（2）同構函數(shù)，轉化為，結合換元法，分別討論與，當時運用不等式性質即可證得結果，當時運用極值點偏移即可證得結果.【詳解】（1）當時，，定義域為，則，，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以.故的最大值為.（2）由題意知，，由可得，所以.令，由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，則，令，又，所以，則①若，則，即，所以；②若，設，且滿足，如圖所示，  則，所以，下證：.令，則，所以在上單調遞增，所以，所以，即，又因為，所以，所以，即，又因為，所以，即.由①②可知，得證.【點睛】極值點偏移問題的方法點睛：(1)(對稱化構造法)構造輔助函數(shù)：對結論型，構造函數(shù)；對結論型，構造函數(shù)，通過研究的單調性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調性證明． 

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