2022-2023學(xué)年山東省聊城市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知全集，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)槿?/span>，，，則，，因此，.故選：D.2．若為離散型隨機(jī)變量，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由方差的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，解得，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．今年2月份教育部教育考試院給即將使用新高考卷的吉林、黑龍江、安徽、云南命制了一套四省聯(lián)考題，測(cè)試的目的是教考銜接，平穩(wěn)過(guò)渡．假如某市有40000名考生參加了這次考試，其數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，總體密度函數(shù)為，且，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)90分的考生人數(shù)約為（    ）A．4000 B．3000 C．2000 D．1000【答案】C【分析】由對(duì)稱(chēng)性計(jì)算概率，進(jìn)而得出所求人數(shù).【詳解】由總體密度函數(shù)解析式可知，，由對(duì)稱(chēng)性可知，，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)90分的考生人數(shù)約為人.故選：C4．設(shè)，，，則、、的大小順序?yàn)椋?/span>    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，即.故選：A.5．若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知，對(duì)于函數(shù)，，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，則，因?yàn)楹瘮?shù)存在極值點(diǎn)，則對(duì)于函數(shù)，，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.6．畢業(yè)季，6位身高全不相同的同學(xué)拍照留念，站成前后兩排各三人，要求每列后排同學(xué)比前排高的不同排法共有（    ）A．40種 B．20種 C．180種 D．90種【答案】D【分析】可看成6位同學(xué)分成3組.【詳解】按列選取，相當(dāng)于6位同學(xué)分成3組，只要選出來(lái)了，讓高的同學(xué)站在后排即可，故種，故選：D.7．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得分別為和圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出圖象可得，再判斷的單調(diào)性，從而可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以為與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得，所以為與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得，所以為與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出和的圖象，則由圖象可得，  因?yàn)?/span>和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：B8．托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問(wèn)題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱(chēng)為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱(chēng)為的全概率．假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球．現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?/span>2個(gè)球．已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)白球的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為個(gè)的事件為，事件的概率為，從乙中取出個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為，事件的概率為，再分別分析三種情況求解即可【詳解】設(shè)從甲中取出個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為個(gè)的事件為，事件的概率為，從乙中取出個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為，事件的概率為，由題意：①，；②，；③，；根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為故選：C 二、多選題9．年月日，搭載神舟十六號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十六運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，航天員乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功．某學(xué)校調(diào)查學(xué)生對(duì)神舟十六號(hào)的關(guān)注與性別是否有關(guān)，隨機(jī)抽樣調(diào)查了名學(xué)生，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得到，依據(jù)表中給出的獨(dú)立性檢驗(yàn)中的小概率值和相應(yīng)的臨界值，作出下列判斷，正確的是（    ）0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828A．零假設(shè)對(duì)神舟十六號(hào)的關(guān)注與性別獨(dú)立B．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為對(duì)神舟十六號(hào)的關(guān)注與性別無(wú)關(guān)C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為對(duì)神舟十六號(hào)的關(guān)注與性別不獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為對(duì)神舟十六號(hào)的關(guān)注與性別獨(dú)立【答案】ACD【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，對(duì)于A選項(xiàng)，零假設(shè)對(duì)神舟十六號(hào)的關(guān)注與性別獨(dú)立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為對(duì)神舟十六號(hào)的關(guān)注與性別不獨(dú)立，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于，B錯(cuò)C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為對(duì)神舟十六號(hào)的關(guān)注與性別獨(dú)立，D對(duì).故選：ACD.10．一箱兒童玩具中有3件正品，2件次品，現(xiàn)從中不放回地任取2件進(jìn)行檢測(cè)．記隨機(jī)變量為檢測(cè)到的正品的件數(shù)，則（    ）A．服從二項(xiàng)分布 B．C． D．最有可能取得的為1【答案】BCD【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算得分布列，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由題意可知的分布列為：012對(duì)于A, 服從超幾何分布，而不是二項(xiàng)分布，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，,故B正確，對(duì)于C，，C正確，對(duì)于D，由于為1時(shí)的概率最大，所以最有可能.D正確故選：BCD11．若、分別為隨機(jī)事件、的對(duì)立事件，，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．若，則【答案】BD【分析】利用條件概率公式逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，但與不一定相等，故不一定等于，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，，所以，事件、獨(dú)立，故，D對(duì).故選：BD.12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．若，則C．的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng) D．若，則【答案】BC【分析】對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析判斷即可；對(duì)于B：構(gòu)建，結(jié)合奇函數(shù)以及單調(diào)性分析判斷；對(duì)于C：求導(dǎo)，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性的定義分析判斷；對(duì)于D：舉反例，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及周期性分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則，可得，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>，則，構(gòu)建，則，可知為奇函數(shù)，且在在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，即，則，所以，整理得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>，兩邊求導(dǎo)得，即，的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)楦鶕?jù)題意無(wú)法得知的單調(diào)性，故無(wú)法比較的大小關(guān)系，例如為奇函數(shù)，為其對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)，此時(shí)，且在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，符合題意，因?yàn)?/span>，則由，得，由周期性可知無(wú)法比較（即）的大小關(guān)系，故D錯(cuò)誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題． 三、雙空題13．能夠說(shuō)明“若，，均為正數(shù)，則”是真命題的一組數(shù)，可以為        ，        ．（寫(xiě)出一組即可）【答案】     1     2（只要滿(mǎn)足即可）【分析】由命題是真命題，得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)槊}“若，，均為正數(shù)，則”是真命題，所以，因?yàn)?/span>，，均為正數(shù)，所以可得，不妨取，.故答案為：1；2. 四、填空題14．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么        ．【答案】/0.5【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.【詳解】由題意可知或，由于，所以，故答案為：15．已知表示一個(gè)三位數(shù)，如果滿(mǎn)足且，那么我們稱(chēng)該三位數(shù)為“凸數(shù)”，則沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為        ．【答案】【分析】分兩種情況討論：①、、中有一個(gè)為；②、、三個(gè)數(shù)都不為零.確定三個(gè)數(shù)字的位置，結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，在、、三個(gè)數(shù)中，最大，分以下兩種情況討論：①若、、中有一個(gè)為，則最大的數(shù)放中間，放在個(gè)位上，另外一個(gè)數(shù)放在百位上，此時(shí)，滿(mǎn)足條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè)；②若、、三個(gè)數(shù)都不為零，則最大的數(shù)放中間，另外兩個(gè)數(shù)分別放在個(gè)位和百位上，此時(shí)，滿(mǎn)足條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為.綜上所述，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.16．已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對(duì)定義域內(nèi)任意的，都滿(mǎn)足．若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是        ．【答案】【分析】利用賦值法可得為偶函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可得最值求解.【詳解】令，則，令，則，去，則，所以為定義域內(nèi)的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，由得，因此存在，使，當(dāng)，則，記，，則，故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極大值也是最大值單調(diào)遞減，所以，由于的定義域?yàn)?/span>，所以，故解得故答案為：【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別． 五、解答題17．病毒感染是指病毒通過(guò)多種途徑侵入機(jī)體，并在易感的宿主細(xì)胞中增殖的過(guò)程．如果一個(gè)宿主感染了病毒并且在剛出現(xiàn)不良反應(yīng)時(shí)就對(duì)癥下藥，在用藥小時(shí)后病毒的數(shù)量為（細(xì)菌個(gè)數(shù)的單位：百個(gè)）(1)求曲線點(diǎn)在處的切線方程；(2)求細(xì)菌數(shù)量超過(guò)14（百個(gè)）的時(shí)間段．【答案】(1)(2)細(xì)菌數(shù)量超過(guò)14百個(gè)的時(shí)間段是 【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；（2）分段討論，解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，．故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）當(dāng)時(shí)，由，解得，所以；當(dāng)時(shí)，由，解得，綜上所述，即細(xì)菌數(shù)量超過(guò)14百個(gè)的時(shí)間段是．18．已知（，且）．(1)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，并給出證明；(2)求函數(shù)的值域．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）由定義判斷的奇偶性，方法一：由單調(diào)性的定義證明即可；方法二：利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性；（2）由基本不等式得出值域.【詳解】（1），因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，，所以為奇函數(shù)．（方法一）設(shè)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，，所以，故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，，所以，故為減函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)．（方法二），當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，又，所以，故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，又，所以，故為減函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)．（2）．因?yàn)?/span>，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又時(shí)，，所以的值域?yàn)?/span>．19．已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．(1)求項(xiàng)的系數(shù)；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2)1. 【分析】（1）由題意可得，從而可求，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解即可；（2）令即可求解.【詳解】（1）因?yàn)檎归_(kāi)式中第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得．所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，．令，則，所以項(xiàng)的系數(shù)為．（2）由（1）知，，由，令，得，所以．20．天氣越來(lái)越熱，某冷飲店統(tǒng)計(jì)了近六天每天的用電量和對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)售額，目的是了解二者之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表：用電量（千瓦時(shí)）47891412銷(xiāo)售額（百元）(1)該冷飲店做了一次摸獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，在一個(gè)口袋里放有大小、質(zhì)地完全相同的個(gè)紅色雪花片和個(gè)白色雪花片．若有放回地從口袋中每次摸取個(gè)雪花片，連續(xù)摸兩次，兩次摸到的雪花片顏色不同定為一等獎(jiǎng)，兩次摸到的雪花片顏色相同定為二等獎(jiǎng)，試比較中一等獎(jiǎng)和中二等獎(jiǎng)的概率的大?。?/span>(2)已知兩個(gè)變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)用最小二乘法求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，據(jù)此能否預(yù)測(cè)明年同時(shí)期用電量為千瓦時(shí)的銷(xiāo)售額？如果能，計(jì)算出結(jié)果；如果不能，請(qǐng)說(shuō)出理由．參考公式：，．相關(guān)數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)中二等獎(jiǎng)的概率大(2)，不能，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）計(jì)算出兩次摸到的雪花片顏色不同的概率和兩次摸到的雪花片顏色相同的概率，比較大小后可得出結(jié)論；（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式結(jié)合參考數(shù)據(jù)可求得，進(jìn)而可求得的值，根據(jù)可求得的值，可得出，由此可得出回歸直線方程，再結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程有時(shí)效性可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：兩次摸到的雪花片顏色不同的概率為，兩次摸到的雪花片顏色相同的概率為，顯然，所以中二等獎(jiǎng)的概率大．（2）解：依題意可得，所以，由于，所以，所以，因?yàn)?/span>，，所以，則，所以，所以，回歸方程為．因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程有時(shí)效性，即冷飲受溫度影響較大，明年的這個(gè)時(shí)期的溫度不一定和現(xiàn)在相同，故不能用今年求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程估算明年的情況．21．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球打比賽，約定：①每贏一球得1分；②采用三球換發(fā)制，即每比賽三班交換發(fā)球權(quán)．假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率是，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率是，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．根據(jù)抽簽結(jié)果決定，甲先發(fā)球．(1)用表示比賽三球后甲的得分，求的分布列和均值；(2)求比賽六球后甲比乙的得分多的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望為(2) 【分析】（1）由題意得的所有可能取值是0，1，2，3，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出的分布列和均值；（2）設(shè)“比賽六球后甲比乙的得分多”，“比賽六球后甲得6分，乙得0分”，“比賽六球后甲得5分，乙得1分”，“比賽六球后甲得4分，乙得2分”，則，且，，兩兩互斥，然后求出根據(jù)題意求出，，的概率，再利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得的所有可能取值是0，1，2，3．則，，，，所以的分布列為0123的均值．（或因?yàn)?/span>，所以．）（2）設(shè)“比賽六球后甲比乙的得分多”，“比賽六球后甲得6分，乙得0分”，“比賽六球后甲得5分，乙得1分”，“比賽六球后甲得4分，乙得2分”，則，且，，兩兩互斥．因?yàn)?/span>，，，所以．所以比賽六球后甲比乙的得分多的概率為．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：．【答案】(1)最大值為0，最小值為(2)的取值范圍為，證明見(jiàn)解析 【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間最后求出最值即可；（2）先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出參數(shù)的范圍，再設(shè)，把二元不等式轉(zhuǎn)化為一元，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，．由，得；由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>，，，，所以在區(qū)間上的最大值為0，最小值為．（2）．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，所以，由，得，所以在上單調(diào)遞增；由，得，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為．為滿(mǎn)足題意，必有，得．又時(shí)，，時(shí)，，所以的取值范圍為．因?yàn)?/span>，是的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，，兩式相減得．設(shè)，要證，只需證，即證．設(shè)，只需證，設(shè)，則，∴在上為增函數(shù)，從而，所以成立，從而．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是設(shè)，把二元不等式轉(zhuǎn)化為一元，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解即得. 

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