2022-2023學年四川省成都市高二下學期期末零診測試數(shù)學（理）試題 一、單選題1．設集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再求兩集合的交集即可.【詳解】由，得，解得，所以，因為，所以，故選：C2．命題“，”的否定為（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.【詳解】由題意得，“，”的否定為，,故選：B3．雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出、的值，即可得出所求雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值為4，則輸入的的值為（    ）  A． B． C．2 D．16【答案】D【分析】根據(jù)條件結(jié)構(gòu)，即可分類討論求解.【詳解】若，則，此時不滿足，不符合要求，故舍去，若，此時不滿足，符合要求，故，故選：D5．若實數(shù)，滿足，則的最大值為（    ）A．0 B．6 C．7 D．9【答案】D【分析】先作可行域，再作直線，平移直線確定最優(yōu)解，然后可得.【詳解】根據(jù)題意作可行域如圖，  作直線，由圖可知，平移直線到位置，即過點時，取得最大值.解方程組得，代入，.故選：D.6．全國文明典范城市是以全國文明城市為基礎的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”.為爭創(chuàng)全國文明典范城市，某城市特邀請甲、乙兩組評委分別從公共服務、文化，建設社會治理等10個不同維度對城市建設進行評分，每個維度滿分為10分.現(xiàn)將兩組評委的評分制成如下的莖葉圖，其中莖葉圖中莖部分是得分的個位數(shù)，葉部分是得分的小數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）  A．甲組評分的平均數(shù)小于乙組評分的平均數(shù) B．甲、乙兩組評分的中位數(shù)不相同C．甲組評分的極差大于乙組評分的極差 D．甲組評分的眾數(shù)小于乙組評分的眾數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)莖葉圖先寫出甲乙兩組數(shù)據(jù)，然后分別計算這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，眾數(shù)，極差，平均數(shù).【詳解】甲的數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為.A選項，甲的平均數(shù)為：，乙的平均數(shù)為：，甲的平均數(shù)小，A選項正確；B選項，甲的中位數(shù)為：，乙的中位數(shù)為：，甲乙中位數(shù)一樣，B選項錯誤；C選項，甲的極差為，乙的極差為，甲的極差更小，C選項錯誤；D選項，甲的眾數(shù)為，乙的眾數(shù)為，甲的眾數(shù)更大，D選項錯誤.故選：A7．如圖，在正方體中，已知E，F，G，H，分別是，，，的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（    ）  A．C，G，，F四點共面 B．直線平面C．平面平面 D．直線EF和HG所成角的正切值為【答案】C【分析】根據(jù)線線平行即可判斷A，根據(jù)面面平行得線面平行即可判斷B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得矛盾判斷C，根據(jù)異面直線的幾何法找到其角，即可由三角形邊角關系求解D.【詳解】取中點，連接,由于是的中點，在正方體中可知,又，所以四邊形為平行四邊形，故,因此，故C，G，，F四點共面，故A正確，,  取中點，連接,由于均為中點，所以平面，平面，所以平面,同理平面,平面,所以平面平面，平面，故直線平面，B正確，  假若平面平面，則平面平面，平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得平面，顯然這與與相交矛盾，故C錯誤，  由于，所以,故為直線EF和HG所成角或其補角，不妨設正方體的棱長為，則，由于底面，平面，所以,故,直線EF和HG所成角的正切值為，D正確.故選：C.8．函數(shù)的零點個數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先對函數(shù)化簡得，然后分和兩種情況，利用導數(shù)和零點存在性定理討論函數(shù)的零點即可.【詳解】，①當時，，則，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以在上的最小值為，因為，，所以在和上各有一個零點，②當時，，則，所以在上遞增，因為，，所以在上有一個零點，綜上，共有3個零點，故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查導數(shù)的應用，考查零點存在性定理的應用，解題的關鍵是利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合零點存在性定理確定函數(shù)的零點，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.9．七巧板又稱七巧圖，智慧板，是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具.據(jù)清代陸以湉《冷廬雜識》說：“宋黃伯思宴幾圖，以方幾七，長段相參，衍為二十五體，變?yōu)榱嗣?/span>.明嚴澈蝶幾圖，則又變通其制，以勾股之形，作三角相錯形，如蝶翅.其式三，其制六，其數(shù)十有三，其變化之式，凡一百有余.近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余.體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之.”如圖是一個用七巧板拼成的三角形（其中①②為兩塊全等的小型等腰直角三角形；③為一塊中型等腰直角三角形；④⑤為兩塊全等的大型等腰直角三角形；⑥為一塊正方形；⑦為一塊平行四邊形）.現(xiàn)從該三角形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（    ）    A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，通過對圖形的各點標記，以及各塊幾何圖的性質(zhì),進行邊長運算即可得出結(jié)論.【詳解】如圖，      為等腰直角三角形， 連接,由題可知， 分別為的中點，設，則,, , ,則,陰影部分②的面積為,陰影部分⑦的面積為則從該三角形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為，故選：B.10．已知直線 和圓，則“”是“圓上恰有三個不同的點到直線的距離為1”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，結(jié)合直線與圓心的距離范圍即可求解.【詳解】圓的方程可化為，其圓心坐標為，半徑為，當時，直線，圓心到直線的距離，此時圓上恰有三個不同的點到直線的距離為1，故充分性成立；當圓上恰有三個不同的點到直線的距離為1時，圓心到直線的距離，所以，解得，故必要性成立，所以“”是“圓上恰有三個不同的點到直線的距離為1”的充要條件.故選：C.11．記函數(shù)的導函數(shù)為，若為奇函數(shù)，且當時恒有成立，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得，所以構(gòu)造函數(shù)，求導后可判斷出在上單調(diào)遞增，然后利用函數(shù)的單調(diào)性逐個分析判斷即可.【詳解】由，得，因為，所以所以，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，對于A，因為，所以，所以，，所以，所以A錯誤，對于C，因為，所以，所以，，所以，因為為奇函數(shù)，所以，所以， 所以C錯誤對于BD，因為，所以，所以，，所以，因為為奇函數(shù)，所以，所以B正確，D錯誤，所以D錯誤，故選：B【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，解題的關鍵是對已知條件變形，然后構(gòu)造函數(shù)，求導后判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性分析，考查數(shù)學計算能力，屬于較難題.12．如圖①，已知邊長為的等邊，點分別為邊的中點.現(xiàn)以為折痕將折起為四棱錐，使得，如圖②，則四棱錐的外接球的表面積為（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點，結(jié)合等腰三角形三線合一性質(zhì)、余弦定理和勾股定理可分別證得，，從而得到平面；根據(jù)可知為梯形外接圓圓心，設外接圓圓心為，由球的性質(zhì)可確定球心位置，根據(jù)長度關系可得半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】取中點，連接，分別為中點，，，是邊長為的等邊三角形，是邊長為的等邊三角形，為中點，，，即，；，，，，，，平面，平面，，，為等邊三角形，，同理可得：，，為梯形的外接圓圓心，設的外接圓圓心為，則，分別過作的平行線，交于點，則點即為四棱錐的外接球球心，即為外接球半徑，  ，，四棱錐的外接球表面積.故選：C.【點睛】關鍵點睛；本題考查立體幾何中的多面體外接球相關問題的求解，解題關鍵是能夠根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直關系確定外接球球心的位置，從而根據(jù)長度關系求得外接球半徑. 二、填空題13．已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位）)，則      ．【答案】【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的公式計算得答案．【詳解】，因此，.故答案為：.14．第31屆世界大學生夏季運動會將于2023年7月28日—8月8日在成都舉行，比賽項目包括15個必選項目和武術、賽艇、射擊3個自選項目，共18個大項，269個小項.小張、小王、小李三位大學生在談論自己是否會武術、賽艇、射擊3個自選項目時，小張說：我和小王都不會賽艇；小王說：我會的自選項目比小張多一個；小李說：三個自選項目中我們都會的項目只有一項，但我不會射擊.假如他們?nèi)硕颊f的是真話，則由此可判斷小張會的自選項目是          （填寫具體項目名稱）.【答案】武術【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三人都說的是真話，利用表格的形式，即可求解.【詳解】由題意，如圖下表所示：若他們?nèi)硕颊f的是真話，可得小張會武術，小王會武術和射擊，小李會武術.故答案為：武術. 武術賽艇射擊小張會不會 小王會不會會小李會 不會15．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，兩點，若點在以為直徑的圓上，則直線的方程為          .【答案】【分析】設直線為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，依題意點在以為直徑的圓上，所以，則，即可求出，從而得解.【詳解】拋物線的焦點，顯然直線的斜率存在且不為，設直線為，，，由，消去整理得，，所以，，因為點在以為直徑的圓上，所以，則，即，即，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：16．一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點和點，則的值為          .【答案】2【分析】分別求得函數(shù)和在點和點處的切線方程，由條件可得的關系，化簡可得結(jié)論.【詳解】因為，所以，則在點處的切線方程為：，即；在點處的切線方程為：，即，由已知，則 ，解得，又，所以，所以，故答案為：. 三、解答題17．記函數(shù)的導函數(shù)為，已知，.(1)求實數(shù)的值；(2)求在的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得，根據(jù)，列出方程，即可求解；（2）由（1）得，求得的單調(diào)區(qū)間和最值，即可求得函數(shù)的值域.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因為，可得，解得.（2）解：由（1）得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，又由，，，，所以，，所以函數(shù)在的值域為.18．某種產(chǎn)品的價格（單位：萬元/噸）與需求量（單位：噸）之間的對應數(shù)據(jù)如下表所示，121110985681011(1)已知可用線性回歸模型擬合與的關系，求關于的線性回歸方程；(2)請預測當該產(chǎn)品定價為6萬元時需求量能否超過15噸？并說明理由.參考公式：，.【答案】(1)(2)不超過，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)的公式中，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入公式，求出的值，即可得到線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）所求的線性回歸方程，把代入線性回歸方程，即可解.【詳解】（1）由題意得，.因為，，所以，，所以關于的線性回歸方程為.（2）當時，.所以當該產(chǎn)品定價為6萬元時需求量不超過15噸.19．如圖，在直三棱柱中，，.  (1)求證：平面；(2)若，分別為棱，上的動點，且.當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由線面垂直的判定即可證明；（2）設，則，則，根據(jù)基本不等式得，此時，分別為棱，的中點.再建立空間直角坐標系，用空間向量法即可求解.【詳解】（1）如圖，連接.，直三棱柱中四邊形為正方形..又，，，平面，平面.平面，.又，，，平面，平面.（2）由題意設，則..（當且僅當時取等號），，此時，分別為棱，的中點.以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，可得，.設平面的一個法向量為.由得，令，得.又平面的一個法向量為.設二面角的平面角為.，結(jié)合圖形，易知二面角為銳角.二面角的余弦值為.  20．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到其左、右焦點的距離之和為4.(1)求橢圓的方程；(2)設過左焦點的直線與橢圓相交于，兩點，為的中點，為坐標原點，若橢圓上存在點滿足，求四邊形面積的最小值及此時的值.【答案】(1)(2)當時，四邊形面積最小值為3 【分析】（1）利用橢圓離心率公式與定義求得，從而得解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得到，，從而求得關于的表達式，再利用得到，從而得解.【詳解】（1）橢圓的離心率為，且橢圓上的點到其左、右焦點距離之和為4，且，解得，，，，橢圓的標準方程為.（2）由題意知，直線的斜率為0時顯然不成立，  設直線的方程為，，，由消去，得，顯然，則，，，，為的中點，，，，又點在橢圓上，則，解得，，，四邊形的面積，，（當且僅當時取等號），當時，四邊形面積最小值為3，【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解，21．已知函數(shù)，其中.(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，若恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)1 【分析】（1）代入，求導分析導函數(shù)的正負區(qū)間即可；（2）參變分離可得，再構(gòu)造函數(shù)求導可得，再構(gòu)造，求導結(jié)合零點存在性定理可得，進而可得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）當時，函數(shù)定義域為，.由，解得；由，解得.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意當時，，整理得.令函數(shù).則.令，則.當時，恒成立.在單調(diào)遞增.又，，，使得，即.時，；時，.在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.令函數(shù).則.在單調(diào)遞增..又，而，.又，.整數(shù)的最大值為1.【點睛】方法點睛：本題主要考查了利用導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時也考查了構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點存在性定理，進而確定函數(shù)在區(qū)間上最值的范圍問題.需要根據(jù)題意參變分離，構(gòu)造函數(shù)求導，設極值點，再確定零點所在區(qū)間，進而代入原函數(shù)可得極值范圍.屬于難題.22．在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設曲線與曲線相交于，兩點.(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；(2)已知點，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關系，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換．（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用求出結(jié)果．【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線的的普通方程為.，，化簡得曲線的直角坐標方程為.（2）由題意得曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.將其代入，得..設，兩點對應的參數(shù)分別為，.則，.則，為一正一負，. 

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