2022-2023學(xué)年陜西省西安市西咸新區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．設(shè)全集，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)槿?/span>，集合，所以，又，所以，故選：A.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先寫出復(fù)數(shù)，再得到其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，所以.故選：A3．已知向量，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的共線的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，因?yàn)?/span>，可得，解得．故選：C.4．已知某同學(xué)投籃一次的命中率為，連續(xù)兩次均投中的概率是，若該同學(xué)在投中一次后，隨后一次也投中的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合題設(shè)及條件概率公式求條件概率即可.【詳解】若為第次投籃并投中，則，，所以.故選：B5．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（    ）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，求首項(xiàng)和公比，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，，所以.故選：A.6．某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有（    ）A．64種 B．48種 C．32種 D．16種【答案】B【分析】對(duì)選修3門分類討論再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)從8門課中選修3門，4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故選：B.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（    ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D. 8．“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先分別化簡(jiǎn) “”和“”，進(jìn)而得到二者間的邏輯關(guān)系.【詳解】由，可得；由，可得；則“”是“”的充分不必要條件.故選：A9．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中是最小值，是最大值，則（    ）A．，，，的平均數(shù)等于，，…，的平均數(shù)B．，，，的中位數(shù)等于，，…，的中位數(shù)C．，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不小于，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差D．，，，的極差大于，，…，的極差【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>是最小值，是最大值，則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：B.10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，是指在下雨時(shí)可以用圓臺(tái)形的盆接雨水來(lái)測(cè)量降雨量.若一個(gè)圓臺(tái)形盆的上口直徑為40cm，盆底直徑為20cm，盆深20cm，某次下雨盆中積水10cm，則這次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的體積除以盆口面積）（    ）A．3.4cm B．3.8cm C．4.0cm D．5.8cm【答案】C【分析】先求得盆中水的體積和盆口面積，進(jìn)而求得這次降雨量的值.【詳解】該圓臺(tái)形盆的中截面半徑為（cm）盆中水的體積為，盆口面積為，則這次降雨量為（cm）故選：C11．一幾何體的平面展開圖如圖所示，其中四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，在此幾何體中，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．直線與直線異面B．直線與直線異面C．直線平面D．直線平面【答案】B【分析】由可得共面即可判斷B選項(xiàng)；又面，面，即可判斷A選項(xiàng)；由線面平行的判定即可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐，如圖所示，連接，易得，則，故共面，則共面，故B錯(cuò)誤；又面，面，不在直線上，則直線與直線異面，A正確；由，平面，平面，則直線平面，C正確；平面，平面，則直線平面，D正確.故選：B.12．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于，，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，可判斷的大小，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，可判斷的大小，從而可得結(jié)果.【詳解】，，，令（），則，所以在上遞增，所以，所以，即，所以，令（），則，因?yàn)?/span>，所以，所以在上遞減，所以，所以，即，即，綜上，，故選：D 二、填空題13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則        ．【答案】【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以.故答案為：14．已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則      ．【答案】【分析】由的奇偶性可得，代入函數(shù)解析式列出等式求解，即可求得.【詳解】因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以，，即，解得.故答案為：.15．若函數(shù)在區(qū)間只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最小值為      .【答案】4【分析】求導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在只有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，分離參數(shù)，由數(shù)形結(jié)合求得最值.【詳解】，則，若在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在上只有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，即方程在上只有一個(gè)根，所以在上只有一個(gè)解，記，，作出函數(shù)的圖象，  由數(shù)形結(jié)合知，若使函數(shù)與在上只有一個(gè)交點(diǎn)，只需，則，所以實(shí)數(shù)a的最小值為4.故答案為：4. 三、雙空題16．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為P，則      ，直線的斜率為      .【答案】     2     【分析】先根據(jù)雙曲線的方程求出和漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出，過(guò)作軸于，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出直線的斜率.【詳解】由，得，漸近線方程為，所以，所以，，由雙曲線的對(duì)稱性，點(diǎn)到兩漸近線的距離相等，不妨取漸近線，則，在直角中，，過(guò)作軸于，則，所以，所以或，所以直線的斜率為或，故答案為：2， 四、解答題17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．(1)求角B的大?。?/span>(2)若，，求△ABC的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理化邊為角后，再由同角關(guān)系求解；（2）由余弦定理求得，再由三角形面積公式計(jì)算．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，可得，∵，∴．（2）∵，，，∴，即，∴，∴．18．推進(jìn)垃圾分類處理是落實(shí)綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié)，為了解居民對(duì)垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會(huì)隨機(jī)抽取500名社區(qū)居民參與問卷測(cè)試，并將問卷得分繪制成頻數(shù)分布表如下：得分男性人數(shù)22436067533015女性人數(shù)12234054512010(1)將居民對(duì)垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）兩類，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“居民對(duì)垃圾分類的了解程度"與"性別"有關(guān)? 不太了解比較了解總計(jì)男性   女性   總計(jì)   (2)從參與問卷測(cè)試且得分不低于80分的居民中，按照性別進(jìn)行分層抽樣，共抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人組成一個(gè)環(huán)保宣傳隊(duì)，求環(huán)保宣傳隊(duì)中女性人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望附：，其中.0.150.100.050.0250.100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有90%的把握認(rèn)為“居民對(duì)垃圾分類的了解程度”與“性別”有關(guān).(2) 【分析】（1）完善2×2列聯(lián)表，計(jì)算，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣可知，男性抽3人，女性抽2人，所以X的可能取值有0，1，2，再計(jì)算X的各個(gè)取值的概率即可得分布列，由期望公式可得期望.【詳解】（1）由題意得完成的2×2列聯(lián)表如下： 不太了解比較了解總計(jì)男性125165290女性75135210總計(jì)200300500∵，∴有90%的把握認(rèn)為“居民對(duì)垃圾分類的了解程度”與“性別”有關(guān).（2）由題意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人∴X可取的值為0，1，2，∴，，.X的分布列為：X012P∴.19．如圖，在長(zhǎng)方形中，，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見詳解(2) 【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得到平面，進(jìn)而得到平面，利用線面垂直的性質(zhì)進(jìn)而得證；（2）記交于點(diǎn)，連接，得到為與平面所成的角，在直角三角形中進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，,,，平面，平面，平面，，又，可得,，平面，平面. 平面，.（2）記交于點(diǎn)，連接，由（1）得平面，所以為斜線在平面上的射影，為與平面所成的角.      在長(zhǎng)方體中，,，在中，，，    .直線與平面所成角的正弦值為.20．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)且在第一象限.已知為等腰三角形，且.(1)求的離心率；(2)若的周長(zhǎng)為10，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)三角形各邊的關(guān)系與間的關(guān)系求解即可；（2）結(jié)合（1）根據(jù)橢圓的定義可得橢圓方程，再根據(jù)等面積法求得的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得【詳解】（1）由題意可知，，所以，得，即的離心率為；（2）的周長(zhǎng)為，即，，所以得，所以，所以橢圓方程，設(shè)，則在中，，所以，得邊的高為，因?yàn)?/span>在第一象限，所以，得，代入橢圓方程得，得，所以.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若，，求a的取值范圍.【答案】(1)0(2) 【分析】（1）代入值，直接求導(dǎo)得，討論其單調(diào)性即可得到最值；（2）分，和，結(jié)合零點(diǎn)存在定理討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）由，得，根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)的結(jié)論易知在上單調(diào)遞減.①由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，符合題意.②當(dāng)時(shí)，，，所以存在時(shí)，使得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，不符題意，舍去.③當(dāng)時(shí)，，，所以存在，使得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，.令，則，故在上單調(diào)遞減，所以，故，符合題意.綜上所述，a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵在于對(duì)進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，在尋找右邊界時(shí)，需要代入一個(gè)特殊的值，即，根據(jù)的范圍則可判斷其符號(hào)，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)單調(diào)性證明，從而排除此類情況，當(dāng)時(shí)，依然計(jì)算，得到，再構(gòu)造新函數(shù)求出右邊的值域即可.22．已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)間的距離．【答案】(1)，(2)． 【分析】（1）根據(jù)消去參數(shù)得到曲線的普通方程，再由，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求出圓心到直線的距離，即可求出弦長(zhǎng).【詳解】（1）由于曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則消去參數(shù)，可得．由于直線的極坐標(biāo)方程為，且，，則直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）由（1）可知，圓的圓心為，半徑為3，則圓心到直線的距離為，所以．23．已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若的最小值為，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分類討論求解不等式即可；（2）根據(jù)題意得到，從而得到，結(jié)合“1”妙用，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題知：，即所以，，.綜上：，所以的解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為. 

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