2022-2023學(xué)年陜西省西安市西咸新區(qū)涇河新城第一中學(xué)高二下學(xué)期5月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知點的極坐標(biāo)為，則點的直角坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】由，可得點的直角坐標(biāo)為.故選：A.2．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則t與s的大小關(guān)系是（    ）A．s≥t B．s>tC．s≤t D．s<t【答案】A【解析】由做差，然后對差式進行配方可得結(jié)果.【詳解】故選：A.【點睛】本題主要考查做差法比較大小，關(guān)鍵是對做差以后的式子進行化簡.3．不等式的解集是（　?。?/span>A．或 B．或C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法，直接求解即可．【詳解】因為，所以或，解得或，所以不等式的解集是或，故選：C．4．設(shè)，且，則必有A． B． C． D．【答案】B【解析】由 且可得；由且可得【詳解】（1） （當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立） 又且 則得 （2） （當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立） 又且 則得 綜上故選：B【點睛】本題考查利用基本不等式的變形比較不等式大小.熟記幾個重要的不等式，可快速判斷. , , , ,(以上不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立)5．若實數(shù)，則的最小值為（   ）A．1 B．6 C．11 D．【答案】D【分析】利用柯西不等式進行判斷即可．【詳解】解：，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的最小值；故選：D.6．不等式的解集為A． B． C． D．【答案】B【分析】分三種情況討論：，以及，去絕對值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集.【詳解】當(dāng)時，成立，此時；當(dāng)時，，解得，此時；當(dāng)時，，原不等式不成立.綜上所述，不等式的解集為，故選B.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，常用零點分段法，利用取絕對值進行分段討論，進而求解不等式，也可以采用絕對值的幾何意義來進行求解，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.7．已知點的極坐標(biāo)是，則過點且垂直極軸的直線方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，求出直線的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程．【詳解】的直角坐標(biāo)是，∴過且與極軸垂直的直線的直角坐標(biāo)方程為，其極坐標(biāo)方程為，即．故選：C．【點睛】本題考查求直線的極坐標(biāo)方程，解題時利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化求解．8．直線與圓的位置關(guān)系是（    ）．A．相交但不過圓心 B．相交且過圓心 C．相切 D．相離【答案】C【分析】直線化為直角坐標(biāo)方程，圓化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線距離，與半徑比較即可得結(jié)論.【詳解】解：直線可化成, 所以，,即，圓可化成,即，所以，圓心到直線的距離，所以圓與直線相切．故選：．9．已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用絕對值三角不等式可求得最小值，由此可得的范圍.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，若在上恒成立，則，即的取值范圍為.故選：A.10．設(shè)曲線的參數(shù)方程為，直線的方程，則曲線上到直線的距離為的點的個數(shù)為（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】將圓C化為普通方程，計算圓心到直線l的距離，通過比較所求距離與的關(guān)系即可得到滿足條件的點的個數(shù)．【詳解】化曲線C的參數(shù)方程為普通方程：，圓心到直線的距離，所以直線和圓相交，過圓心和l平行的直線和圓的2個交點符合要求，與l平行且與圓相切的直線和圓的一個交點符合要求，故有3個點符合題意，故選C【點睛】解決這類問題首先把曲線C的參數(shù)方程為普通方程，然后利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系得出結(jié)論．11．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.當(dāng)與有兩個公共點時，實數(shù)的取值范圍為（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得曲線的普通方程、曲線的直角坐標(biāo)方程，利用點到直線的距離公式求得的取值范圍.【詳解】，，兩邊平方相加得，所以表示圓心為，半徑為的圓的下半部分.，，，即，依題意，與有兩個公共點，所以，，兩邊平方得，解得，結(jié)合圖象可知.故選：D12．騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，下圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點為后輪上的一點，則在騎行該自行車的過程中，的最大值為（    ）A． B．12 C． D．3【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，分別表達出和，即可計算出的最大值【詳解】解：由題意建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示：則，，，∵圓（后輪）的半徑為∴圓設(shè)∴，∴當(dāng)即，時最大，∴最大值為故選：A. 二、填空題13．已知橢圓的參數(shù)方程為，則該橢圓的離心率為       .【答案】/0.6【分析】根據(jù)給定的參數(shù)方程求出橢圓的長短半軸長，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，橢圓的長半軸長，短半軸長，則該橢圓半焦距，所以該橢圓的離心率.故答案為：14．若，，，則的大小關(guān)系是        ．【答案】/【分析】應(yīng)用分析法及不等式的性質(zhì)判斷的大小關(guān)系.【詳解】要證，需證，平方后化簡得，即證即證，即證，顯然成立，所以.故答案為：15．不等式的解集為          ．【答案】【分析】分，，三種情況討論，即可求出結(jié)果．【詳解】當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時，原不等式可化為，顯然不成立；綜上，原不等式的解集為．故答案為：．16．如圖，正三棱錐中，，，兩兩互相垂直，，設(shè)點是內(nèi)一點，現(xiàn)定義，其中，，分別是三棱錐，，的體積，若，則的最小值為          .【答案】【詳解】由題中定義可得，三棱錐的體積為，且：，據(jù)此有：，即，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上可得的最小值為.點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤． 三、解答題17．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程（2）求曲線與交點的極坐標(biāo)（）【答案】（1）  （2），.【分析】（1）利用 對原方程進行化簡，即可求出結(jié)果；（2）聯(lián)立，的直角坐標(biāo)方程解得交點的直角坐標(biāo)，在將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)即可.【詳解】（1）的極坐標(biāo)方程為：.（2）的直角坐標(biāo)方程為：.聯(lián)立，的直角坐標(biāo)方程解得交點的直角坐標(biāo)為和，化為極坐標(biāo)為，.【點睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題.18．已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)若的最大值為，且正數(shù)，滿足，求的最小值．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）分類討論去掉絕對值號求解；（2）根據(jù)絕對值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，恒成立．當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，解得．當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，無解．綜上所述，不等式的解集為．（2）由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，得．，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為3．19．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是．(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；(2)若，直線與曲線交于兩點，是線段的中點，求的值．【答案】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為；(2). 【分析】（1）根據(jù)可得曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)可得直線的普通方程；（2）寫出直線的參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義及韋達定理求解.【詳解】（1）由（為參數(shù)），得，即，則曲線的直角坐標(biāo)方程為．由，得，則直線的普通方程為．（2）由題意可得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得．設(shè)A，B，M對應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，，從而，故．20．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，解不等式；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ），去掉絕對值符號，然后求解不等式即可．（Ⅱ）依題意，問題等價于關(guān)于的不等式恒成立，，利用絕對值的幾何意義轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】（Ⅰ），可轉(zhuǎn)化為或或，解得或或無解，所以不等式的解集為． （Ⅱ）依題意，問題等價于關(guān)于的不等式恒成立，即，又，當(dāng)時取等號．所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是．【點睛】解絕對值不等式的基本方法有零點分段討論法、圖像法（或幾何法）、平方法等，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數(shù)式的正負，而利用圖像法（或幾何法）求解時注意圖像的正確刻畫．21．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）在圓上取兩點，使得，點與直角坐標(biāo)原點構(gòu)成，求面積的最大值．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）將極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用圓心到直線的距離等于半徑得到答案.（Ⅱ）將圓方程化為極坐標(biāo)方程，，，，計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）由得，化為直角坐標(biāo)方程為，又圓C是圓心為，半徑為r的圓，直線與曲線C相切，可得：． （Ⅱ）由（Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程為，不妨設(shè)，，則，當(dāng)時，，所以面積的最大值為．【點睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，面積的最大值，利用極坐標(biāo)方程可以簡化運算.22．已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)樽C明：，利用基本不等式可證得，從而得到結(jié)論；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可將式轉(zhuǎn)化為，在取等條件一致的情況下，可得結(jié)論.【詳解】（1）    當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即：（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立）又    【點睛】本題考查利用基本不等式進行不等式的證明問題，考查學(xué)生對于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立. 

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