2022-2023學(xué)年江蘇省南通市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解出集合，利用交集的定義可求得集合【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，.故選：C.2．若復(fù)數(shù)，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，所以，故選：B.3．從5件不同的禮物中選出3件分別送給3名同學(xué)，則不同的送法共有（    ）A．240種 B．125種 C．120種 D．60種【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】由題意可知,故選：D4．若一組數(shù)據(jù)1，1，，4，5，5，6，7的25百分位數(shù)是2，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可．【詳解】這組數(shù)據(jù)為：1，1，，4，5，5，6，7因?yàn)?/span>，所以這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為從小到大的順序的第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)，因此，這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為，所以．故選：C．5．已知P是所在平面外一點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】推導(dǎo)出，利用空間向量的減法結(jié)合空間向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則，所以，，又因?yàn)?/span>，且、、不共面，則，，故，，故選：A.6．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出和，然后與比較大小判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，所以.故選：D.7．已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓臺，截得上、下兩部分的體積之比為，則截面半徑為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓臺上、下底面圓的圓心分別為、，將圓臺還原為圓錐，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，設(shè)截面圓的圓心為，設(shè)圓、圓、圓的半徑分別為、、，設(shè)圓臺的體積為，利用兩相似圓錐的體積比等于這兩圓錐的底面半徑比的立方可求得截面圓的半徑.【詳解】設(shè)圓臺上、下底面圓的圓心分別為、，將圓臺還原為圓錐，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，設(shè)截面圓的圓心為，設(shè)圓、圓、圓的半徑分別為、、，則，，設(shè)圓錐、圓錐、圓錐的體積分別為、、，因?yàn)?/span>，則，所以，，設(shè)圓臺的體積為，即，所以，，由題意可知，圓臺的體積為，所以，，所以，，又因?yàn)?/span>，則，因此，.故選：A.8．已知函數(shù)若函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的范圍，又即可將問題轉(zhuǎn)化為， 共有四個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，則或，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，則，故問題轉(zhuǎn)為， 共有四個(gè)零點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下可知：則，故選：D   二、多選題9．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設(shè)令，利用賦值法可判斷ACD選項(xiàng)；利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可判斷B選項(xiàng).【詳解】令.對于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，的展開式通項(xiàng)為，令，可得，則，B對；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，，所以，，D錯(cuò).故選：BC.10．已知正方體，則（    ）A．平面平面 B．平面C．與所成角為 D．與平面所成角為【答案】ABC【分析】根據(jù)平面，平面，由面面平行的判定可證得A正確；由線面垂直性質(zhì)可分別證得，，由線面垂直的判定可證得B正確；由平行關(guān)系可知所求角為，由長度關(guān)系可知C正確；由線面角定義可知所求角為，由長度關(guān)系可知D錯(cuò)誤.【詳解】對于A，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；同理可得：平面；  ，平面，平面平面，A正確；對于B，四邊形為正方形，；平面，平面，；，平面，平面，又平面，；同理可得：；  ，平面，平面，B正確；對于C，連接，  ，，四邊形為平行四邊形，，（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，，為等邊三角形，，與所成角為，C正確；對于D，平面，與平面所成角為，  設(shè)正方體的棱長為，則，，，即與平面所成角不是，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．已知是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷ABC選項(xiàng)；利用奇偶性和求得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)，，進(jìn)而判斷D.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由，得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以，故A錯(cuò)誤；由，故B正確；因?yàn)?/span>，，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，綜上所述，函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)，即時(shí)，，而，所以，故D正確.故選：BCD.12．某農(nóng)業(yè)種植基地在三塊實(shí)驗(yàn)地種植同一品種的蘋果，甲地塊產(chǎn)出蘋果中一級果個(gè)數(shù)占75%，乙地塊產(chǎn)出蘋果中一級果個(gè)數(shù)占60%，丙地塊產(chǎn)出蘋果中一級果個(gè)數(shù)占80%．已知甲、乙、丙地塊產(chǎn)出的蘋果個(gè)數(shù)之比為2：5：3，現(xiàn)將三個(gè)地塊產(chǎn)出的蘋果混放一堆，則下列說法正確的是（    ）A．任取一個(gè)蘋果是甲地塊產(chǎn)出的概率為0.2B．任取一個(gè)蘋果是甲地塊產(chǎn)出的一級果的概率為0.75C．任取一個(gè)蘋果是一級果的概率為0.69D．如果取到的一個(gè)蘋果是一級果，則其是由甲地塊產(chǎn)出的概率為【答案】ACD【分析】設(shè)出甲、乙、丙地塊產(chǎn)出的蘋果個(gè)數(shù)分別為：，對于選項(xiàng)A，B，C，由概率公式分別計(jì)算即可，對于選項(xiàng)D，在選項(xiàng)B，C的基礎(chǔ)上，由條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】已知甲、乙、丙地塊產(chǎn)出的蘋果個(gè)數(shù)之比為2：5：3，可設(shè)甲、乙、丙地塊產(chǎn)出的蘋果個(gè)數(shù)分別為：，現(xiàn)將三個(gè)地塊產(chǎn)出的蘋果混放一堆，對于A，則任取一個(gè)蘋果是甲地塊產(chǎn)出的概率為，故A正確；對于B，由于甲地塊產(chǎn)出蘋果中一級果個(gè)數(shù)占75%，所以甲地塊產(chǎn)出蘋果中一級果個(gè)數(shù)為，則任取一個(gè)蘋果是甲地塊產(chǎn)出的一級果的概率為，故B錯(cuò)誤；對于C，由于甲地塊產(chǎn)出蘋果中一級果個(gè)數(shù)為，乙地塊產(chǎn)出蘋果中一級果個(gè)數(shù)為，丙地塊產(chǎn)出蘋果中一級果個(gè)數(shù)為，所以三塊地總共產(chǎn)出一級果個(gè)數(shù)為：，所以任取一個(gè)蘋果是一級果的概率為，故C正確；對于D，由條件概率可知，如果取到的一個(gè)蘋果是一級果，則其是由甲地塊產(chǎn)出的概率為，故D正確；故選：ACD. 三、填空題13．如果隨機(jī)變量，且，則        ．【答案】0.8/【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)樵撜龖B(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以，故答案為：.14．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)        ．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，又，，解得：.故答案為：.15．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長分別為4和，其所有面都與同一個(gè)球相切，則該球的表面積為        ．【答案】【分析】利用等面積法即可求解.【詳解】如圖，取底邊中點(diǎn)為,則,,所以在等腰中，,,由于正四棱錐的所有面都與同一個(gè)球相切，則該球?yàn)槠鋬?nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法可得，即，故球的表面積為，故答案為：     四、雙空題16．已知直線與曲線和都相切，請寫出符合條件的兩條直線的方程：        ，        ．【答案】          【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用切點(diǎn)求解切線方程，聯(lián)立方程即可求解切點(diǎn)處的值，代入即可求解切線方程【詳解】，，設(shè)直線與曲線和相切于點(diǎn)，則所以切線方程分別為，因此則，又，將代入可得或，解得或，將其代入中，因此當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為，故答案為：, 五、解答題17．有8個(gè)相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，“從中任取一個(gè)小球，球的數(shù)字是奇數(shù)”記為事件A，“從中任取一個(gè)小球，球的數(shù)字是3的倍數(shù)”記為事件B．(1)試判斷A，B是否為相互獨(dú)立事件，并說明理由；(2)求．【答案】(1)是相互獨(dú)立事件；理由見解析(2) 【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的定義判斷即可；（2）由概率的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）解法一：，，．若A發(fā)生，則B發(fā)生的概率為；若A不發(fā)生，則B發(fā)生的概率為；可見，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，因此，A，B為相互獨(dú)立事件．解法二：，，，．所以，，，即．因此，A，B為相互獨(dú)立事件．（2）解法一：由概率性質(zhì)得．解法二：，，，．所以．18．如圖，在正三棱柱中，D為的中點(diǎn)．  (1)求證：；(2)若，，求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，即可得到線線垂直，（2）利用等體積法即可求解.【詳解】（1）在正三棱柱中，平面，因?yàn)?/span>平面，所以；在正三角形中，，D為中點(diǎn)，所以；又因?yàn)?/span>，平面，所以平面；因?yàn)?/span>平面，所以．（2）連接，交于點(diǎn)O，在正三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，所以O為的中點(diǎn)，  所以B到平面的距離等于到平面的距離；設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?/span>，，所以正三角形的邊長為，所以，的面積為，所以三棱錐的體積．又，在中，，，所以，所以，從而，即．所以點(diǎn)B到平面的距離為．19．已知函數(shù)，．(1)若，解關(guān)于的不等式；(2)若函數(shù)的最小值為-4，求m的值．【答案】(1)(2)-3 【分析】（1）因式分解得到，結(jié)合，得到，求出解集；（2）變形得到，，結(jié)合函數(shù)對稱軸，分兩種情況，由函數(shù)最小值列出方程，求出m的值.【詳解】（1）時(shí)，由得，，，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以原不等式的解集為．（2）因?yàn)?/span>，令，因?yàn)?/span>，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號）則，，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，所以，解得，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，所以，解得，不合題意，舍去．綜上，的值為-3．20．“使用動(dòng)物做醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)是正確的，這樣做能夠挽救人的生命”．一機(jī)構(gòu)為了解成年人對這種說法的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），在某市隨機(jī)調(diào)查了200位成年人，得到如下數(shù)據(jù)： 男性女性合計(jì)同意7050120不同意305080合計(jì)100100200(1)能否有99%的把握認(rèn)為成年人對該說法的態(tài)度與性別有關(guān)？(2)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體．若從該市成年人中，隨機(jī)抽取3人了解其對該說法的態(tài)度，記抽取的3人中持同意的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，0.0250.0100.0055.0246.6357.879【答案】(1)有99%的把握認(rèn)為成年人對該說法的態(tài)度與性別有關(guān)(2)分布列見解析；期望為 【分析】（1）由卡方的計(jì)算，與臨界值比較即可作出判斷，（2）由二項(xiàng)分布的概率公式即可求解分布列，由期望的計(jì)算公式即可求解期望.【詳解】（1）提出假設(shè)：成年人對該問題的態(tài)度與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得．因?yàn)楫?dāng)成立時(shí)，的概率約為0.01，這里，所以我們有99%的把握認(rèn)為，對該問題的態(tài)度與性別有關(guān)．（2）從該市成年人中隨機(jī)抽取1人持同意態(tài)度的概率為，由題意，，，，，，0123因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為解法一：．解法二：．21．如圖，在三棱錐中，，D是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，平面PDE.(1)證明：平面PBC；(2)若，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由平面PDE，得到，再由，得到，然后利用線面平行的判定定理證明；（2）取DE的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，過點(diǎn)O作交BC于點(diǎn)F，易證，，再以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量，平面PBE的一個(gè)法向量，再由求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>平面PDE，平面PDE，所以，因?yàn)?/span>，且直線平面ABC，所以，因?yàn)?/span>平面PBC，平面PBC，所以平面PBC；（2）取DE的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，過點(diǎn)O作交BC于點(diǎn)F，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>平面PDE，平面PDE，所以，因?yàn)?/span>平面ABC，所以平面，所以．如圖，以，為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>D是AC的中點(diǎn)，，所以，，，，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，得，，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量，則即令，得，，所以平面PBE的一個(gè)法向量，所以設(shè)二面角為，，所以，所以二面角的正弦值為．22．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)極小值(2) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)，即可求得函數(shù)的極小值；（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，令，可得，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，驗(yàn)證在上能否恒成立，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，，令，解得，減極小值增所以的極小值.（2）解：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，令，則在上恒成立，所以，令，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)，即時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，，又，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，且的圖象在上連續(xù)不間斷，所以存在，使得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以，這與在上恒成立矛盾，所以不合題意，舍去.綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，本題注意到，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)性來處理. 

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