2022-2023學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作校高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知命題“存在，使等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題可求存在，使等式成立的實(shí)數(shù)的取值集合，求其補(bǔ)集即可.【詳解】由得，函數(shù)在上為增函數(shù)，∴，故當(dāng)命題“存在，使等式成立”是假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.2．設(shè)全集，或，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】由于或，,所以，因此，故選：D3．函數(shù)的大致圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先分析的奇偶性，然后根據(jù)的取值正負(fù)即可判斷出符合的圖象.【詳解】因?yàn)?/span>，所以定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，排除A、B，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，排除C.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.4．若二次函數(shù)的解集為，則有(    )A．最小值4 B．最小值－4 C．最大值4 D．最大值－4【答案】A【分析】根據(jù)二次不等式解與二次函數(shù)圖象性質(zhì)的關(guān)系得到b與a的關(guān)系，對(duì)進(jìn)行變形，利用基本不等式即可求解其最值，從而得到答案．【詳解】由題可知，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故有最小值4．故選：A．5．等額分付資本回收是指起初投資P，在利率i，回收周期數(shù)n為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時(shí)，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計(jì)算公式為：.某農(nóng)業(yè)種植公司投資33萬元購買一大型農(nóng)機(jī)設(shè)備，期望投資收益年利率為10%，若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公司將至少在（    ）年內(nèi)能全部收回本利和.（，，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)題意，將對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入計(jì)算公式，化簡(jiǎn)整理后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，知萬元，萬元，，由公式可得，整理得，等式兩邊取對(duì)數(shù)，得故選：C.6．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)不正確的是（    ）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得的范圍，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，所以，即數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，不滿足，舍去，所以，即數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，A說法正確；由可得，，所以，即，B說法錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，且，，所以是數(shù)列中的最大項(xiàng)，C說法正確；由等比中項(xiàng)可知，D說法正確；故選：B7．設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，若滿足不等式的實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把題意轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】因?yàn)闈M足的實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).因?yàn)?/span>，所以由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則解之得：.故選：B.8．已知函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題，將問題轉(zhuǎn)化為在上無解，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)可得，再求得.【詳解】解：求導(dǎo)有，因?yàn)楹瘮?shù)有唯一的極值點(diǎn)，所以，有唯一正實(shí)數(shù)根，因?yàn)?/span>，所以在上無解，所以，在上無解，記，則有，所以，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，在上遞增．此時(shí)時(shí)，有最小值，所以， ，即，所以，即的取值范圍是故選：A 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)的最小值為6B．若不等式的解集為或，則 C．冪函數(shù) 在上為減函數(shù)，則的值為1D．若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>【答案】BC【分析】運(yùn)用基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】對(duì)于A，令，則 ， 是對(duì)勾函數(shù)，其極小值為 ，錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，方程 的兩個(gè)解是 或 ，并且 ，由韋達(dá)定理：  ，  ，  ，正確；對(duì)于C， ，且 ，解得 ，正確；對(duì)于D， 的定義域?yàn)?/span> ，對(duì)于 ， ，即 的定義域?yàn)?/span> ；故選：BC.10．（多選）已知為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．的圖象關(guān)于對(duì)稱C．D．【答案】ABD【分析】，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱．故選項(xiàng)B正確；周期為4，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C不正確.【詳解】因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱．故選項(xiàng)B正確，由可得，由可得，所以，可得，所以，所以周期為4，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確，.故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C不正確.故選: ABD．11．已知，，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)，則在上單調(diào)遞增，可得可判斷A；由不等式的性質(zhì)可判斷B；取可判斷C；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以．設(shè)，則在上單調(diào)遞增．因?yàn)?/span>，所以，則A正確．因?yàn)?/span>，，且，所以，所以，則B正確，因?yàn)?/span>，取，則，所以C不正確.因?yàn)?/span>，所以，所以，即，則D正確．故選：ABD.12．已知函數(shù)．以下說法正確的是（    ）A．若在處取得極值，則函數(shù)在上單調(diào)遞增B．若恒成立，則C．若僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則D．若僅有1個(gè)零點(diǎn)，則【答案】AB【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a值，再探討單調(diào)性判斷A；變形給定不等式，利用同構(gòu)思想等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值判斷B；利用選項(xiàng)B中構(gòu)造的函數(shù)，探討函數(shù)的值域，進(jìn)而求出a值或范圍判斷CD作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)于A，，因?yàn)?/span>在處取得極值，則，解得，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此是函數(shù)的極小值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，，成立，令，顯然函數(shù)在R上都是增函數(shù)，于是在R上單調(diào)遞增，即有，成立，因此，成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，從而，解得，所以當(dāng)恒成立時(shí)，，B正確；對(duì)于C，函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不等根，由選項(xiàng)B知，方程有兩個(gè)不等根，由選項(xiàng)B知，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值集合是，函數(shù)的取值集合是，因此函數(shù)在的取值集合是，當(dāng)時(shí)，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，，因此，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，其取值集合是，無最小值，因此函數(shù)在上的取值集合是，從而函數(shù)在的值域是，在上的值域是，于是要有兩個(gè)不等根，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，由選項(xiàng)C知，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立或存在型問題，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 三、填空題13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則      ．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，得，再根據(jù)等差中項(xiàng)得到，，整體代入即可得到答案.【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，故答案為：.14．設(shè)函數(shù)，則使得成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是        .【答案】【分析】利用定義證明函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合在上單調(diào)遞增，解不等式，即可得出實(shí)數(shù)x的取值范圍.【詳解】，則函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增，，即，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.15．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是      ．【答案】【分析】作出的函數(shù)圖象，得出，，將化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，，由得出單調(diào)遞增，求出的最大值，即可求得答案．【詳解】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：∵存在實(shí)數(shù)，滿足， ，，由圖可知，，，設(shè)，其中，，顯然在單調(diào)遞增，， ，， 在單調(diào)遞增，在的最大值為，的最大值為，故答案為：．16．若函數(shù)在上遞增，則的取值范圍           .【答案】.【分析】根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，由函數(shù)在上遞增，則在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在恒成立求解.【詳解】由函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題. 四、解答題17．已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性，并用單調(diào)性定義證明在上單調(diào)遞增；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）偶函數(shù)，證明見解析；（2）.【分析】(1)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷即可；(2)根據(jù)增減函數(shù)的定義證明在上單調(diào)遞增，設(shè)(t≥2)，利用換元法將原命題轉(zhuǎn)化為不等式(t≥2)恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可知的定義域?yàn)?/span>R，，則，，所以=，所以函數(shù)為偶函數(shù)；（2）任取，則=-=，因?yàn)?/span>==，當(dāng)，，，所以在上單調(diào)遞增.設(shè)，則t≥2，所以原命題等價(jià)于當(dāng)t≥2時(shí)，不等式恒成立，令=，即，則或，解得或，綜上可知.18．從①;②;③三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并求解.已知集合_____，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)設(shè)命題，命題，是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)或二次不等式解得，再求并集即可；（2）結(jié)合（1）得，根據(jù)題意得，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）選①時(shí)：，解得：，即，又因?yàn)?/span>，故，綜上：.選②時(shí)：，解得：，所以.選③時(shí)：，解得：，所以.當(dāng)時(shí)，綜上，.（2）命題，命題，是的必要不充分條件，所以，由第一問可知：選①時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得：，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要滿足，解得：，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為選②③時(shí)，答案與①一致，均為實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．習(xí)總書記指出：“綠水青山就是金山銀山．”某市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號(hào)召，因地制宜地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：kg）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：，其他成本投入（如培育管理等人工費(fèi)）為（單位：元）．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為10元/kg，且供不應(yīng)求．記該單株水果樹獲得的利潤為（單位：元）．(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)當(dāng)肥料費(fèi)用為30元時(shí)，該單株水果樹獲得的利潤最大，利潤最大值為270元. 【分析】(1)結(jié)合已知條件，表示出即可；(2)利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，由一元二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且從而，即在上的最大值為240；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式取等號(hào)，從而，即當(dāng)時(shí)，有最大值270，此時(shí)肥料費(fèi)用.綜上所述，當(dāng)肥料費(fèi)用為30元時(shí)，該單株水果樹獲得的利潤最大，利潤最大值為270元.20．?dāng)?shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若對(duì)于任意正整數(shù)n，均有恒成立，求m的最小值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，當(dāng)時(shí)，利用求出，檢驗(yàn)后得到答案；（2）利用錯(cuò)位相減法得到，不等式轉(zhuǎn)化為，令，作差法得到的單調(diào)性，從而得到的最大值，得到m的最小值.【詳解】（1）取，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，整理得；當(dāng)n＝1時(shí)，也適合上式.綜上，；（2）由（1）知，得，，兩式相減得，整理得.由題意對(duì)于任意正整數(shù)n，均有恒成立，則，即恒成立.設(shè)，由，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.于是的最大值為，所以，即m的最小值是.21．已知函數(shù)，，其中，若.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)的增區(qū)間為，減區(qū)間為,(2) 【分析】（1），當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)分析的符號(hào)，的單調(diào)性．（2），即，則兩邊取對(duì)數(shù)可得，進(jìn)而可得，設(shè)，只需與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即可得出答案．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，令，得，即，令，得，即，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為,．（2），所以，兩邊取對(duì)數(shù)可得，所以，設(shè)，所以，令得，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?/span>，且時(shí)，，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件為，所以，所以的取值范圍為．22．已知函數(shù)．(1)若存在使得成立，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）分離參數(shù)可得，設(shè)，原題可轉(zhuǎn)化為.求出，構(gòu)造，可證得恒成立，進(jìn)而得出單調(diào)遞增，即可得出a的取值范圍；（2）求出.由已知可得，是方程的兩個(gè)相異實(shí)根，且.求出，整理可得.換元令，，求出，即可得出.【詳解】（1）由于，故轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則.設(shè)，則.由于，解，解得.解可得，，所以在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.故在處有極小值，也是最小值.所以故在上總成立，所以為單調(diào)增函數(shù).又存在使得成立，只需即可，所以，即a的取值范圍是．（2）由已知可得，定義域?yàn)?/span>，且.由已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相異根，則，且，，，所以，.所以，，所以.令，則，設(shè).則，所以在為減函數(shù)，所以.即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：小問1中，根據(jù)，分離參數(shù)得到.構(gòu)造函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值，即可得出的取值范圍. 

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