2022-2023學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第101中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件和雙曲線的性質(zhì)，在三角形值尋找等量關(guān)系，得到之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】依題意，可知三角形是一個(gè)等腰三角形，F2在直線PF1的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理知可知，根據(jù)雙曲定義可知，整理得，代入整理得，求得；∴．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率問(wèn)題，正確解題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，以及尋找判斷三角形中邊的關(guān)系.2．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，則的最大值為（    ）A．3 B．5 C． D．13【答案】B【分析】由，結(jié)合圖形即得.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，，則橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)處，取等號(hào)，所以的最大值為5，故選：B.3．如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（      ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用表示出即可得．【詳解】-＝，.故選：A．4．已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則三角形面積的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出的坐標(biāo)，利用列式得關(guān)于的等式，可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，寫出直線的方程，計(jì)算和點(diǎn)距離直線的最小距離，代入三角形面積公式計(jì)算.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)距離直線距離最大時(shí)，面積最大，已知直線的方程為：，，點(diǎn)距離直線的最小距離為：，所以面積的最小值為.故選：A5．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)?/span>∥，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)?/span>平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D6．設(shè)、，向量，，且，，則（      ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，則，解得，則，因?yàn)?/span>，則，解得，即，所以，，因此，.故選：D.7．若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與相交，從而可得，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)在圓上，所以問(wèn)題等價(jià)于圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)也在圓上，即兩圓相交，故，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：A．8．已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由橢圓的定義結(jié)合已知求得，再由求得的不等關(guān)系，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則，即.故選：D．9．如果且，那么直線不經(jīng)過(guò)（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)橫截距和縱截距的范圍求得正確答案.【詳解】由且，可得同號(hào)，異號(hào)，所以也是異號(hào)；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過(guò)第三象限.故選：C10．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切可知，再使用點(diǎn)斜式即可.【詳解】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則,故直線的方程為，即.故選：A.11．空間四邊形中,點(diǎn)在上,且, 為中點(diǎn),則等于(    )A． B．C． D．【答案】B【分析】按照向量運(yùn)算律計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?/span>,所以因?yàn)?/span>為BC中點(diǎn),所以所以故選：B12．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（    ）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】分在的同側(cè)和異側(cè)分類討論求解.【詳解】（1）若在的同側(cè)，則，所以，，（2）若在的異側(cè)，則的中點(diǎn)在直線上，所以解得,故選:D. 二、填空題13．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)、分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且.則下列結(jié)論：①長(zhǎng)度的最小值為；②當(dāng)時(shí)，與相交；③始終與平面平行；④當(dāng)時(shí)，為直二面角．正確的序號(hào)是          ．【答案】①③【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷①的正誤，證明、、不共面可判斷②的正誤，利用空間向量法可判斷③的正誤，利用二面角的定義可判斷④的正誤.【詳解】因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，平面，平面，因?yàn)?/span>，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、.對(duì)于①，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，，，，，設(shè)，即，該方程組無(wú)解，所以，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，、.，平面的一個(gè)法向量為，，則，平面，平面，③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，、.設(shè)平面的法向量為，，，由，得，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，得，取，可得，所以，，此時(shí)，二面角不是直二面角，④錯(cuò)誤.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用空間向量法處理平行與垂直問(wèn)題：設(shè)直線、的方向向量分別為，，平面、的法向量分別為，.（1），，；（2）；（3），；（4）；（5），，；（6）.14．過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為            ．【答案】或或或．【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或 或 或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心） 設(shè) （1）若圓過(guò)三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為， 則，所以圓的方程為；（2）若圓過(guò)三點(diǎn)， 設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過(guò) 三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯(lián)立得 ，所以圓的方程為；（4）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或 或 或．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．  15．已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長(zhǎng)         ．【答案】【分析】將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計(jì)算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即且由兩圓向外切可知，解得所以到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為則直線被圓所截的弦長(zhǎng)為故答案為： 16．在平面內(nèi)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是      ．【答案】【分析】求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圓，得圓心坐標(biāo)，半徑為，求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可得.如圖所示，可得爬到的最短路程為.故答案為：17．直線被圓O；截得的弦長(zhǎng)最短，則實(shí)數(shù)m=           .【答案】1【分析】求出直線MN過(guò)定點(diǎn)A（1,1），進(jìn)而判斷點(diǎn)A在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，|MN|取最小值，利用兩直線斜率之積為-1計(jì)算即可.【詳解】直線MN的方程可化為，由，得，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)A（1，1），因?yàn)?/span>，即點(diǎn)A在圓內(nèi).當(dāng)時(shí)，|MN|取最小值，由，得，∴，故答案為：1. 三、解答題18．已知直線和直線.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線和平行？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線和重合？【答案】(1)或(2) 【分析】（1）（2）由直線平行與重合的公式列方程組求解.【詳解】（1）由題意，，得，解得或當(dāng)或時(shí)，直線和平行.（2）由題意，，得，解得，當(dāng)時(shí)，直線和重合.19．已知圓與圓.(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）求兩個(gè)圓的圓心距結(jié)合兩圓位置關(guān)系即可證明；（2）直接利用兩圓方程作差即可得出公共弦方程.【詳解】（1）將圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，，，兩圓相交；（2）由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即兩圓公共弦所在直線的方程為.20．如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為 .  (1)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得直線平面，如果存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若二面角的大小為 ，求P到直線的距離.【答案】(1)存在，在平面可以找到一點(diǎn)，使得直線平面(2) 【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，即，故，從而找到點(diǎn)M的位置；（2）先求出是二面角的平面角，大小為，得到，設(shè)，則，建立空間直角坐標(biāo)系，求出方向上的單位向量，求出P到直線的距離.【詳解】（1）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，∴， ，即，四邊形為平行四邊形，即.，∴，故，平面平面，平面，平面，平面，故在平面內(nèi)可以找到一點(diǎn)，使得直線平面；  （2）如圖所示，，即，且異面直線與所成的角為，即，又平面，平面.平面，又平面，平面，平面，，因此是二面角的平面角，大小為..不妨設(shè)，則.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，方向上的單位向量坐標(biāo)為，則在上的投影的絕對(duì)值為，所以到直線的距離為.21．某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，分別是正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）結(jié)合圖形可證四邊形是平行四邊形，可得，可得∥平面；（2）根據(jù)題意結(jié)合二面角的定義可得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面夾角．【詳解】（1）取線段中點(diǎn)，連接，由圖1可知，四邊形是矩形，且，是線段與的中點(diǎn)，且，在圖1中且，且．所以在圖2中，且，且四邊形是平行四邊形，則由于平面，平面平面（2）由圖1，，折起后在圖2中仍有，即為二面角的平面角．，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，且設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，得，取則于是平面的一個(gè)法向量，，∴直線與平面所成角的正弦值為 

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