烏魯木齊市第101中學(xué) 2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（考試范圍：選擇性必修一全冊）總分150分 考試時(shí)間120分鐘 一、單項(xiàng)選擇題（12小題每題5分共60分）1．已知空間向量，化簡的結(jié)果為（    ）A． B． C． D．2．已知空間的三個(gè)不共面的單位向量，，，對于空間的任意一個(gè)向量，（    ）A．將向量，，平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)在同一個(gè)單位圓上B．總存在實(shí)數(shù)x，y，使得C．總存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得D．總存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得3．平面經(jīng)過，且垂直于法向量為的一個(gè)平面，則平面的一個(gè)法向量是（    ）A． B． C． D．4．下面給出的幾個(gè)命題，正確命題的個(gè)數(shù)是（    ）①側(cè)面是全等的長方形的直四棱柱是正四棱柱；②若直線平面，平面平面，則平面；③在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為；A．0 B．1 C．2 D．35．直線（不同時(shí)為0），則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．無論取任何值，直線都存在斜率 B．當(dāng)，且時(shí)，直線只與軸相交C．當(dāng)，或時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交 D．當(dāng)，且，且時(shí)，直線是軸所在直線6．已知圓方程為，將直線：繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（    ）A．始終為0 B．是0或1C．是1或2 D．是0或1或27．已知，點(diǎn)P滿足，直線，當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，此時(shí)m的值為（    ）A． B． C． D．8．已知圓心均在軸上的兩圓外切，半徑分別為，若兩圓的一條公切線的方程為，則（   ）A． B．2 C． D．39．已知雙曲線：，點(diǎn)P為曲線在第三象限一個(gè)動點(diǎn)，以下兩個(gè)命題，則（    ）①點(diǎn)P到雙曲線兩條漸近線的距離為，，則為定值.②已知A、B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱不同于P的兩個(gè)點(diǎn)，若PA、PB的斜率存在且分別為，，則為定值.A．①真②真 B．①假②真C．①真②假 D．①假②假10．在寫生課上，離身高1.5m的絮語同學(xué)不遠(yuǎn)的地面上水平放置著一個(gè)半徑為0.5m的正圓，其圓心與絮語同學(xué)所站位置距離2m.若絮語同學(xué)的視平面平面，平面，，且平面于點(diǎn)，，則絮語同學(xué)視平面上的圖形的離心率為（    ）A． B． C． D．11．已知橢圓：，橢圓與橢圓的離心率相等，并且橢圓的短軸端點(diǎn)就是橢圓的長軸端點(diǎn)，據(jù)此類推：對任意的且，橢圓與橢圓的離心率相等，并且橢圓的短軸端點(diǎn)就是橢圓的長軸端點(diǎn)，由此得到一個(gè)橢圓列：，，，，則橢圓的焦距等于（    ）A． B． C． D．12．“天問一號”是執(zhí)行中國首次火星探測任務(wù)的探測器，該名稱源于屈原長詩《天問》，寓意探求科學(xué)真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無止境．圖（1）是“天問一號”探測器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．過橢圓上的點(diǎn)P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問一號”在點(diǎn)P時(shí)對火星的觀測角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個(gè)點(diǎn)處，對火星的觀測角最大的是（    ）A．Q B．R C．S D．T 二、填空題（共4小題，每題5分共20分）13．設(shè)，若，則______.14．以向量，為鄰邊的平行四邊形對角線______（填坐標(biāo)）.15．已知圓，若過定點(diǎn)有且僅有一條直線被圓截得弦長為2，則可以是__________.（只需要寫出其中一個(gè)值，若寫出多個(gè)答案，則按第一個(gè)答案計(jì)分.）16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，記.①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，有；③可能是等腰直角三角形；其中命題中正確的有__________. 三、解答題（6題共70分，請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效。）17．已知圓的直徑，圓所在平面，，點(diǎn)是圓周上不同于、的一點(diǎn).(1)證明：；(2)已知，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，若與平面所成角的余弦值為，且，求的值. 18．如圖，在斜三棱柱中，向量，三個(gè)向量之間的夾角均為，點(diǎn)、分別在、上，且，，，，.  (1)將向量用向量、表示，并求；(2)將向量用、、表示. 19．已知，，為的三個(gè)頂點(diǎn)，圓Q為的內(nèi)切圓，點(diǎn)P在圓Q上運(yùn)動.(1)求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求以，，為直徑的圓的面積之和的最大值、最小值；(3)若，，求的最大值.  20．已知過圓上一點(diǎn)的直線與該圓另一交點(diǎn)為為原點(diǎn)，記.(1)當(dāng)時(shí)，求的值和的方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求的單調(diào)遞增區(qū)間. 21．已知，為橢圓E：的上、下焦點(diǎn)，為平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，其中.(1)若，求面積的最大值；(2)記射線與橢圓E交于，射線與橢圓E交于，若，探求，，之間的關(guān)系. 22．如圖，橢圓、雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且有相同的頂點(diǎn)，，的焦點(diǎn)為，，的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)，，，，恰為線段的六等分點(diǎn)，我們把和合成為曲線，已知的長軸長為4.(1)求曲線的方程；(2)若為上一動點(diǎn)，為定點(diǎn)，求的最小值；(3)若直線過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)、位于同一象限，且直線，求直線的方程.
高二數(shù)學(xué)開學(xué)考試答案：123456789101112BDBBDDCBADBA13．【解析】，由于，所以，所以，解得.故答案為：14．【解析】由題意．故答案為：．15．1或【解析】依題意，該直線過圓心或垂直于，圓心到直線距離為或，，所以或.故答案為：1或16．①②【解析】由圓與，聯(lián)立方程，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，所以，從而，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動，所以，則，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，由于，所以，所以，由題意知，所以，故①正確；②當(dāng)時(shí)，即，所以，即，解得，又，得，所以②正確；③若是等腰直角三角形，則或或為直角，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，則，得，此時(shí)，不是等腰直角三角形，由對稱性可知當(dāng)時(shí)，也不是等腰直角三角形，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭紫仁堑妊切?，由拋物線的對稱性可知點(diǎn)在軸上，此時(shí)，，,,即，故不是等腰直角三角形，綜上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③錯(cuò)誤，故答案為：①②.17．(1)證明見解析(2)或【解析】（1）證明：平面，平面，.點(diǎn)是圓周上不同于、的一點(diǎn)，且為圓的一條直徑，.又，、平面，平面.又平面，.（2）解：如圖，連接，，為的中點(diǎn)，則，又因?yàn)?/span>平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則.設(shè)與平面所成的角為，由已知，則，則.整理可得，因?yàn)?/span>，解得或.18．(1)，(2)【解析】（1），因?yàn)?/span>，所以，所以.（2）因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，所以.19．(1)(2)最大值為，最小值為(3)【解析】（1）因?yàn)?/span>，，，所以為直角三角形，如圖：設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由得，由圖可知，圓心為，所以圓.（2）設(shè)，，，，，，因?yàn)?/span>，所以，所以以，，為直徑的圓的面積之和的最大值、最小值分別為，.（3）設(shè)，則，根據(jù)對稱性，只研究P點(diǎn)在x軸上方，即的情況，當(dāng)垂直x軸時(shí)，，，當(dāng)垂直x軸時(shí)，，，當(dāng)和都不垂直軸時(shí)，，，，因?yàn)?/span>為點(diǎn)與的斜率，如圖：由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最小值，設(shè)直線：，即，則，結(jié)合，得，所以，，因?yàn)?/span>，所以，由于，所以當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值，取最大值，所以.20．(1)，的方程為或；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】（1）點(diǎn)在圓上，.，，，∴，由條件得到的距離為，不與軸垂直，設(shè)的方程為，即，，解得：，或，所以的方程為或；（2）當(dāng)時(shí)，，由得.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（備注：也是對的）.21．(1)(2)【解析】（1）由題可知橢圓E：的上、下焦點(diǎn)，又因?yàn)?/span>,所以, 則點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，則，于是面積的最大值為.（2）射線的方程為，射線的方程為，聯(lián)立解得，①又，則，②將②代入①，得.22．(1)，.(2)的最小值為.(3)直線l的方程為或【解析】（1）設(shè)，，由題意知，，，，，，，因此曲線，.（2）若是上的動點(diǎn)，顯然當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)，若是上的動點(diǎn)，以為圓心為半徑作圓，當(dāng)圓與相切時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)最小，且，圓，代入，整理得，當(dāng)圓與曲線相切，由，，，，所以為上一動點(diǎn)，為定點(diǎn)，的最小值為.（3）設(shè)直線，，，由對稱性可知，，由，整理得，解得， ，由，整理得，解得，，當(dāng)時(shí)，，由(1)知，，所以，，將坐標(biāo)代入得，整理得，兩邊平方化簡得，，所以直線l的方程為或..
 

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