2022-2023學(xué)年陜西省洛南中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題含答案

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2022-2023學(xué)年陜西省洛南中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（    ）A． B． C．3 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程求出的值，即可得答案．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)為.故選：D.2．已知等比數(shù)列中，，則公比（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式有，結(jié)合已知即可求.【詳解】由，可得．故選：B．3．已知空間向量，若，則（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】利用列方程，解方程求得的值.【詳解】，解得.故選：D4．設(shè)，則“”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.【詳解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A5．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則平面外一點(diǎn)到平面的距離為（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)空間向量點(diǎn)到面的距離公式直接進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)平面外，所以點(diǎn)到平面的距離，故選：B7．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的形狀為（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理把題中條件化為邊的關(guān)系式，即可判定.【詳解】根據(jù)余弦定理知，，所以，則,故三角形為直角三角形，故選：8．若，滿足，則的最小值為（    ）A． B． C．8 D．4【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)求出，利用均值不等式求解.【詳解】，，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：D9．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，，且則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理表示出，利用條件變換求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，且由余弦定理知，，解得，故選：10．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由是底角為的等腰三角形，把用表示出來(lái)后可求得離心率．【詳解】解：由題意可得，，如圖，，則，，所以，所以，∴，∴．故選：D．11．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形．若，且，則的長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．5【答案】A【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，易得，又因?yàn)?/span>，故.故選：A．12．如圖1，北京冬奧會(huì)火種臺(tái)以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來(lái)自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器——尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬(wàn)物”，頂部舒展開(kāi)闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種.如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高，上口直徑為，底部直徑為，最小直徑為，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為（    ）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】建立雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程下的直角坐標(biāo)系，得雙曲線方程為，利用實(shí)軸長(zhǎng)為，（），（）在雙曲線上，且，可求得，得．【詳解】建立雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的直角坐標(biāo)系，最小直徑在軸，如圖，雙曲線方程為，則，， （），（）在雙曲線上，且，由，即，，，由，得，所以，則雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為故選:C． 二、填空題13．設(shè)變量x，y滿足約束條件,則的最小值為      ．【答案】-1【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【詳解】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），，，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距最小，z最小，，所以的最小值為-1.故答案為：-114．已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則的通項(xiàng)公式為      .【答案】【解析】根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，分，，即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又也滿足，所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為           .【答案】【分析】寫出雙曲線C的漸近線方程，求出D，E坐標(biāo)，由三角形面積建立a，b的關(guān)系，借助均值不等式即可作答.【詳解】雙曲線C的漸近線方程為，不妨令點(diǎn)D為在第一象限，E在第四象限，由解得，同理，，所以的面積，于是，雙曲線的焦距，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的焦距的最小值為故答案為：816．已知點(diǎn)是橢圓上的兩點(diǎn).且直線恰好平分圓，橢圓上與點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，且直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為          .【答案】【分析】設(shè)，，則.由已知可推得，根據(jù)，可得出，然后即可求出離心率.【詳解】設(shè)，.依題意有，兩式相減得，所以.因直線恰好平分圓，則，則，.由已知，，所以，，即.所以橢圓的離心率為.故答案為：. 三、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式展開(kāi)可求得結(jié)果；（2）由裂項(xiàng)相消求和可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意知， 解得：∴.故的通項(xiàng)公式為.（2）∵ 即：的前n項(xiàng)和.18．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若為平面的中心，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】由已知得，根據(jù)線面平行的判斷定理可得證；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由異面直線所成的角的向量求解方法可得答案.【詳解】證明：因?yàn)樵谡襟w中，，所以，又平面平面，所以平面.解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)則.因?yàn)?/span>，所以，又異面直線所成角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用法向量求解空間異面直線所成的角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求向量關(guān)”，求出異面直線所構(gòu)成的向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且．（1）證明：經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，并求的值；（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的斜率．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）．【分析】（1）的焦點(diǎn)為，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可得經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，韋達(dá)定理可得，然后可求出；（2）利用點(diǎn)差法求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>的焦點(diǎn)為，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)聯(lián)立，得設(shè)，，則則，解得（2）由（1）知的方程為，設(shè)，，則，兩式相減，得．因?yàn)?/span>，所以的斜率為．20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)證明：；(2)求角B的最大值，并說(shuō)明此時(shí)的形狀.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，等邊三角形 【分析】（1）由切化弦結(jié)合正弦定理即可證明；（2）由余弦定理結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，由正弦定理得；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以角取得最大值，此時(shí)為等邊三角形．21．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點(diǎn)，.請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：(1)求線段的長(zhǎng)；(2)若為線段上一點(diǎn)，且，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）解：平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，則，，，則，解得，故.（2）解：，則，又、、，所以，，，設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，顯然，為平面的一個(gè)法向量，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.22．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，且．（1）求的方程．（2）若，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)且垂直軸的直線平分，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】(1)由條件，可得的值，再由條件結(jié)合，可得答案.（2）由條件先得出，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，代入結(jié)論中可 求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，，故的方程為．（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，則，，．設(shè)直線，的傾斜角分別為，，則，，所以，即，所以，所以，化簡(jiǎn)可得，所以直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的方程和直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件得出，設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立由韋達(dá)定理代入解決，屬于中檔題.