2022-2023學(xué)年江西省吉安市第一中學(xué)高二上學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知平面上一點(diǎn)M（5，0），若直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（    ）A． B．C． D． 【答案】C【分析】根據(jù)題意，只需要點(diǎn)M到直線的距離不超過(guò)4，則該直線為“切割型直線”，故只需要求各選項(xiàng)的點(diǎn)線距離即可判斷.【詳解】根據(jù)題意，只需要點(diǎn)M到直線的距離不超過(guò)4，則該直線為“切割型直線”，對(duì)于A，可化為，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易求M到直線距離為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，可化為，故，故C正確；對(duì)于D，可化為，故，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）A．與不是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷A；根據(jù)單位向量的概念可判斷B；由向量夾角的余弦公式可判斷C；根據(jù)法向量的特征可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，由于，所以與不是共線向量，故A正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，故D正確，故選：C.3．已知分別為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C上異于的任意一點(diǎn)，記直線，直線的斜率分別為．若，則雙曲線的離心率為（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由斜率定義求出，得，結(jié)合化簡(jiǎn)，得的齊次式，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，∴，又，∴，故，即．故選：C．4．已知圓：與圓：相外切，則的最大值為（　?。?/span>A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由兩圓外切可得，要使取得最大值，則，同號(hào)，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由圓C1與圓C2相外切，得即，∴；要使取得最大值，則，同號(hào)，不妨取，，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴ab的最大值為2．故選：A5．單位正四面體的外接球內(nèi)接的最大正三角形邊長(zhǎng)為（    ）A．? B．?C．? D．?【答案】C【分析】先求得外接球半徑，然后計(jì)算外接球內(nèi)接的最大正三角形邊長(zhǎng)即可.【詳解】如圖為單位正四面體.過(guò)點(diǎn)作面的垂線交面于點(diǎn)為外接球球心，則為的中心，則，在中，.設(shè)，則在中， ，解得.外接球內(nèi)接的最大正三角形即為球的大圓的內(nèi)接正三角形，由正弦定理可得邊長(zhǎng)為.故選：C6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即．聯(lián)立，解得．的外心為．則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，．當(dāng)，時(shí)，重合，舍去．頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.7．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F分別是棱，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形包括邊界內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】先過(guò)點(diǎn)畫(huà)出與平面平行的平面，然后得出點(diǎn)的軌跡，最后計(jì)算的長(zhǎng)度取值范圍即可.【詳解】如圖，分別作的中點(diǎn)，連接，如圖，  易得，又平面，平面，故平面，在正方體中，易得，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)?/span>面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以動(dòng)點(diǎn)在正方形的軌跡為線段，在三角形中，，，所以點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，最小距離為等腰三角形在邊上的高為，所以線段的長(zhǎng)度范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是過(guò)作出面的平行面，從而求得的運(yùn)動(dòng)軌跡，由此得解.8．過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（    ）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】設(shè)出l1的方程為，與拋物線聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，用弦長(zhǎng)公式表達(dá)出，同理表達(dá)出，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F為，直線l1的方程為，則聯(lián)立后得到，設(shè)，，，則，同理設(shè)可得：，因?yàn)?/span>|k1·k2|=2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，故選：B 二、多選題9．若直線m被兩平行直線：x－y＋1＝0與：x－y＋3＝0所截得的線段長(zhǎng)為，則直線m的傾斜角可以是（    ）A．15° B．30° C．60° D．75°【答案】AD【分析】求兩平行線之間的距離，根據(jù)三角函數(shù)，得到直線與平行線的夾角，再結(jié)合外角定理，可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以直線，間的距離．設(shè)直線m與直線，分別相交于點(diǎn)B，A，則，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于直線，垂足為C，則，則在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°，又直線的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．故選：AD．10．已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11．如圖，在多面體中，四邊形，，均是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)在棱上，則（    ）A．該幾何體的體積為 B．點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心C．的最小值為 D．存在點(diǎn)，使得【答案】BD【分析】將幾何體補(bǔ)形為正方體，根據(jù)正方體與棱錐體積差判斷A，由棱錐側(cè)棱長(zhǎng)相等、底面為正三角形確定定點(diǎn)射影的位置判斷B，根據(jù)展開(kāi)圖及余弦定理判斷C，由正方形對(duì)角線垂直可判斷D.【詳解】由題意，可將該幾何體補(bǔ)成正方體，如圖，則該幾何體的體積為正方體體積去掉一個(gè)三棱錐的體積，所以，故A錯(cuò)誤；由題意知，為等邊三角形，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心，即的中心，故B正確；把所在面沿折起，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，連接，則的最小值即為的長(zhǎng)，由余弦定理知，，故，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；四邊形為正方形，， ，當(dāng)與重合時(shí)，，故D正確.故選：BD12．已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)B．直線與曲線最多有兩個(gè)公共點(diǎn)C．當(dāng)直線與曲線有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，時(shí)，的取值范圍為D．當(dāng)直線與曲線有公共點(diǎn)時(shí)，記公共點(diǎn)為．則的取值范圍為（0，2）【答案】BC【分析】由題設(shè)討論的符號(hào)得到曲線的不同方程，結(jié)合所得方程對(duì)應(yīng)曲線的性質(zhì)，結(jié)合直線、并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，判斷它們與曲線的交點(diǎn)情況，并根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的不同求交點(diǎn)橫坐標(biāo)之積或和的范圍即可.【詳解】由題設(shè)得：曲線為，對(duì)A，由是和的漸近線，故與有2個(gè)公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由A中的分析知：與曲線最多有兩個(gè)公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，，由對(duì)稱性知，，關(guān)于直線對(duì)稱，則，∴，結(jié)合圖形可得：（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)時(shí)，由，則，且.綜上可知，的取值范圍為，故C正確；對(duì)D，由C的分析，時(shí)與曲線有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則，即．當(dāng)時(shí)，與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此點(diǎn)為．此時(shí)．故D錯(cuò)誤．故選：BC． 三、填空題13．如圖，平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且，，則線段的長(zhǎng)為      ．【答案】【分析】以為基底表示出空間向量，利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律求解得到，進(jìn)而得到的長(zhǎng).【詳解】，，即線段的長(zhǎng)為.故答案為：.14．在直角坐標(biāo)系中，已知和直線，試在直線上找一點(diǎn)，在軸上找一點(diǎn)，使三角形的周長(zhǎng)最小，最小值為  ．【答案】【分析】如圖，作出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則連結(jié)，交直線于，交軸于，則的周長(zhǎng)的最小值等于.【詳解】解：如圖，作出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)，交直線于，交軸于，，，三角形的周長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)，由兩點(diǎn)間線段最短得此時(shí)三角形的周長(zhǎng)最小，三角形的周長(zhǎng)最小時(shí)，最小值為：．故答案為：．15．若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是      .【答案】【分析】先求出直線所過(guò)定點(diǎn)，再將曲線轉(zhuǎn)化為，可知其為半圓，結(jié)合圖像，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的上半部分，如圖.當(dāng)與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得，設(shè)，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，須得，即.故答案為：.  16．設(shè)直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點(diǎn)，，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的漸近線方程是       ．【答案】【分析】如圖，取的中點(diǎn)，利用得到直線是直線的垂直平分線，又由于，兩點(diǎn)在漸近線上，可以運(yùn)用點(diǎn)差法求出直線的斜率表達(dá)式，再分別運(yùn)用點(diǎn)在直線上以及直線與直線的斜率乘積為，得出的值，進(jìn)而求得漸近線方程．【詳解】如圖，由雙曲線得到漸近線的方程為；即雙曲線的兩條漸近線合并為；設(shè)，的中點(diǎn)為，則，；兩式相減可得，即；   ……………    ①又點(diǎn)在直線上，則  ……… ②由，則，則   …………… ③聯(lián)立②，③可得，；將代入①可得；所以漸近線的方程為；故答案為：． 四、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是.(1)的面積；(2)的外接圓的面積.【答案】(1)8(2) 【分析】（1）先求得所在直線方程，從而求得點(diǎn)到的距離求解；（2）先分別求得線段AB和BC的垂直平分線方程，聯(lián)立求得圓心求解.【詳解】（1）解：所在直線方程為：， 即 ，點(diǎn)到的距離為，又，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，線段AB的中點(diǎn)為，所以線段AB的垂直平分線方程為，即，同理求得線段的垂直平分線方程為，聯(lián)立解得，即圓心坐標(biāo)為，所以圓的半徑為，所以的外接圓的面積為：.18．如圖所示的多面體中，面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，，，，分別為棱，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)已知二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，通過(guò)證明然后證明平面．（2）以為原點(diǎn)，射線，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，求出，推出，然后求解幾何體的體積．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?/span>是正方形，所以，．因?yàn)?/span>，分別是，中點(diǎn)，所以，．又因?yàn)?/span>且，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)?/span>平面，平面所以平面 （2）因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，平面，所以平面．如圖，以為原點(diǎn)，射線，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則 ，，．因?yàn)?/span>底面，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，得，所以  由已知，二面角的余弦值為，所以，解得，所以 因?yàn)?/span>是四棱錐的高，正方形面積為，所以其體積為．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)．(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）設(shè)，則圓為：，，從而得到，由此能求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題意得，，設(shè)，則圓心到直線的距離：，由此能求出直線的方程．【詳解】（1）解： 在直線上，設(shè)，圓與軸相切，圓為：，，又圓與圓外切，圓，即圓，圓心，半徑；，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：由題意得，，設(shè)，則圓心到直線的距離：，則，，即，解得或，直線的方程為：或．20．已知點(diǎn)P和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線，均過(guò)點(diǎn)P，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對(duì)”，如直：，：是一組“共軛線對(duì)”，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．  (1)已知點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)分別是三條直線PQ，QR，RP上的點(diǎn)（A，B，C與P，Q，R均不重合），且直線PR，PQ是“共軛線對(duì)”，直線QP，QR是“共軛線對(duì)”，直線RP，RQ是“共軛線對(duì)”，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)，直線，是“共軛線對(duì)”，當(dāng)的斜率變化時(shí)，求原點(diǎn)O到直線，的距離之積的取值范圍．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）設(shè)直線RP，PQ，QR的斜率分別為，，，則根據(jù)題意可得，解方程組求出，，，從而可求出的方程，進(jìn)而解方程組可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）根據(jù)題意設(shè)：，：，其中，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線，的距離的積，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得其范圍.【詳解】（1）設(shè)直線RP，PQ，QR的斜率分別為，，，則，得，，或，，．當(dāng)，，時(shí)，直線RP的方程為，直線PQ的方程為，由，解得，則；當(dāng)，，時(shí)，直線PR的方程為，直線PQ的方程為，由，解得，則；故所求為或；（2）設(shè)：，：，其中，故由于（等號(hào)成立的條件是），故，．21．已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）試問(wèn)： 是否為定值？若是，求出定值；否則，說(shuō)明理由.【答案】(1) ；(2)答案見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：(1)根據(jù)題目中的條件先求出，，給出橢圓方程，又因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓方程有兩解，令即可求解（2）由（1）得，，根據(jù)題目條件求出，代入化簡(jiǎn)求得結(jié)果解析：（1）由已知得，，∴，，所以橢圓方程為設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得.由得，所以.（2）令，，則，則，.由中，令得，即.設(shè)直線的方程為，令得.將，代入上式得： 所以，為定值.22．已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過(guò)Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由及拋物線的性質(zhì)可得的橫坐標(biāo)，再由．可得的縱坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積的表達(dá)式，由數(shù)量積為0可得參數(shù)的關(guān)系，代入直線的方程可得直線恒過(guò)定點(diǎn)．【詳解】（1）解：由，可得，代入．解得或（舍），所以拋物線的方程為：．（2）解:由題意可得，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，從而，則．所以，，∵，∴，故，整理得．即，從而或，即或．若，則，過(guò)定點(diǎn)，與Q點(diǎn)重合，不符合；若，則，過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線過(guò)異于Q點(diǎn)的定點(diǎn)． 

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