2022-2023學(xué)年浙江省杭嘉湖金四縣區(qū)高二下學(xué)期6月學(xué)考模擬考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A．{2} B．{2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{0,2,3,4}【答案】C【分析】由集合的并運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得.故選：C2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的加法化簡所求復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B.3．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的定義域以及根式的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知的定義域需要滿足，解得，故定義域?yàn)?/span>，故選：D4．已知，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可求，再由向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，所以，故選：A.5．已知，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角關(guān)系，結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】由可知為第三象限的角，故,由，又，解得，故選：C6．有一組樣本數(shù)據(jù)、、、，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，為非零常數(shù).則下列說法不正確的是（    ）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同【答案】D【分析】利用極差的定義可判斷A選項(xiàng)；利用平均數(shù)公式可判斷D選項(xiàng)；利用方差公式可判斷BC選項(xiàng).【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，樣本數(shù)據(jù)、、、（為非零常數(shù)）的平均數(shù)為，方差為，對于A選項(xiàng)，不妨設(shè)，則樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，對于樣本數(shù)據(jù)、、、（為非零常數(shù)），則，所以，樣本數(shù)據(jù)、、、（為非零常數(shù)）的極差為，所以，兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同，A對；對于D選項(xiàng)，，所以，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相同，D錯；對于BC選項(xiàng)，，所以，兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同，這兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差也相同，BC都對.故選：D.7．“”是“方程）有正實(shí)數(shù)根”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的根與二次函數(shù)的關(guān)系可得）有正實(shí)數(shù)根滿足，即可判斷.【詳解】由于函數(shù)的對稱軸為，且開口向上，所以有正根，則必須,解得，因此“”是“”必要不充分條件，故選：B8．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖，求出圓錐的母線以及圓柱的高，由圓錐的體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A錐底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是半圓，所以圓錐的底面周長為，則圓錐的母線長為2，故圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：A．9．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選:D.10．我們的數(shù)學(xué)課本《人教A版必修第一冊》第121頁的《閱讀與思考》中介紹：“一般地，如果某物質(zhì)的半衰期為h，那么經(jīng)過時間t后，該物質(zhì)所剩的質(zhì)量，其中是該物質(zhì)的初始質(zhì)量.”現(xiàn)測得某放射性元素的半衰期為1350年（每經(jīng)過1350年，該元素的存量為原來的一半），某生物標(biāo)本中該放射性元素的初始存量為m，經(jīng)檢測現(xiàn)在的存量為.據(jù)此推測該生物距今約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．2452年 B．2750年 C．3150年 D．3856年【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，兩邊取對數(shù)得，故選：C11．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由題可得，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得等號，故選:C.12．在四面體中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（    ）A．52π B．54π C．56π D．60π【答案】A【分析】三棱錐的外心必定在過一個三角形的外心與這個三角形所成的面垂直的垂線上，從而確定球心的位置，結(jié)合題意，利用幾何關(guān)系求出外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，分別取和的外心與，過兩點(diǎn)分別作平面和平面的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心，連接，則為二面角的平面角，即，則是等邊三角形，其邊長為，，在中，，所以，又由，所以，所以四面體的外接球的表面積為.故選：A.   二、多選題13．已知，則下列選項(xiàng)中能使成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，由可得，A錯誤，對于B，由可得，B錯誤，對于C，由可得，C錯誤，對于D，由可得，D正確，故選：BD.14．為了解某校高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，年級組織了一次測試.已知此次考試共有1000名學(xué)生參加，考試成績的頻率分布直方圖如下（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），分?jǐn)?shù)不低于110分為優(yōu)秀，則（    ）  A．頻率分布直方圖中的a的值為0.008B．這次考試中優(yōu)秀的學(xué)生有100人C．這次考試成績的眾數(shù)約為100D．這次考試的中位數(shù)約為95【答案】ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中面積之和為1可求解a，進(jìn)而可求解中位數(shù)，眾數(shù)等.【詳解】對于A,，故A正確，對于B,優(yōu)秀的學(xué)生為，故B錯誤，對于C,這次考試成績的眾數(shù)約為,故C正確，對于D,設(shè)中位數(shù)為，則，故D正確，故選：ACD15．不透明的袋中裝有5個大小質(zhì)地完全相同的小球，其中3個紅球、2個白球，從袋中一次性取出2個球，記事件 “兩球同色”，事件“兩球異色”，事件 “至少有一紅球”，則（    ）A． B． C．事件A與事件B是對立事件 D．事件A與事件B是相互獨(dú)立事件【答案】BC【分析】根據(jù)古典概型概率公式求事件和事件的概率，判斷AB，根據(jù)對立事件和獨(dú)立事件的定義判斷CD.【詳解】隨機(jī)試驗(yàn)從袋中一次性取出2個球的樣本空間含個樣本點(diǎn)，隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為，所以，A錯誤；隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為，所以，B正確，事件與事件不可能同時發(fā)生，所以事件與事件為互斥事件，又，即事件為必然事件，所以事件A與事件B是對立事件，C正確；隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為，所以，隨機(jī)事件為不可能事件，所以，所以，所以事件A與事件B不是相互獨(dú)立事件，D錯誤，故選：BC.16．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，，.下列說法正確的是（    ）A．3是函數(shù)的一個周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．【答案】AC【分析】根據(jù)已知可推得，即可得出A項(xiàng)；由為奇函數(shù)，即可得出函數(shù)的對稱性；易知，結(jié)合，即可推得，得出C項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性求解，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，所以3是函數(shù)的一個周期，故A正確；對于B項(xiàng)，因?yàn)椋?/span>為奇函數(shù)，所以，所以，點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心，故B錯誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)椋?/span>為奇函數(shù)，所以，所以.又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，函數(shù)是偶函數(shù)，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由C知，函數(shù)是偶函數(shù)，所以.又3是函數(shù)的一個周期，所以，，，所以，，所以，，故D錯誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件，變換得出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而得出函數(shù)的對稱性、奇偶性以及周期性.然后根據(jù)奇偶性以及周期性求值，即可得出答案. 三、填空題17．已知是冪函數(shù)，且滿足：①；②在上單調(diào)遞增，請寫出符合上述條件的一個函數(shù)           .【答案】（答案不唯一）(形如，為正奇數(shù)，為正偶數(shù)，均可)【分析】由條件結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的解析式即可.【詳解】因?yàn)?/span>是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故可設(shè)，（，互質(zhì)），又，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)，故為符合條件的一個函數(shù)，故答案為：(形如，為正奇數(shù)，為正偶數(shù)，均可). 四、雙空題18．已知，為單位向量，且，則           ，向量在向量上的投影向量為           .【答案】          【分析】計算出、的值，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值，利用投影向量的定義可求得向量在向量上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?/span>，為單位向量，則，，因?yàn)?/span>，則，可得，所以，向量在向量上的投影向量為.故答案為：；. 五、填空題19．哥德巴赫猜想的部分內(nèi)容如下：任一大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（素數(shù)是在大于的自然數(shù)中，除了和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)）之和，如.在不超過的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于的概率是           .【答案】【分析】列舉出所有不超過的素數(shù)，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數(shù)有：、、、、、、，共個數(shù)，從上述個數(shù)中任意抽出兩個不同的數(shù)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中，事件“所抽取的兩個數(shù)之和等于”所包含的基本事件有：、，共種，故所求概率為.故答案為：.20．已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是           .【答案】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)在區(qū)間上存在最值，以及函數(shù)在上單調(diào)分別求出的取值范圍，取交集可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)時，因?yàn)?/span>，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，則，所以，，其中，解得，所以，，解得，又因?yàn)?/span>，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.又因?yàn)?/span>，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 六、解答題21．在△ABC中，內(nèi)角的對邊分別為，，且___________.在①，②，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線中，并解答下列問題.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)6(2) 【分析】（1）若選①，由，根據(jù)同角關(guān)系可得，由條件證明，再結(jié)合余弦定理求，若選②，由，根據(jù)同角關(guān)系可得，由條件證明，由此可得，再結(jié)合數(shù)量積的定義求；（2）由條件和，結(jié)合正弦定理求，再由正弦定理求.【詳解】（1）由已知，選擇條件①，所以，∴，∵∴，所以；選擇條件②因?yàn)?/span>，∵，∵，所以，即，又，所以，又，∴為銳角，∵.∵，所以，所以；（2）∵（為的外接圓直徑）∴，所以，所以，所以，∴22．已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，，，E為PD中點(diǎn).  (1)求證：平面PAB；(2)設(shè)平面EAC與平面DAC的夾角為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）方法一：利用線面平行的判定定理直接證明；方法二：利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線線垂直即可證明；（2）方法一：利用二面角的定義以及三棱錐的定義求解；方法二：利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出三棱錐的高，進(jìn)而求體積.【詳解】（1）證明：  取中點(diǎn),連,是中點(diǎn),∴且,又∵且.∵且,∴四邊形為平行四邊形，,又∵平面，?平面，∴平面．（2）取中點(diǎn)，連，過作交于，連,∵分別是中點(diǎn)，∴，又∵平面．∴⊥平面,平面,∴，又∵，平面，∴⊥平面，平面，∴，∴是平面與平面的夾角的平面角.∴.,∴.∴,解法二：（1）∵⊥平面，，∴兩兩垂直，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.  設(shè)，則有則，又⊥平面，平面，所以，又∵平面，∴⊥平面，∴是平面的一個法向量,∵，又∵平面，∴平面.（2）⊥平面，∴平面的一個法向量,設(shè)平面的一個法向量為,則有，不妨設(shè)，則，即,,∴到平面的距離,∴.23．已知函數(shù).(1)若，求m的值：(2)若方程恰有一個實(shí)根，求m的取值范圍：(3)設(shè)，若對任意，當(dāng)時，滿足，求m的取值范圍.【答案】(1)3(2)(3) 【分析】（1）由結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算即可求解，（2）根據(jù)相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為有唯一根，即可分類討論求解，（3）將已知轉(zhuǎn)化為，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為對恒成立，令，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值即可求解.【詳解】（1）（2）方程  由①可得 當(dāng)時，方程有唯一解，代入此時 ，∴不滿足②當(dāng)時，方程有兩相等解 ，此時 ，∴不滿足②.當(dāng)且時，方程有兩不等解 ，若 滿足 若滿足 則若 是唯一解，則有若是唯一解，則有綜上，當(dāng)時方程恰有一個實(shí)根.（3）當(dāng)時，恒成立，則有 ,由已知，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，所以 ∴對恒成立令，∴在上單調(diào)遞增，∴ ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 

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