2023年5月浙江省杭嘉湖金四縣區(qū)調(diào)研測(cè)試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  已知，，則的值為(    )A.  B.  C. 或 D. 或2.  設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則等于(    )A.  B.  C.  D. 3.  設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的倍，用隨機(jī)變量去描述次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則等于(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知函數(shù)，下列直線不可能是曲線的切線的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  已知數(shù)列，，，若，則正整數(shù)的值為(    )A.  B.  C.  D. 6.  學(xué)校以勞動(dòng)周形式開展勞育工作創(chuàng)新實(shí)踐，學(xué)校開設(shè)“民俗文化”“茶藝文化”“茶壺制作”“打印”四種課程甲、乙、丙名同學(xué)每名同學(xué)至少?gòu)闹羞x一種，每種課程都恰有人參加，記“甲參加民俗文化”，“甲參加茶藝文化”，“乙參加茶藝文化”，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 事件與相互獨(dú)立 B. 事件與互斥
C.  D. 7.  已知實(shí)數(shù)滿足，則滿足條件的的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 8.  現(xiàn)有個(gè)相同的袋子，里面均裝有個(gè)除顏色外其它無(wú)區(qū)別的小球，第個(gè)袋子中有個(gè)紅球，個(gè)白球現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個(gè)袋子，并且從中連續(xù)取出三個(gè)球每個(gè)取后不放回，若第三次取出的球?yàn)榘浊虻母怕蕿?/span>，則(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  已知在的二項(xiàng)展開式中，第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則(    )A.  B. 展開式中項(xiàng)數(shù)共有項(xiàng)
C. 含的項(xiàng)的系數(shù)為 D. 展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為10.  某興趣小組研究光照時(shí)長(zhǎng)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量顆之間的關(guān)系，采集組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點(diǎn)圖若去掉后，下列說(shuō)法正確的是(    )A. 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變小 B. 決定系數(shù)變大
C. 殘差平方和變大 D. 解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)11.  設(shè)函數(shù)，定義域交集為，若存在，使得對(duì)任意都有，則稱構(gòu)成“相關(guān)函數(shù)對(duì)”則下列所給兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成“相關(guān)函數(shù)對(duì)”的有(    )A.
B.
C.
D. 12.  某種疾病在某地區(qū)人群中發(fā)病率為現(xiàn)有一種檢測(cè)方法能夠檢測(cè)人體是否患該病，但不是完全準(zhǔn)確，其準(zhǔn)確率如下：健康人群檢測(cè)為陽(yáng)性的概率為，患病人群檢測(cè)為陰性的概率為設(shè)事件“某人不患該病”，“該人被檢出陽(yáng)性”，則(    )A.
B.
C. 該地區(qū)某人去檢測(cè)是否患該病，檢測(cè)為陽(yáng)性的概率約為
D. 某人在不清楚是否得病的情況下被檢測(cè)出陽(yáng)性，那么他真正患該病的概率約為第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  設(shè)隨機(jī)變量，則          ．14.  若，則的值為          ．15.  某公司銷售某種業(yè)務(wù)保單，已知每份業(yè)務(wù)保單的利潤(rùn)現(xiàn)值隨機(jī)變量可以用正態(tài)分布近似，且滿足：，已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量滿足，那么該業(yè)務(wù)保單的利潤(rùn)現(xiàn)值可以以的概率大于          ．16.  已知和分別是函數(shù)且的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)．若，則的取值范圍是          ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 18.  本小題分數(shù)列滿足，數(shù)列前項(xiàng)和為，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 19.  本小題分某大學(xué)有，兩個(gè)餐廳為學(xué)生提供午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況午餐，晚餐甲天天天天乙天天天天假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率計(jì)算某天甲同學(xué)午餐去餐廳用餐的情況下晚餐去餐廳用餐的概率；某天午餐，甲和乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備去，這兩個(gè)餐廳中某一個(gè)就餐設(shè)事件“甲選擇餐廳就餐”，事件“乙選擇餐廳就餐”，，若，證明：事件和相互獨(dú)立． 20.  本小題分過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)；又過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)，依此下去，得到一系列點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求證：． 21.  本小題分學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)中有兩項(xiàng)競(jìng)賽答題，一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”答題，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得分，失敗得分；一天內(nèi)參與“四人賽”答題，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得分，次局獲勝得分，失敗均得分已知李明參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”答題時(shí)，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”答題時(shí)，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為，李明周一到周五每天完成“雙人對(duì)戰(zhàn)”答題一局和“四人賽”答題兩局，各局答題互不影響．
求李明這天完成“雙人對(duì)戰(zhàn)”答題的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；設(shè)李明在這天的“四人賽”答題中，恰有天每天得分不低于分的概率為 求為何值時(shí)，取得最大值． 22.  本小題分已知函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：因?yàn)榻M合數(shù)公式得性質(zhì)，而
可得或，
所以或．
經(jīng)驗(yàn)證或符合題意．  2.【答案】 【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列有關(guān)基本量的求解，為基礎(chǔ)題．【解答】解：，則公比，．  3.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率為失敗率的倍，寫出隨機(jī)變量的分布列，分布列中兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，是含有的代數(shù)式，根據(jù)分布列概率的性質(zhì)，寫出關(guān)于的等式，解出結(jié)果．
本題離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題過(guò)程中用到方程思想，通過(guò)解方程得到要求的概率．【解答】解：設(shè)的分布列為：即“”表示試驗(yàn)失敗，“”表示試驗(yàn)成功，
設(shè)失敗的概率為，成功的概率為，
由，
．
故選B．  4.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上的切線方程，屬于中檔題．【解答】解：的定義域?yàn)?/span>，，
設(shè)曲線上 的切點(diǎn)為
驗(yàn)證，，得，
驗(yàn)證、，得
驗(yàn)證：，即，
，方程無(wú)解．
驗(yàn)證、，得
故選項(xiàng)C對(duì)應(yīng)的直線不可能是曲線的切線．  5.【答案】 【解析】【分析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，考查等差數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算，為中檔題．【解答】解：，可知，
則可知為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，有，
，則．  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查相互獨(dú)立事件的判斷和條件概率，屬于中檔題．
分別求出，和，再利用互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和條件概率公式逐個(gè)判斷即可．【解答】解：甲、乙、丙三名同學(xué)從四種課程中至少選一種，
共有種基本事件，事件包含的基本事件數(shù)為：，
則，同理，事件包含的基本事件數(shù)為：，
則，事件包含的基本事件數(shù)為：，則，
因?yàn)?/span>，故A錯(cuò)誤
因?yàn)?/span>事件和事件不互斥，故B錯(cuò)誤
因?yàn)?/span>，故C正確
因?yàn)?/span>，故D錯(cuò)誤．
故選C．  7.【答案】 【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于綜合題．【解答】解：由題意，，可化為，
即，
構(gòu)造函數(shù)，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
即，可以得到，從而，
構(gòu)造函數(shù)，，
令可以得到，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
從而當(dāng)時(shí)，取最小值，即有最小值．  8.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查古典概型，互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率求法問(wèn)題，考查了邏輯分析能力和計(jì)算能力，屬于較難題．
設(shè)選出的是第個(gè)袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，再分四類求出第三次取出白球的方法數(shù)，進(jìn)而求出第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，及選到第個(gè)袋子的概率為，最后根據(jù)互斥事件及獨(dú)立事件的概率即可求解．【解答】解：設(shè)選出的是第個(gè)袋子，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，
第三次取出的是白球的三次取球顏色有如下四種情形：
白，白，白，取法數(shù)為，
白，紅，白，取法數(shù)為，
紅，白，白，取法數(shù)為，
紅，紅，白，取法數(shù)為，
從而第三次取出的是白球的種數(shù)為：
，
則在第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，
而選到第個(gè)袋子的概率為，
故對(duì)于任意的正整數(shù)，求第三次取出為白球的概率為：．
所以，解得
故答案為  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)與特定項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．【解答】解：解：該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為
．
因?yàn)榈?/span>項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，，
解得所以通項(xiàng)為．
展開式中項(xiàng)數(shù)共有項(xiàng)，故A正確，B錯(cuò)誤．
含的項(xiàng)得，即，所求的系數(shù)為，
故C正確．
根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得
，令，，則，即，
，應(yīng)為偶數(shù)，
可取，，，即可取，，，
第項(xiàng)，第項(xiàng)與第項(xiàng)為有理項(xiàng)．
故D正確．  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)去掉點(diǎn)后變量與變量的線性相關(guān)性變強(qiáng)進(jìn)行分析，即可得解．【解答】解：由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)大致分布在一條直線附近，變量和變量具有線性相關(guān)關(guān)系．
離回歸直線較遠(yuǎn)，去掉后變量和變量的相關(guān)性變強(qiáng)，
相關(guān)系數(shù) 的絕對(duì)值變大，殘差的平方和變小，決定系數(shù) 變大，
各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和變小，所求回歸直線方程與實(shí)際更接近．  11.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了函數(shù)新定義，考查函數(shù)的定義域和值域，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難題．
A.，利用導(dǎo)數(shù)可得，故不滿足題意；
B.，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，存在，使得，滿足題意；
C.，由得，故不滿足題意；
D.，且，故當(dāng)時(shí)，故滿足題意．【解答】解：選項(xiàng)中，易知，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．
故，
故不存在，使得對(duì)任意，不等式恒成立，故A不正確；
選項(xiàng)中，，
設(shè)，
易知在上單調(diào)遞增，
且，，
所以存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．
故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，故B正確；
選項(xiàng)中，易知
設(shè)，
易知在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，故C正確．
選項(xiàng)中，易知，
由得，即，
故不存在，使得對(duì)任意，不等式恒成立，故D錯(cuò)誤；
故選BC．  12.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查條件概率和全概率公式綜合，屬于較難題．【解答】解：由題意可得，
，
，
可得A正確．
則有，
故BC錯(cuò)誤．
．
故D正確．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】  14.【答案】 【解析】【分析】本題考查二項(xiàng)式定理有關(guān)的應(yīng)用，為中檔題．【解答】解：，，
其中，
．  15.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查正態(tài)分布，屬于較易題.【解答】解:由題意可得Z~N(350,1002)，設(shè)該業(yè)務(wù)保單的利潤(rùn)現(xiàn)值為x,
則有Z=，
???????解得x>185.5.  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的極值求解參數(shù)，考查轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算求解能力，屬于較難題．
求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為  至少要有兩個(gè)零點(diǎn)  和  ，構(gòu)造函數(shù)  ，分類討論，判斷單調(diào)性，進(jìn)而求解范圍．【解答】解：  至少要有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)  和  ，
構(gòu)造函數(shù)  ，對(duì)其求導(dǎo)，  ，
  若  ，則  在  上單調(diào)遞減，此時(shí)若  ，
則  在  上單調(diào)遞增，在  上單調(diào)遞減，
此時(shí)若有  和  分別是函數(shù)  且  的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則  ，不符合題意；
 若  ，則  在  上單調(diào)遞增，此時(shí)若  ，
則  在  上單調(diào)遞減，在  上單調(diào)遞增，
令  ，則  ，
此時(shí)若有  和  分別是函數(shù)  且  的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且  ，則需滿足  ，
即
故  ，
所以  ．  17.【答案】解：易知  ，故遞減區(qū)間為  ，遞增區(qū)間為 ．設(shè)切點(diǎn)  ，則  ，即  有兩非零解，由  可知 或 ． 【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間，曲線外一點(diǎn)做曲線的切線，已知切線條數(shù)有關(guān)問(wèn)題求參，為中檔題．
 18.【答案】解：由已知可得：當(dāng)  時(shí)，  ，當(dāng)  時(shí)，  ，符合，所以．．，，  得，，所以． 【解析】本題主要考查錯(cuò)位相減法求和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．
 19.【答案】解：設(shè)事件為某天甲同學(xué)中午去餐廳用餐，事件為該天晚上去餐廳用餐，由題知  ，  ， 由  可知  ，化簡(jiǎn)得  ，可知  與相互獨(dú)立，即和相互獨(dú)立． 【解析】本題考查條件概率的計(jì)算，條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，屬于中檔題．
 20.【答案】 解：  ，若切點(diǎn)是  ，則切線方程為  ．當(dāng)  時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)  ，即  ，得  ．當(dāng)  時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)  ，即  ，得  ．所以數(shù)列  是首項(xiàng)為  ，公比為  的等比數(shù)列，   ． 【解析】本題考查曲線的切線方程的應(yīng)用，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列不等式的證明，為中檔題．
 21.【答案】 解：的取值范圍是，
，
，
，
，
，
．
所以的分布列為
．
Ⅱ由題意知，設(shè)“每天得分不低于分”為事件，
則
所以天中恰有天每天得分不低于分的概率
，，
，
當(dāng)時(shí)，，在單增，
當(dāng)時(shí)，，在單減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值． 【解析】本題考查概率和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于較難題．
Ⅰ求出的所有可能取值和對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列和期望．
Ⅱ求出天中恰有天每天得分不低于分的概率，利用導(dǎo)數(shù)即可求解．
 22.【答案】解：易知  ，即  在  時(shí)遞增，  時(shí)遞減，故  ．由  可知  ，令  ，即  ，  遞增，且  ，故  有兩個(gè)不同的正數(shù)根，即  ，則  ，若  ，則  ，即  遞增，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，舍；若  ，則  在  上遞增，  上遞減，故  ，即  ，此時(shí)  ，  在  上有一個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)  ，設(shè)  ，則  ，  有  ，即  在  上遞減，故  ，故  ，故  在  只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上：   【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，屬于綜合題．
 
 

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