2022-2023學(xué)年遼寧省六校協(xié)作體高二下學(xué)期6月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出集合A、B，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以.故選：D.2．下列各命題的否定為真命題的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定，結(jié)合二次不等式以及舉反例的方法，可得答案.【詳解】對于A，命題“，”的否定為“，”，由恒成立，則命題“，”是假命題，故A錯誤；對于B，命題“，”的否定為“，”，當(dāng)時，，則命題“，”是假命題，故B錯誤；對于C，命題“，”的否定為“，”，當(dāng)時，，則命題“，”為假命題，故C錯誤；對于D，命題“，”的否定為“，”，當(dāng)時，，則命題“，”是真命題，故D正確.故選：D.3．“”是”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要分件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解法，求得不等式的解決，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，解得或，因為“”是“或”充分不必要條件，所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.4．已知函數(shù)（且），若，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)為偶函數(shù)，同時，再利用單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則，因為，則，即，所以，所以可以轉(zhuǎn)化為，則，所以，故選：B.5．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合計算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D.6．設(shè)，，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：求出，得到的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果．詳解：.,即又即故選B.點睛：本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算和不等式，屬于中檔題．7．已知定義在上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．的一個周期為6 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上共有100個零點【答案】C【分析】由條件結(jié)合周期函數(shù)定義可證明為周期函數(shù)，可判斷A；再根據(jù)奇偶性、周期性、單調(diào)性判斷BC；再結(jié)合函數(shù)零點的定義判斷D.【詳解】因為，所以令，得，故，又為偶函數(shù)，所以，所以，即，故，所以的一個周期為12，故A錯誤；又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，由周期性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；因為為偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于y軸對稱，由周期性可知圖像關(guān)于直線對稱，故C正確；因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，又，所以由周期性可知，在區(qū)間上，，而區(qū)間上有168個周期，故在區(qū)間上有336個零點，又，所以在區(qū)間上有337個零點，由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上有674個零點，故D錯誤；故選：C.8．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記數(shù)列的前項和，且滿足，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求出，判斷是等差數(shù)列，求出的通項公式，再求出，逐個判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，因為，代入得：，化簡得：，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.所以，因為，所以所以，，，經(jīng)檢驗也成立，所以，對于B：，所以B正確.對于D：，所以D錯誤.故選：B 二、多選題9．已知函數(shù)，則（    ）A．的定義域為 B．的圖像關(guān)于對稱C． D．的值域是【答案】AC【分析】對于A，根據(jù)函數(shù)解析式，建立不等式，求得定義域，可得答案；對于B，取關(guān)于直線對稱的點，求函數(shù)值，可得答案；對于C，根據(jù)函數(shù)解析式，代入值，可得答案；對于D，利用不等式性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于A，由，則，解得，其定義域為，故A正確；對于A，因為函數(shù)在無定義，，由，所以的圖象不關(guān)于對稱，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，由，，或，解得或，函數(shù)的值域為，故D錯誤.故選：AC.10．已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞減，則（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由奇偶函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系確定兩函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，逐項判斷即可.【詳解】因為是定義在R上的偶函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，，所以BD正確，C錯誤；若，則，A錯誤.故選：BD11．已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（    ）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【分析】求出通項公式判斷AB；利用數(shù)列前n項和的意義、結(jié)合等差數(shù)列推理判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項是，，，因此，則 ，成等差數(shù)列，C正確；對于D，若等比數(shù)列的公比，則 不成等比數(shù)列，D錯誤.故選：ABC12．下列不等關(guān)系中成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A，先分析當(dāng)和2時，不等式顯然成立，然后結(jié)合當(dāng)時，得當(dāng)時，，從而判斷A選項．對于B，利用對數(shù)的運(yùn)算及基本不等式證明當(dāng)且時，，得到，從而判斷B選項．對于C，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C選項．對于D，根據(jù)常見不等式，并結(jié)合放縮法即可判斷D選項．【詳解】對于A：當(dāng)和2時，顯然成立；因為當(dāng)時，，所以函數(shù)此時是減函數(shù)，故當(dāng)時，有所以當(dāng)時，，，即．綜上，，所以A正確．對于B：當(dāng)且時，，所以，所以當(dāng)且時，，所以，所以，所以B正確．對于C：令，則，易知當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，則，所以，故C不正確．對于D：易知，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時函數(shù)有最小值，即有，所以，即．因為，所以，所以，所以，所以D正確．故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)不等式的形式構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 三、填空題13．已知函數(shù)，則曲線所有的切線中斜率最小的切線方程為      ．【答案】【分析】由函數(shù)解析式求其導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求得斜率最小值以及切點，結(jié)合點斜式方程，可得答案.【詳解】由，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，曲線所有的切線中斜率最小的切線的斜率，切點為，所以切線方程為，整理可得.故答案為：.14．德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則      ．【答案】【分析】計算出，，倒序相加得到答案.【詳解】，，因為①，所以②，兩式相加得，所以.故答案為：15．已知，，則的最小值為          ．【答案】3【詳解】分析：先討論的符號，再利用基本不等式進(jìn)行求解．詳解：顯然，當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；綜上所述，的最小值為3．點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號成立的條件）的條件，否則會出現(xiàn)錯誤．16．若存在實數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是         .【答案】【分析】先考慮恒成立，得到.再考慮恒成立，得到，再解不等式即得解.【詳解】當(dāng)，且時，由，得.設(shè)，則.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.所以，得，等價于，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，則，所以，解得，所以b的最大值是.故答案為：【點睛】方法點睛：求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解. 四、解答題17．如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺，已知射線，為濕地兩邊夾角為的兩條公路（長度均超過4千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客接送點，，且千米．若要求觀景臺與兩接送點所成角與互補(bǔ)，且觀景臺在的右側(cè)，并在觀景臺與接送點，之間建造兩條觀光線路和，求觀光線路之和最長是多少千米，此時為多少千米？  【答案】觀光線路之和最長是4千米，此時為4千米【分析】由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，取等號時，是直角三角形，從而求出的長.【詳解】在中，因為，，所以，又與互補(bǔ)，所以，在中，由余弦定理得，即，即，又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，  此時由于，，，所以≌，又與互補(bǔ)，所以，所以.所以觀光線路之和最長是4千米，此時為4千米.18．已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)和的解析式；(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，(2). 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，為題干條件可以新加入一個方程，聯(lián)立解出和；（2）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，換元后，參變分離來解決.【詳解】（1）為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，由得：，.（2）由（1）得：，由得：，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故，令，則，，即對恒成立，即上恒成立，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)，在時單調(diào)遞增，所以，于是，即實數(shù)的取值范圍為.19．記數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對任意，，求m的最小值．【答案】(1)(2)7 【分析】（1）由數(shù)列與的關(guān)系可得，再結(jié)合等比數(shù)列的通項可得解；（2）利用錯位相減法求出，結(jié)合范圍即可得解.【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)時，，故，且不滿足上式，故數(shù)列的通項公式為（2）設(shè)，則，當(dāng)時，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7．20．已知函數(shù)（，）．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時，的遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2) 【分析】（1）求導(dǎo)可得，再分與兩種情況討論，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）將題意轉(zhuǎn)化為對任意的，，先討論的情況，當(dāng)再根據(jù)與1的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值求解即可.【詳解】（1）①當(dāng)時，恒成立，函數(shù)的遞增區(qū)間為．②當(dāng)時，令，解得或．0單調(diào)遞減 單調(diào)遞增所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）對任意的，使恒成立，只需對任意的，．①當(dāng)時，在上是增函數(shù)，所以只需，而，所以滿足題意；②當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，所以只需，而，所以滿足題意；③當(dāng)時，，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以只需即可,而，從而不滿足題意；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．21．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)，得到，整理得到，證明出結(jié)論；（2）先求出，結(jié)合第一問可得到等比數(shù)列的公比及，進(jìn)而變形得到，利用裂項相消法求和.【詳解】（1）因為，，所以    ①，當(dāng)時，   ②，則①－②得：，因為，所以整理得：，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（2）中，令得，，因為，所以，解得，故等比數(shù)列的公比，所以；，故，則22．已知定義域均為的兩個函數(shù)，．(1)若函數(shù)，且在處的切線與軸平行，求的值；(2)若函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；(3)設(shè)，是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．【答案】(1)；(2)在(?∞,0),(0,1) 上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,的極小值為，無極大值；(3)證明見詳解. 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，確定單調(diào)性進(jìn)而可得極值；（3）根據(jù)同構(gòu)和函數(shù)的單調(diào)性以及二次求導(dǎo)即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，又在處的切線與軸平行，所以，所以，所以，即，所以；（2）因為,所以的定義域為 , ，令,得, 當(dāng) 變化時 的關(guān)系如下表:01無意義0+無意義極小值所以在(?∞,0),(0,1) 上單調(diào)遞減; 在 (1,+∞)上單調(diào)遞增.所以的極小值為，為極大值；（3）證明：要證,只需證，根據(jù), 只需證，又，是兩個不相等的正數(shù)，不妨設(shè) , 由得,兩邊取指數(shù),, 化簡得: ，令，所以，根據(jù)（2）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（如圖所示),  由于在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,要使且相等,則必有 , 即,由得.要證, 只需證,由于在上單調(diào)遞增, 要證,只需證,又, 只需證,只需證，只需證，只需證,只需證，即證,令,只需證,則 所以在 上單調(diào)遞減,所以,所以，所以在上單調(diào)遞減, 所以，所以,所以: .【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù). 

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