2022-2023學(xué)年浙江省紹興市第一中學(xué)高二下學(xué)期學(xué)考模擬數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，若，則（    ）A．-1 B．0 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列方程求解即可.【詳解】因為，所以或，而無實數(shù)解，所以.故選：C.2．復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡，再利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求解.【詳解】解：，復(fù)數(shù)的虛部為．故選：．3．函數(shù)的定義域為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得且，所以的定義域為.故選：C4．函數(shù)的遞增區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由可求出函數(shù)遞增區(qū)間【詳解】由，得，得，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，故選：B5．從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：從甲乙等名學(xué)生中隨機(jī)選出人，基本事件的總數(shù)為，甲被選中包含的基本事件的個數(shù)，所以甲被選中的概率，故選B．【解析】古典概型及其概率的計算． 6．已知，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量共線坐標(biāo)運算公式計算可得．【詳解】解：，，，，解得：，故選：．7．若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出正方體的體對角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.【詳解】這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，即，所以，這個球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.8．計算的結(jié)果為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則即可直接求出答案.【詳解】.故選：B.9．按照“碳達(dá)峰”?“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中n為Peukert常數(shù)，為了測算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時，放電時間；當(dāng)放電電流時，放電時間.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，兩式相比結(jié)合對數(shù)式與指數(shù)式的互化及換底公式即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得，，兩式相比得，即，所以.故選：B.10．若，均為實數(shù)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】通過不等式的性質(zhì)一一驗證其充分性與必要性即可.【詳解】若，則，則或，故充分性不成立；若，則，故必要性成立；故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.11．中，、、分別是內(nèi)角、、的對邊，若且，則的形狀是（    ）A．有一個角是的等腰三角形B．等邊三角形C．三邊均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由推導(dǎo)可得的平分線垂直于邊BC，進(jìn)而可得，再由給定面積導(dǎo)出得解.【詳解】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線AF交BC于點O，則O是BC邊的中點，，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選：D12．如圖， 二面角的平面角的大小為為半平面內(nèi)的兩個點， 為半平面內(nèi)一點， 且， 若直線與平面所成角為為的中點， 則線段長度的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】自點引平面的垂線，垂足為，則A,B兩點在以CO為高的圓錐的底面圓周上，將問題轉(zhuǎn)化為軌跡問題，分別找出線面角和二面角的位置，結(jié)合解三角形知識即可解得的最大值為【詳解】如圖，自點引平面的垂線，垂足為,因為，則A,B兩點在以CO為高以CA,CB為母線的圓錐的底面圓周上，所以當(dāng)A,B兩點運動到公共棱上時AD最大.自點引公共棱的垂線OH，則，不難解出，在中，由余弦定理得:，又在中由余弦定理得：故選：. 二、多選題13．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用奇偶性和單調(diào)性的知識逐一判斷即可.【詳解】是奇函數(shù)，不滿足題意；是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意；是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意；是偶函數(shù)，但在區(qū)間上不單調(diào)遞減，不滿足題意；故選：BC14．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面．且，，則（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【分析】由線面平行和垂直的性質(zhì)，以及面面平行的性質(zhì)，可判斷；由線面平行和垂直的性質(zhì)，以及面面的位置關(guān)系，可判斷；由線面平行和垂直的性質(zhì)，以及面面垂直的判定定理，可判斷；由面面垂直的性質(zhì)和線面的位置關(guān)系，可判斷．【詳解】解：對于，由，，可得，由，可得過的平面與的交線與平行，由，則，故正確；對于，若，，，可能，故錯誤；對于，若，，可得，由，可得過的平面與的交線與平行，則，由，可得，故正確；對于，若，，則或，故錯誤．故選：．15．點是所在平面內(nèi)的一點，下列說法正確的有（    ）A．若則為的重心B．若，則點為的垂心C．在中，向量與滿足，且，則為等邊三角形D．若，，分別表示，的面積，則【答案】ACD【分析】（1）由向量關(guān)系可以判斷出為中線的三等分點，可知為重心；（2）由向量關(guān)系可以判斷出為邊與邊垂直平分線的交點，可知不是垂心；（3）由判斷出三角形為等腰三角形，由判斷出，可知為等邊三角形；（4）令，，則為的重心，由此求出面積比即可.【詳解】對于A，如圖，取邊中點，連接邊上的中線，則，又∵由，∴，∴，∴為的重心，故選項A正確；對于B，如圖，取邊中點，邊中點，連接，，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，分別是，邊上的垂直平分線，∴，為的外心，故選項B錯誤；對于C，作角的內(nèi)角平分線與邊交于點，∵為方向的單位向量，為方向的單位向量，∴（），∴（），∴，∴，∴，為等腰三角形，又∵，且，∴，∴為等邊三角形，故選項C正確；對于D，設(shè)，，由得，則由選項A可知，為的重心，設(shè)的面積，∴，又∵，，∴，，，∴，∴，故選項D正確.故選：ACD.16．關(guān)于x的方程，給出下列四個判斷：其中正確的為（    ）A．存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同的實根；B．存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根；C．存在實數(shù)k，使得方程恰有6個不同的實根；D．存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根；【答案】ABC【分析】令，作出的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷的解的個數(shù)，再結(jié)合方程的解的個數(shù)從而得出原方程的解的個數(shù)，分類討論即可判斷.【詳解】由得①，設(shè)，則，設(shè)作出的函數(shù)圖象如圖所示：  由圖象可知：當(dāng)或時，關(guān)于t的方程只有1解，不妨設(shè)為，顯然或，而關(guān)于x的方程有兩解，故方程①有2個解;當(dāng)或時，關(guān)于t的方程有兩解，不妨設(shè)為，，顯然，而關(guān)于x的方程有兩解，故方程①有4個解;當(dāng)時，關(guān)于t的方程有三解，且其中一解為，不妨設(shè)三個解為，，，且，而關(guān)于x的方程只有1解，關(guān)于x的方程有兩解，故方程①有5個解;當(dāng)時，當(dāng)關(guān)于t的方程有三解，不妨設(shè)為，，，顯然，而關(guān)于x的方程有兩解，故方程①有6個解.綜上所述，存在實數(shù)k，滿足選項ABC故選：ABC【點睛】求解方程根的個數(shù)有關(guān)問題常見方法：1.代數(shù)法，利用根的分布列不等式組求解；2數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為圖像交點個數(shù)問題. 三、雙空題17．已知函數(shù)，那么           若存在實數(shù)，使得，則的個數(shù)是           .【答案】          【分析】求出的值，再計算的值；設(shè)，則，可求得或，再解方程或，可求得的值即可求解.【詳解】因為，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，可得，所以或，當(dāng)時，由或可得或；當(dāng)時，或，可得或（舍）或或，綜上所述：，，，，，有個符合題意，故答案為：；. 四、填空題18．唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示.已知球的半徑為，酒杯內(nèi)壁表面積為.設(shè)酒杯上部分（圓柱）的體積為，下部分（半球）的體積為，則的值是  .【答案】2.【分析】設(shè)圓柱的高為，表示出表面積可得，再分別表示出，即可.【詳解】解：設(shè)酒杯上部分高為，則酒杯內(nèi)壁表面積，則，所以，，故，故答案為：2.【點睛】本題考查圓柱、球體積及表面積的公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.19．已知非負(fù)實數(shù)，滿足，則的最小值為              .【答案】【分析】將變形為，再借助“1”的妙用求解作答.【詳解】非負(fù)實數(shù)，滿足，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，由，得，所以當(dāng)時，的最小值為.故答案為：20．已知向量，為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是          .【答案】【分析】由條件求出，設(shè)向量與向量的夾角為，將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的范圍解不等式即可得的取值范圍.【詳解】由得，即 ，又，則，設(shè)向量與向量的夾角為，則，因為 ，由已知等式可知，所以，所以，因為，所以，解得.故答案為： 五、解答題21．2020年4月21日，習(xí)近平總書記在學(xué)?？疾煺{(diào)研時提出“文明其精神，野蠻其體魄”，“野蠻其體魄”就是強(qiáng)身健體，青少年的體質(zhì)狀況不僅關(guān)乎個人成長和家庭幸福，也關(guān)乎國家未來和民族 希望.某校為了解學(xué)生每日行走的步數(shù)，在全校2400名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，給他們配發(fā)了計步手環(huán)，統(tǒng)計他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示，(1)求的值，并求出這200名學(xué)生日行步數(shù)的樣本平均數(shù)；(2)學(xué)校為了鼓勵學(xué)生加強(qiáng)運動，決定對步數(shù)大于或等于11000步的學(xué)生加1分，計入期末三好學(xué)生評選的體育考核分，估計全校每天獲得加分的人數(shù).(3)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，估計從該校高一（1）班任取3名學(xué)生，恰有2人能獲得加分的概率.【答案】(1)；9.44千步；(2)720(3)0.189 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，利用頻率和為1求出a；利用求平均數(shù)公式直接求解；（2）先求出樣本中步數(shù)大于或等于11000步的學(xué)生所占的頻率，由此估計全校每天獲得加分的頻率，即可求出全校每天獲得加分的人數(shù)；（3）利用相互獨立事件的概率公式和概率的加法公式即可求解.【詳解】（1）在頻率分別直方圖中，設(shè)第i組的頻率為.則；；；；；；；.由，可得：，解得：.這200名學(xué)生日行步數(shù)的樣本平均數(shù)為=9.44.（2）設(shè)步數(shù)大于或等于11000步的學(xué)生所占的頻率為p.則.由此估計全校每天獲得加分的同學(xué)的頻率為0.3，所以估計全校每天獲得加分的人數(shù)為.（3）由題意可得：每名同學(xué)能獲得加分的概率為0.3，且他們相互獨立.所以任取3名學(xué)生，恰有2人能獲得加分的概率為.22．在銳角△ABC中，角A，B，C對的邊分別為a，b，c已知．(1)求角C的大小；(2)求的取值范圍．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）角化邊，由余弦定理可得角C；（2）由（1）可知，所以，化簡可求取值范圍.【詳解】（1）在銳角中，因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，因為，所以．（2）在銳角中，，所以，解得，，因為，所以，所以．即．故的取值范圍為.23．已知，.（1）求的解析式；（2）設(shè)，當(dāng)時，任意，，使成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，則，代入化簡得到答案.（2）設(shè)，，則，討論，，，，，幾種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值，計算得到答案.【詳解】（1），設(shè)，則，，則.（2），設(shè)，，則，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，不成立；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，不成立；當(dāng)時，根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，，不成立；若，，且，故，解得；若，，且，，解得；若，，故，無解.綜上所述：.【點睛】本題考查了求函數(shù)解析式，不等式恒成立問題，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握. 

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