2022-2023學年山東省濟南市萊鋼高級中學高二下學期3月月考數(shù)學試題 一、單選題1．用數(shù)字1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（    ）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】先排個位，再排百位和十位，即得結果.【詳解】先排個位，有2種選法，再排百位和十位，有種排法，因此共有種排法，故選：B2．設曲線在點處的切線方程為，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義進行求解即可.【詳解】切線的斜率為，由，故選：C3．已知，那么A．20 B．30 C．42 D．72【答案】B【分析】通過計算n，代入計算得到答案.【詳解】 答案選B【點睛】本題考查了排列數(shù)和組合數(shù)的計算，屬于簡單題.4．冬奧會越野滑雪項目比賽共分組，現(xiàn)安排名志愿者負責這組的服務工作，每人至少負責組，每組的服務工作由人完成，則不同的安排方式共有（    ）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】分析可知名志愿者中有人負責兩組，另外人各負責一組，利用分步乘法計數(shù)原理可得結果.【詳解】由題意可知，名志愿者中有人負責兩組，另外人各負責一組，所以不同的安排方式種數(shù)為.故選：D.5．某小區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經(jīng)過B的走法有（    ）A．6種 B．8種C．9種 D．10種【答案】C【分析】由題意，從點到點，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，從點到點，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，結合分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，從點到點，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法；從點到點，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法，由分步計數(shù)原理，可得共有種不同的走法.故選：C.6．若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則導函數(shù)在區(qū)間上恒成立,分離參數(shù)，即可求解.【詳解】解：，則在上恒成立，即恒成立，又在上單調遞減，故，所以，當時，導數(shù)不恒為0，故選：D.7．函數(shù)f(x)＝的大致圖象是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調性，即可容易選擇.【詳解】因為f(－x)＝=－f(x)，且其定義域為，所以f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除選項B；當x≥0時，f(x)＝，則f′(x)＝，當0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.所以f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，只有選項滿足題意.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的辨識，涉及函數(shù)奇偶性的判斷，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，屬綜合基礎題.8．若，則（    ）A．8 B． C．10 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件需要對二項展開式進行轉化，然后利用二項展開式通項再求即可.【詳解】令，則，原式轉化為：則二項展開式通項為：則 故選：C. 二、多選題9．在二項式的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項有(    )A．第一項 B．第三項 C．第四項 D．第五項【答案】ABD【分析】求出二項式的展開式通項，判斷系數(shù)為有理數(shù)時r的取值即可判斷有理項．【詳解】二項式的展開式的通項為，則當r=0，2，4時，系數(shù)為有理數(shù)，故系數(shù)為有理數(shù)的項有第一項、第三項、第五項．故選：ABD．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．恒成立 B．函數(shù)在上單調遞增C．函數(shù)的極小值為 D．函數(shù)只有一個零點【答案】BCD【分析】對函數(shù)求導，確定函數(shù)的單調性、極值、最值以及零點個數(shù).【詳解】對于A，當時，，，A錯誤； 令可得，解得，令可得，解得，的增區(qū)間為： ，的減區(qū)間為： ，函數(shù)在上單調遞增，B正確；對于C，由上可知，的極小值為：，C正確；對于D，令，解得，由的單調性以及當時，，可知，D正確.故選：BCD.11．下列說法正確的是（    ）A．個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子里至多放一個球，不同的放法有種B．個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子放球數(shù)量不限，不同的放法有種C．個相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子里至多放一個球，不同的放法有種D．個相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，不同的放法有種【答案】ACD【分析】根據(jù)排列與分步計數(shù)原理可判斷AB選項；利用組合計數(shù)原理可判斷C選項；利用隔板法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子里至多放一個球，即5個不同盒子中有三個盒子各放一個球，不同的放法有種，A對；對于B選項，個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子放球數(shù)量不限，即每個球有5種不同放法，不同的放法有種，B錯；對于C選項，個相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子里至多放一個球，即只需確定5個盒子中哪三個盒子有球，有不同的放法有種，C對；對于D選項，個相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，有兩種放法，一是有個盒子放三個其余各放一個，二是有個盒子放一個其余各放兩個，共有種，D對.故選：ACD.12．已知函數(shù)的定義域為R，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則對于任意（），下列結論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由導數(shù)的圖象，分析原函數(shù)的圖象，根據(jù)原函數(shù)圖象判斷AB選項，根據(jù)圖象的凹凸性判斷CD選項.【詳解】由導函數(shù)圖象可知， ，且其絕對值越來越小，因此函數(shù)的圖象在其上任一點處的切線的斜率為負，并且從左到右，切線的傾斜角是越來越大的鈍角，由此可得的圖象大致如圖所示．選項A、B中，由的圖象可知其割線斜率恒為負數(shù)，即與異號，故A正確，B不正確；選項C、D中，表示對應的函數(shù)值，即圖中點B的縱坐標，表示和所對應的函數(shù)值的平均值，即圖中點A的縱坐標，顯然有，故C不正確，D正確．故選：AD． 三、填空題13．函數(shù)的最小值           【答案】【分析】首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再判斷函數(shù)的最小值.【詳解】，，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，所以當，函數(shù)取得最小值.故答案為：114．為參加學校美術作品評選，高二一班從學生上交的2幅油畫和4幅國畫中選3幅上交參賽，按要求至少上交1幅油畫，則不同的選法共有        種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【分析】根據(jù)組合的定義進行求解即可.【詳解】要求至少上交1幅油畫，不同的選法共有，故答案為：15．用紅、黃、藍、綠四種顏色涂在如圖所示的六個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能同色，則涂色方法總數(shù)是         ．（用數(shù)字填寫答案）【答案】120【分析】所有涂色方法可分為三類，第一類，區(qū)域涂同一種顏色，第二類，區(qū)域涂不同顏色，區(qū)域涂不同顏色，第三類，區(qū)域涂不同顏色，區(qū)域涂相同顏色，利用綜合利用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決.【詳解】所有的涂色方法可以分為三類：第一類：區(qū)域涂同一種顏色，先涂區(qū)域，有4種方法，再涂區(qū)域，有3種方法，然后涂區(qū)域，有2種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，最后涂區(qū)域，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域涂同一種顏色的涂色方法有種，即48種方法，第二類：區(qū)域涂不同顏色，區(qū)域涂不同顏色，先涂區(qū)域，有4種方法，再涂區(qū)域，有3種方法，然后涂區(qū)域，有2種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，最后涂區(qū)域，有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域涂不同顏色的涂色方法有種，即24種方法，第三類：區(qū)域涂不同顏色，區(qū)域涂相同顏色，先涂區(qū)域，有4種方法，再涂區(qū)域，有3種方法，然后涂區(qū)域，有2種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，最后涂區(qū)域，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域涂不同顏色的涂色方法有種，即48種方法，由分類加法計數(shù)原理可得涂色方法總數(shù)是48+24+48種方法，即120種方法.故答案為：120.16．若對任意的，均有成立，則稱函數(shù)為和在上的“中間函數(shù)”．已知函數(shù)，且是和在區(qū)間上的“中間函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是          ．【答案】【分析】根據(jù)“中間函數(shù)”的定義列出不等式，將問題轉化成不等式恒成立問題，利用參變分離以及構造函數(shù)的方法來解決函數(shù)最值，從而求出的取值范圍.【詳解】依題意得：已知條件等價為：在區(qū)間上恒成立對于在區(qū)間上恒成立，變形為： 令，易知單調遞增， 對于在區(qū)間上恒成立，變形為： 令 則 為增函數(shù)， 在單調遞增， 綜上所述： 即故答案為：.【點睛】本題考查了用參變分離的方法解決恒成立的問題，考查了用導數(shù)求函數(shù)單調性、極值、最值以及恒成立的等價形式，對學生分析問題和解決問題的能力有一定的要求，屬于難題. 四、解答題17．2名男生和3名女生站成一排(1)2名男生相鄰的站法有多少種？(2)男生和女生相間的站法有多少種？(3)男生甲不在排頭，女生乙不在排尾的站法有多少種？【答案】(1)48(2)12(3)78 【分析】（1）利用捆綁法即可得出答案；（2）先將2名男生排好，形成3個空，再利用插空法即可得出答案；（3）分男生甲在排尾和男生甲既不在排頭又不在排尾兩種情況討論，從而可得出答案.【詳解】（1）解：先讓2名男生站好，有種站法，再將2名男生當作一個整體，與3名女生進行排列，有種排法，再由分步計數(shù)原理可得2名男生相鄰的站法有種；（2）解：由于男女相間，可先讓2名男生站好，有種站法，再將3名女生插入2名男生形成得3個空當中，每個空一人，有種方法，再由分步計數(shù)原理可得男生和女生相間的站法有種；（3）解：當男生甲在排尾時，有種排法，當男生甲既不在排頭又不在排尾時，男生甲有種排法，女生乙有種排法，其余3人有種排法，此時共有種排法，所以男生甲不在排頭，女生乙不在排尾的站法有種.18．已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為(2)在區(qū)間上的最小值是，最大值是 【分析】（1）對函數(shù)求導，通過導函數(shù)的正負判斷的增加區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中的單調性可得的極值，與區(qū)間端點值比較可得最值.【詳解】（1）由題意知：．令，解得．把定義域劃分成兩個區(qū)間，在各區(qū)間上的正負，以及的單調性如下表所示.0單調遞減 單調遞增所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．（2）結合（1）的結論，列表如下： 0 單調遞減單調遞增所以在區(qū)間上的最小值是，最大值是．19．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)曲線在點處的切線方程為；(2)實數(shù)m的取值范圍為. 【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由點斜式求切線方程；(2)化簡不等式可得，由已知可得，由此可求實數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）由已知，函數(shù)的定義域為，又，所以，所以曲線在點處的切線的斜率為，又，所以曲線在點處的切線方程為，即,（2）不等式可化為，，因為恒成立，所以，設，則，令可得，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以當時，函數(shù)取最大值，最大值為，所以，故實數(shù)m的取值范圍為.20．（1）若展開式中的系數(shù)是30，求m的值；（2）求展開式中的有理項．【答案】（1）；（2）【分析】（1）求出的展開式的通項，再令和，結合題意可得出答案；（2）求出的展開式的通項，再令的指數(shù)為整數(shù)，從而可得出答案.【詳解】解：（1）的展開式的通項為，，令，則，令，則，故展開式中的系數(shù)是，即，所以；（2）的展開式的通項為，，當時，為整數(shù)，所以展開式中的有理項為.21．已知，求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)1(2)625 【分析】（1）令，即可求得；（2）令和，兩次賦值后，利用平方差公式，即可求解.【詳解】（1）由，令，可得;（2）令，可得，令，可得，所以.22．已知函數(shù) ，（為自然對數(shù)的底數(shù)，）．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若，，證明：當時，.【答案】(1)當時，的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(2)證明過程詳見解析. 【分析】（1）求出的導數(shù)，根據(jù)的取值范圍，對的符號進行討論，求出單調區(qū)間即可；（2）將，，，代入，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間的最大值，并證明，再判斷端點函數(shù)值，即可.【詳解】（1）∵，∴的定義域為，∴，①當時，對任意的，，在上單調遞減，∴此時，的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間；②當時，令，得，易知在區(qū)間單調遞減，∴當時，，在區(qū)間單調遞增，當時，，在區(qū)間單調遞減，∴此時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，的單調遞減為，無單調遞增區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）若，則，，∴，當時，，令，，則，當時，，∴在區(qū)間上單調遞增，又∵，，∴，使，此時，，即又∵在區(qū)間上單調遞增，∴當時，，，在區(qū)間上單調遞增，當時，，，在區(qū)間上單調遞減，∴當時，取得極大值，也是最大值，，令，則，當時，，∴在區(qū)間上單調遞增，當時，，∴當時，，又∵，，∴綜上所述，若，當時，.【點睛】利用導數(shù)證明不等式的常用方法有：（1）放縮法：通常會結合已知條件進行放縮（如本題利用了進行放縮）或利用常見結論放縮；（2）構造函數(shù)法：常用于證明（或）時，可通過構造函數(shù)，轉化為證明（或）；（3）變形構造函數(shù)：如過原不等式構造函數(shù)較為復雜，可以將原不等式適當變形后再構造函數(shù)，再利用導數(shù)進行證明. 

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