2024屆四川省巴中市高三上學(xué)期“零診”考試數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可得答案.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故，所以，故選：A2．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，而集合，所以.故選：C3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的公差為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件，列式計(jì)算，即可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，故由可得，即，故選：D4．已知向量，則“”是“”的（  ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出對(duì)應(yīng)的x的值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，故有，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，即，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出漸近線方程，再同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出三條直線，得到表示三角形區(qū)域的不等式組.【詳解】的漸近線方程為和，畫(huà)出，和，如下：  故表示三角形區(qū)域的不等式組為.故選：B6．某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積為（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的三視圖還原幾何體，再按圓錐及圓柱表面積公式計(jì)算求解.【詳解】由給定的三視圖知，這個(gè)幾何體是底面直徑為2，高為2的圓柱，上接一個(gè)底面直徑為2，高為的圓錐構(gòu)成的組合體，如圖，  則有圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積，圓柱下底面圓面積，這個(gè)幾何體的表面是圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面、圓柱的下底面組成，所以這個(gè)幾何體的表面積為.故選：A7．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)以“綠色、智慧、活力、共享”為理念，向全世界送出來(lái)自中國(guó)的美好祝愿．某高校田徑組擬從甲、乙兩名女同學(xué)中選一人參加本屆大運(yùn)會(huì)，已知甲、乙兩名同學(xué)近五次800米訓(xùn)練成績(jī)（單位：秒）如下面的莖葉圖所示．根據(jù)兩人訓(xùn)練成績(jī)的平均值及方差，現(xiàn)有下列4種推薦意見(jiàn)．  ①甲成績(jī)的平均值低于乙成績(jī)的平均值，推薦甲參加大運(yùn)會(huì)．②甲成績(jī)的平均值高于乙成績(jī)的平均值，推薦乙參加大運(yùn)會(huì)．③甲成績(jī)的方差大于乙成績(jī)的方差，推薦乙參加大運(yùn)會(huì)．④甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差，推薦甲參加大運(yùn)會(huì)．其中合理推薦意見(jiàn)的編號(hào)是（    ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】由莖葉圖分別求出甲乙成績(jī)的平均值和方差，比較后得到結(jié)論，求出答案.【詳解】對(duì)于①②，甲的成績(jī)平均值為，乙的成績(jī)平均值為，甲的成績(jī)的平均值大于乙的成績(jī)的平均值，推薦乙參加大運(yùn)會(huì)，①錯(cuò)誤，②正確；對(duì)于③④，甲的成績(jī)的方差為，乙的成績(jī)的方差為，因?yàn)?/span>，所以甲成績(jī)的方差大于乙成績(jī)的方差，推薦乙參加大運(yùn)會(huì)，③正確，④錯(cuò)誤.故選：C8．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則（    ）  A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，由三角函數(shù)的性質(zhì)求得，，在結(jié)合題意和，求得，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，又由，可得，所以，所以，因?yàn)?/span>，即，解得，即，又因?yàn)?/span>，可得，所以函數(shù)的表達(dá)式為，所以.故選：B9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段恰被軸平分，則的離心率為（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】設(shè)交y軸與A，可推出，從而，結(jié)合的斜率，設(shè)可推出之間的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】如圖，設(shè)交y軸與A，A為的中點(diǎn)，  因?yàn)?/span>O為的中點(diǎn)，故為的中位線，則，而，則,因?yàn)橹本€的斜率為，故中，，故設(shè)，則，結(jié)合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有，則，故選：C10．已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（    ）A．5 B． C．4 D．【答案】B【分析】首先乘以，然后根據(jù)基本不等式求解；【詳解】因?yàn)?/span>，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào),故選：．11．已知正數(shù)滿(mǎn)足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列關(guān)系式中不正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造，由函數(shù)單調(diào)性得到，通過(guò)變換可得到ABD正確，C錯(cuò)誤.【詳解】由題意得，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，B正確，，A正確，，D正確，C選項(xiàng)，，，又在上單調(diào)遞增，，故，所以，故，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，則，所以，又，故，C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的不等式放縮有，，，，，等，常用來(lái)比較大小.12．已知，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先確定函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的增減性求解；【詳解】因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?/span>，所以，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)遞增，令所以，函數(shù)單調(diào)遞減，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以，即 ，解得：或.故選：D. 二、填空題13．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是          ．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，即，所以所求切線方程為，即.故答案為：.14．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則              ．【答案】【分析】由題意求出B點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出直線BC的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】如圖，由題意可知軸，，將代入中得，即,  又，則，故的方程為，聯(lián)立，可得，解得，或（此時(shí)C與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不合題意），則，故，故答案為：.15．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則          ．【答案】【分析】根據(jù)條件求等比數(shù)列的基本量及等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)公比為，則，由，，解之得或（舍去），故.故答案為：16．在三棱錐中，，，，，分別為棱的中點(diǎn)．現(xiàn)有以下3個(gè)結(jié)論：①三棱錐的外接球表面積為；②；③平面．則其中正確結(jié)論的序號(hào)為          ．【答案】①③【分析】利用直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合球的面積公式、線面垂直逐一分析即可.【詳解】①因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，，所以，所以為三棱錐的外接球球心，半徑為2，所以三棱錐的外接球表面積為，故①正確；②因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，若，則四邊形為菱形，則，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，因此，而由題可知長(zhǎng)度未知，所以不一定成立，故②錯(cuò)誤；③由①知，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以，而為的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，且平面，所以平面，故③正確.故答案為：①③. 三、解答題17．中央電視臺(tái)“國(guó)家品牌計(jì)劃”欄目組為了做好新能源汽車(chē)的品牌推介，利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)對(duì)年齡（單位：歲）在內(nèi)的人群進(jìn)行了調(diào)查，并從參與調(diào)查者中隨機(jī)選出600人，把這600人分為對(duì)新能源汽車(chē)比較關(guān)注和不太關(guān)注兩類(lèi)，制成如下表格：年齡男性人數(shù)4012016080比較關(guān)注人數(shù)87211248女性人數(shù)107010020比較關(guān)注人數(shù)5498016(1)完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別與對(duì)新能源汽車(chē)的關(guān)注有關(guān)； 比較關(guān)注不太關(guān)注總計(jì)男性   女性   總計(jì)   (2)為了進(jìn)一步了解年齡在內(nèi)不同性別的消費(fèi)者對(duì)新能源汽車(chē)的關(guān)注情況，采用分層抽樣的方法選出5人進(jìn)行訪談，最后從這5人中隨機(jī)選出2人參與電視直播節(jié)目，求其中恰有一位男性參與電視直播節(jié)目的概率．附：，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)表格見(jiàn)解析，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別與對(duì)新能源汽車(chē)的關(guān)注有關(guān)(2) 【分析】（1）由已知表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；計(jì)算的值，與臨界值表比較可得結(jié)論；（2）利用列舉法，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】（1）列聯(lián)如下表： 比較關(guān)注不太關(guān)注總計(jì)男性240160400女性15050200總計(jì)390210600則，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別與對(duì)新能源汽車(chē)的關(guān)注有關(guān)．（2）由題意知，年齡在內(nèi)的50人中男性與女性的比為所抽男性人數(shù)為人，所抽女性人數(shù)為人記“選出的5人中恰有一位男性”為事件A,設(shè)4位男性分別為，一位女性為，則所有結(jié)果為：，共10種．事件A包含的基本事件為，共4種由古典概型的概率公式得：．18．在中，角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式得到，故，求出；（2）法一：由求出，結(jié)合（1）中，由余弦定理得到，結(jié)合（1）中所求得到，利用三角形面積公式求出答案；法二：由求出，結(jié)合（1）中所求得到，，利用，求出，利用三角形面積公式求出答案；法三：由求出，結(jié)合（1）中，由余弦定理得到或，排除，結(jié)合，求出三角形面積.【詳解】（1）由及正弦定理得：，由得：．，由知，，；（2）法一：當(dāng)時(shí)，代入得：，由（1）知，由余弦定理得：，整理得：，解得：，由（1）知：，．法二：當(dāng)時(shí)，代入得：，由（1）得：，，由得，，．法三：當(dāng)時(shí)，代入得：，由（1）得：，由余弦定理得：，整理得：，解得：或，若，則為等腰三角形，此時(shí)，由及內(nèi)角和定理得：，與矛盾，不合題意，，∵，．19．如圖，在四棱錐中，底面，分別為的中點(diǎn)．  (1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）方法一、取的中點(diǎn)，利用中位線性質(zhì)構(gòu)造面面平行證明線面平行；方法二、取的中點(diǎn)，利用中位線性質(zhì)構(gòu)造面面平行證明線面平行；方法三、延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線，利用中位線性質(zhì)直接證線面平行即可.（2）方法一、利用平面，判定C到面PDF的距離，求得即可；方法二、利用幾何性質(zhì)求即可；方法三、先證平面，求即可；方法四、取的中點(diǎn)，證面，計(jì)算即可.【詳解】（1）方法一：取的中點(diǎn)，連結(jié)（如圖），  由分別為的中點(diǎn)及中位線定理得，平面平面，平面平面．又平面，平面平面．平面，平面．方法二：取的中點(diǎn)，連結(jié)（如圖），  由分別為的中點(diǎn)及中位線定理得，平面平面，平面．，，平面平面，平面．又平面，平面平面．平面，平面，方法三：連結(jié)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)，    ，，又，，平面平面平面（2）方法一：底面，，又平面，平面，點(diǎn)到平面的距離為，平面，平面，到平面等距，故三棱錐的高為2，又，；方法二：由為的中點(diǎn)及體積的性質(zhì)知：，由底面及知：，，，．方法三連結(jié)，由得：，  ，，在中，，由余弦定理得：，即，，底面平面，平面平面，平面平面平面，平面，．方法四：取的中點(diǎn)，連結(jié)，  由知：，又，四邊形為正方形，，底面平面，，平面，三棱錐的高為，.20．已知．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2) 【分析】（1）直接求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可；（2）方法一：含參討論的單調(diào)性可得且，結(jié)合極限可得；方法二：分離參數(shù)得，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值、最值，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】（1）易知，求導(dǎo)可得令得或，令得，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）方法一：由已知得，故，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，令得，令得，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，由有兩個(gè)零點(diǎn)得：即，又，故，解得，又，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上可知：的取值范圍為；方法二：有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于：關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，即（*）有兩個(gè)實(shí)根．易得，由方程（*）得有兩個(gè)實(shí)根．令，則，由得，解得，由得解得，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，（如圖），當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為．    21．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線與直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求：①直線的方程；②的面積．【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算可得的值，帶入點(diǎn)M坐標(biāo)即可得橢圓方程；（2）①設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算斜率求解即可；②方法一、求出及M到的距離計(jì)算即可；方法二、采用割補(bǔ)法由點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知，又，則，解得由在橢圓上及得，解得橢圓的方程為（2）由（1）知，右焦點(diǎn)為據(jù)題意設(shè)直線的方程為則于是由得，化簡(jiǎn)得（*）①由消去整理得由根與系數(shù)的關(guān)系得：．代入（*）式得：，解得直線l的方程為②方法一由①可知：由求根公式與弦長(zhǎng)公式得：．設(shè)點(diǎn)到直線l的距離為，則．．方法二由題意可知由①知，直線l的方程為代入消去得∴．22．在直角坐標(biāo)系中，圓的圓心為點(diǎn)，且半徑長(zhǎng)為2，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓的極坐標(biāo)方程；(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求．【答案】(1)(2)或． 【分析】（1）方法一：先寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化公式可求得答案；方法二：在圓上任取點(diǎn)的極坐標(biāo)為，當(dāng)不共線時(shí)，利用余弦定理可得，當(dāng)共線時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，綜合可得答案；（2）方法一：利用直線的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立圓的極坐標(biāo)方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合已知條件即可求得答案；方法二：利用直線的參數(shù)方程，聯(lián)立圓的一般方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合已知條件即可求得答案；【詳解】（1）方法一：由已知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．可將其化為：將代入以上方程可得：圓的極坐標(biāo)方程為方法二：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，在圓上任取點(diǎn)的極坐標(biāo)為，當(dāng)不共線時(shí)，由余弦定理得：化簡(jiǎn)得：當(dāng)共線時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)也適合上面的方程．即圓的極坐標(biāo)方程為．（2）方法一，由已知，直線的極坐標(biāo)方程為，則：，整理得，由得，設(shè)，則，則，，化簡(jiǎn)得：，由知得：，或．或．方法二，將代入得：，由得．設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，化簡(jiǎn)得：．由知得：，或．或．23．已知.(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）方法一：運(yùn)用絕對(duì)值的含義，分，，討論解不等式，再求并集即可得到解集；方法二：利用絕對(duì)值的幾何意義解絕對(duì)值不等式即可；（2）把絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用一次不等式恒成立法則列不等關(guān)系求解即可.【詳解】（1）方法一：當(dāng)時(shí)，，①，無(wú)解；②，解得；③，解得；綜上：原不等式的解集為；方法二：原不等式等價(jià)于：，由絕對(duì)值的幾何意義知的幾何意義為：數(shù)軸上實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-2所對(duì)點(diǎn)的距離與其到原點(diǎn)的距離之差大于1，又的解為，原不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，，原不等式等價(jià)于：，即，則，，故，解得，的取值范圍為. 

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