2024屆黑龍江省牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試題含答案

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2024屆黑龍江省牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，下列結(jié)論成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)集合中的元素，進(jìn)行交并補(bǔ)的運(yùn)算并判斷包含關(guān)系.【詳解】集合，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤； ，故D選項(xiàng)正確．故選：D.2．已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可求出的值，代入、、即可比較出三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，所以，，，，因此，.故選：D.3．若，則下列不等式中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用特例法判斷AB；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C；利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】時(shí)，不成立，A不正確；時(shí)，不成立，B不正確；因?yàn)?/span>在上遞增，所以，若 則，C不正確；因?yàn)?/span>在上遞增，所以，若 則，D正確.故選：D.4．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則 ( )A．12 B．8 C．20 D．16【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：成等差數(shù)列，由此能求出的值．【詳解】解：∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由等差數(shù)列的性質(zhì)得：成等差數(shù)列又∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的四項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5．若“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，再參變分離即可求解.【詳解】題設(shè)等價(jià)于，恒成立，即在恒成立，所以，且．又因?yàn)?/span>在上是增函數(shù)，所以，所以．故選：B6．國(guó)家速滑館又稱(chēng)“冰絲帶”，是北京年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場(chǎng)館、綠色場(chǎng)館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng).已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量）.如果前小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（    ）小時(shí).A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得出，設(shè)，求出的值，由此可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，可得，設(shè)，可得，解得.因此，污染物消除至最初的還需要小時(shí).故選：C.7．已知函數(shù)（）的最大值為，函數(shù)的最小值為，則是的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)（）的最大值為，函數(shù)（）的最小值為，若則，故充分性成立；若，，，顯然滿(mǎn)足，但是，，不滿(mǎn)足，故必要性不成立；故選：A8．已知函數(shù)，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上遞減，在上遞增，由，得到的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且在 上遞減，在上遞增，再根據(jù)不等式成立，由求解.【詳解】函數(shù)，令，因?yàn)?/span>，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上遞減，在上遞增，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且在 上遞減，在上遞增，若使得不等式成立則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B 二、多選題9．若的平均數(shù)為3，方差為4，則的（    ）A．平均數(shù)為1 B．方差為1C．平均數(shù)為 D．方差為2【答案】AB【分析】利用均值和方差的性質(zhì)求解新的均值和方差.【詳解】若的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)為，方差為，令，，解得，．故選：AB10．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（    ）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是【答案】BC【解析】由判斷A；由奇函數(shù)的定義證明B；把的解析式變形，由的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C正確；求出的范圍，進(jìn)一步求得的值域判斷D．【詳解】，，，則不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?/span>，，為奇函數(shù)，故B正確；，又在上單調(diào)遞增，在上是增函數(shù)，故C正確；，，則，可得，即．，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是一道以數(shù)學(xué)文化為背景，判斷函數(shù)性質(zhì)的習(xí)題，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)，然后才會(huì)對(duì)函數(shù)變形，并作出判斷.11．已知是定義在上的偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．是以為周期的周期函數(shù)B．C．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的周期，可判斷A選項(xiàng)的正誤；求出、的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由已知條件可得，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知，.當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)與函數(shù)在上的圖象無(wú)交點(diǎn)，由圖可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1）直接法：直接求解函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.12．若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間M是增函數(shù)，且在M上是減函數(shù)，則稱(chēng)在M上是“弱增函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，則不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”B．若，則存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”C．若，則為R上的“弱增函數(shù)”D．若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則【答案】ABD【分析】根據(jù)“弱增函數(shù)”的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，即可得到正確答案.【詳解】對(duì)于A：在上為增函數(shù)，在定義域內(nèi)的任何區(qū)間上都是增函數(shù)，故不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”，A正確；對(duì)于B：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上為增函數(shù)，，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為減函數(shù)，故存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”，B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知為R上的增函數(shù)，為偶函數(shù)，其在時(shí)為增函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，故不是R上的“弱增函數(shù)”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則在上為增函數(shù)，所以，解得，又在上為減函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，，則，綜上.故D正確．故選：ABD． 三、填空題13．已知狄利克雷函數(shù)，則           .【答案】.【分析】利用分段函數(shù)在不同區(qū)間上的解析式不同即可得出．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)所以，當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故；綜上，；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)函數(shù)概念的理解，正確理解分段函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵． 四、雙空題14．已知，，且，則的最小值為      ，此時(shí)      ．【答案】     8     6【分析】利用基本不等式，可得答案.【詳解】∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為8，此時(shí)．故答案為：；. 五、填空題15．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則          ．【答案】2【分析】求出f(x)定義域，根據(jù)f(x)是偶函數(shù)，可取定義域內(nèi)任意x，根據(jù)f(-x)=f(x)即可求得m的值．【詳解】由得的定義域?yàn)?/span>，則∵是偶函數(shù)，故f(-1)=f(1)，即，解得m=2．此時(shí)，而，故確為偶函數(shù)，故m=2．故答案為：2．16．已知函數(shù)與，若對(duì)任意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是      .【答案】【分析】求出函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，由題意可知，由，可得出，由題意知，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含，然后對(duì)分、、三種情況分類(lèi)討論，求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），解出即可.【詳解】由于函數(shù)在上的減函數(shù)，則，即，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.對(duì)于函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為.令，得.由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含.函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn).（i）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，即，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，由題意可得，解得，此時(shí)，；（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，即，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，由題意可得，解得或，此時(shí)；（iii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，由題意可得，解得，此時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，根據(jù)任意性和存在性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在處理二次函數(shù)的值域問(wèn)題時(shí)，要分析對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題. 六、解答題17．已知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，：關(guān)于的方程的兩根都不小于1．(1)當(dāng)時(shí)，是真命題，求的取值范圍；(2)若為真命題是為真命題的充分不必要條件，求的取值范圍．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍；（2）由是真命題求得的一個(gè)范圍，由是真命題求出的一個(gè)范圍，根據(jù)充分不必要條件的定義得不等關(guān)系，從而得出范圍．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>是真命題，所以，解得．故的取值范圍是；（2）若是真命題，則，解得，關(guān)于的方程的兩根分別為和，若是真命題，則，解得，因?yàn)?/span>為真命題是為真命題的充分不必要條件，所以，即，故的取值范圍是．18．已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若，求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）將原遞推關(guān)系式變形即可證明；（2）先求得，再用累加法即可求解.【詳解】（1）由題，即，是公差為4的等差數(shù)列.（2），累加可得，當(dāng)時(shí)也滿(mǎn)足上式.19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性以及時(shí)的表達(dá)式，即可求出函數(shù)的解析式；（2）利用（1）中的解析式可畫(huà)出函數(shù)圖象，由函數(shù)與方程的思想利用數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍是．【詳解】（1）令，則，又是定義在上的奇函數(shù)，所以可得．又，故函數(shù)的解析式為（2）根據(jù)題意作出的圖象如下圖所示：  ，，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．故的取值范圍是．20．為提高教育教學(xué)質(zhì)量，越來(lái)越多的高中學(xué)校采用寄宿制的封閉管理模式．某校對(duì)高一新生是否適應(yīng)寄宿生活做調(diào)查，從高一新生中隨機(jī)抽取了人，其中男生占總?cè)藬?shù)的，且只有的男生表示自己不適應(yīng)寄宿生活，女生中不適應(yīng)寄宿生活的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的．學(xué)校為了考查學(xué)生對(duì)寄宿生活適應(yīng)與否是否與性別有關(guān)，構(gòu)建了如下列聯(lián)表： 不適應(yīng)寄宿生活適應(yīng)寄宿生活合計(jì)男生   女生   合計(jì)   (1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān)；(2)從男生中以“是否適應(yīng)寄宿生活”為標(biāo)準(zhǔn)采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人，再?gòu)倪@中隨機(jī)抽取人，若所選名學(xué)生中的“不適應(yīng)寄宿生活”人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān)聯(lián)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為 【分析】（1）根據(jù)題意求出表中數(shù)據(jù)，計(jì)算卡方值即可判斷；（2）隨機(jī)變量的取值可以是，，，求出取不同值的概率，即可求出分布列和期望.【詳解】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下： 不適應(yīng)寄宿生活適應(yīng)寄宿生活合計(jì)男生女生合計(jì)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，所以有的把握認(rèn)為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān)聯(lián)．（2）抽取的人中，有人不適應(yīng)寄宿生活，有人適應(yīng)寄宿生活，故隨機(jī)變量的取值可以是，，，，，，隨機(jī)變量的分布列如下：因此，．21．已知函數(shù)（且）.(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，若存在，求a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)函數(shù)是奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析.(2).(3)存在，，. 【分析】（1）求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的奇偶性的定義可得證；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（3）由的定義域得，分，，討論函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組求解即可.【詳解】（1）解：函數(shù)是奇函數(shù). 證明如下：由，解得的定義域?yàn)?/span>.因?yàn)閷?duì)任意的，都有，且，所以，是奇函數(shù).（2）解：當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?/span>的定義域是，所以，所以，，所以，所以，的值域是.（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)?/span>，又，且，由的定義域得，所以.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，所以無(wú)解.（或者因?yàn)?/span>，所以，所以無(wú)解），故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足題意.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得或（舍），.綜上，存在實(shí)數(shù)，.22．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可求的值，當(dāng)時(shí)，與兩式相減即可得兩邊同時(shí)乘以，得，令，可得是等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)即可求的通項(xiàng)；（2）由（1）知，利用乘公比錯(cuò)位相減求和求出，當(dāng)，時(shí)單獨(dú)討論，當(dāng)時(shí)，化為，即.令（，），則，計(jì)算判斷的單調(diào)性求出的最小值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由已知，，當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，．兩式相減，得．兩邊同時(shí)乘以，得，令，則，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為所以，即，所以.（2）由（1）知，，所以．則，①，②①-②，得，即，，則.由已知，對(duì)任意的正整數(shù)，恒有．當(dāng)時(shí)，化為，得.當(dāng)時(shí)，化為，此時(shí)，為任意實(shí)數(shù)不等式都成立．當(dāng)時(shí)，化為，即.令（，），則，所以．當(dāng)時(shí)，，則，所以（，）單調(diào)遞增，所以的最小值為，則.綜上可知，，即的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是需要討論，當(dāng)時(shí)求得，當(dāng)時(shí)，與已知條件兩式相減得，這種類(lèi)型需要兩邊同時(shí)乘以得，第二問(wèn)是根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的值，求出可得，此時(shí)不是恒大于，當(dāng)，時(shí)單獨(dú)討論，當(dāng)時(shí)，分離化為，即，再構(gòu)造（，），利用作差法判斷單調(diào)性求最小值即可.