2023屆云南省保山市普通高（完）中高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)全集，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式得到集合，再根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】不等式的解為，所以集合..故選：B.2．復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法及乘法運(yùn)算化簡求，即可得虛部.【詳解】，虛部為.故選：A3．已知平面向量的夾角為，且，則與的夾角是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別求得可得，且，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由平面向量的夾角為，且，可得，且，設(shè)向量與的夾角為所以，因?yàn)?/span>，可得，即與的夾角為.故選：B.4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，則（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得答案．【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：C.5．已知為銳角，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的范圍，再由平方關(guān)系求出，然后利用誘導(dǎo)公式、正弦的二倍角公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>為銳角，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故選：D.6．新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn).某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：研發(fā)投入（億元）12345產(chǎn)品收益（億元）3791011用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程是，相關(guān)系數(shù)（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高），下列說法不正確的有（    ）A．變量與正相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)B．C．當(dāng)時，的估計(jì)值為40.3D．相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為0.8【答案】D【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)可判斷A；求出代入回歸方程可判斷B；將代入線性回歸方程可判斷C；求出相應(yīng)于點(diǎn)的殘差可判斷.【詳解】對于A，由相關(guān)系數(shù)可知變量與正相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)，故A正確；對于B，由表中數(shù)據(jù)可得，所以，解得，故B正確；對于C，關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程可得，，故C正確；對于D，相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，故錯誤.故選：D.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為3，則（    ）A．2 B．1 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得，圓心，圓的半徑，結(jié)合圓的性質(zhì)，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，又由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)?/span>與圓上點(diǎn)的距離最小值，可得，解得.故選：A.8．若，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，，再利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，所以，即，所以；令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，使，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在時，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞減，故，即，所以，綜上，故選:C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可解題. 二、多選題9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（    ）  A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>【答案】AB【分析】利用圖象可知、、可判斷A；計(jì)算的值可判斷B；求可判斷C；由的范圍可得的范圍可判斷D.【詳解】由圖象可知，故A正確；由圖象可知，，因?yàn)?/span>，所以，，所以圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；不是偶函數(shù)，故C錯誤；當(dāng)時，，，故D錯誤，故選：AB.10．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（    ）A．曲線的方程為B．曲線與圓外切C．曲線被直線截得的弦長為D．曲線上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1【答案】ACD【分析】對于A，設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式代入化簡判斷；對于B，根據(jù)圓心距與兩半徑和的關(guān)系進(jìn)行判斷；對于C，先求出點(diǎn)到直線的距離，再結(jié)合勾股定理求出弦長；對于D，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離以及圓C的半徑分析判斷.【詳解】對于A，設(shè)，由定義，得，化簡整理得，故A正確；對于B，的圓心為，半徑；的圓心為，半徑；圓心距，故B錯誤；對于C，圓心到直線的距離，所以弦長為，故C正確；對于D，圓心到直線的距離，半徑，所以圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1,故D正確.故選：ACD.11．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】BD【分析】通過假設(shè)A成立，運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理可判斷；運(yùn)用線面平行的的判定定理可判斷B；通過假設(shè)C成立，運(yùn)用線面垂直的判定定理及性質(zhì)可判斷C；運(yùn)用線面垂直的判定定理及性質(zhì)可判斷D．【詳解】對于A，連接，若平面，又平面，且平面平面，則，因?yàn)?/span>，，所以四邊形為平行四邊形，所以，顯然矛盾，故錯誤；對于B，平面，平面平面，故正確；對于C，若平面，平面，則，又平面，平面，,又，平面，所以平面，平面，所以，與矛盾，故錯誤；對于D，平面，平面，，，平面，平面，平面，，故D正確，故選：.  12．一袋中有質(zhì)地?大小完全相同的3個紅球和2個白球，下列結(jié)論正確的是（    ）A．從中一次性任取3個球，恰有1個白球的概率是B．從中有放回地取球3次，每次任取1個球，恰好有2個白球的概率為C．從中不放回地取球，每次取1個球，取完白球就停止，記停止時取得的紅球的數(shù)量為，則D．從中不放回地取球2次，每次取1個球，則在第1次取到白球的條件下，第2次再取到白球的概率為【答案】AC【分析】根據(jù)古典摡型的概率計(jì)算公式，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，以及條件概率的計(jì)算公式，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對于，從中任取3個球，恰有1個白球的概率為，故正確；對于，從中有放回地取球3次，每次任取1個球，其中每次取到白球的概率為，所以恰好有2個白球的概率為，故B不正確；對于，表示事件“取完白球時，取到1個紅球”，共取球3次，前2次1紅1白，第3次為白球，概率為，故正確；對于，設(shè)第1次取到白球?yàn)槭录?/span>，第2次再取到白球?yàn)槭录?/span>，所以第1次取到白球的條件下，第2次取到白球的概率為，故D錯誤.故選：AC. 三、填空題13．已知雙曲線的焦距為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離是1，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為           .【答案】【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】由題意得：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，則，解得：，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.  14．在的展開式中，的系數(shù)為80，則實(shí)數(shù)的值為           .【答案】【分析】求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，其中，因?yàn)檎归_式中的系數(shù)為，令，可得，解得.故答案為：. 四、雙空題15．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個頂點(diǎn)的曲率為           ，四棱錐的總曲率為           .【答案】     /     【分析】根據(jù)曲率的定義結(jié)合正方體和四棱錐的特點(diǎn)即可得到答案.【詳解】根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個頂點(diǎn)的曲率為；由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個頂點(diǎn)，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為.故答案為：；. 五、填空題16．已知函數(shù)若方程恰有4個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是           .【答案】【分析】滿足題意時函數(shù)與直線有四個交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象，即可求解【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，方程可化為；當(dāng)時，方程可化為，令，當(dāng)時，，可知，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又，所以可畫出的圖象，如圖所示，方程有4個不等實(shí)根，等價于的圖象與直線有4個交點(diǎn)，由圖可知，.  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，然后把問題等價于的圖象與直線有4個交點(diǎn)，考查了學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力. 六、解答題17．已知的內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理得出結(jié)果；（2）由正弦定理得出，根據(jù)誘導(dǎo)公式得出關(guān)系，再分情況求三角形的面積.【詳解】（1）由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以.（2）由正弦定理得，或或；若，則為正三角形，；若，則為直角三角形，，，，綜上所述，的面積為或.18．為普及傳染病防治知識，增強(qiáng)市民的疾病防范意識，提高自身保護(hù)能力，某市舉辦傳染病防治知識有獎競賽．現(xiàn)從該市所有參賽者中隨機(jī)抽取了100名參賽者的競賽成績，并以此為樣本繪制了如表所示的頻率分布表．競賽成績人數(shù)610183316116(1)求這100名參賽者的競賽成績的樣本均值和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)若該市所有參賽者的成績X近似地服從正態(tài)分布，用樣本估計(jì)總體，近似為樣本均值，近似為樣本方差，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（參考數(shù)據(jù)：）①如果按照的比例將參賽者的競賽成績劃分為參與獎、二等獎、一等獎、特等獎四個等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線（精確到整數(shù)）；②若該市共有10000名市民參加了競賽，試估計(jì)參賽者中獲得特等獎的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，．【答案】(1)；(2)①分?jǐn)?shù)低于50的為參與獎，分?jǐn)?shù)大于等于50小于65的為二等獎，分?jǐn)?shù)大于等于65小于80的為一等獎，分?jǐn)?shù)大于等于80的為特等獎 ；② 【分析】（1）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)利用平均數(shù)公式和方差公式可求得結(jié)果，（2）①設(shè)競賽成績達(dá)到a及以上為特等獎；成績達(dá)到b但小于a為一等獎，成績達(dá)到c但小于b為二等獎，成績未達(dá)到c為參與獎，則根據(jù)題意和正態(tài)分布的性質(zhì)可得，，從而可得答案，②根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解【詳解】（1）由頻率分布表可得（2）該市所有參賽者的成績X近似地服從正態(tài)分布，①設(shè)競賽成績達(dá)到a及以上為特等獎；成績達(dá)到b但小于a為一等獎，成績達(dá)到c但小于b為二等獎，成績未達(dá)到c為參與獎，則，由于，因此；由于，因此，所以分?jǐn)?shù)低于50的為參與獎，分?jǐn)?shù)大于等于50小于65的為二等獎，分?jǐn)?shù)大于等于65小于80的為一等獎，分?jǐn)?shù)大于等于80的為特等獎．②估計(jì)參賽者中超過80分的人數(shù)為．19．已知數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，.(1)求；(2)求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）當(dāng)為偶數(shù)時，，又，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式求解即可.（2）當(dāng)為奇數(shù)、偶數(shù)時分別求解通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)的特征求解結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)為偶數(shù)時，，則，累加可得,（2）當(dāng)為奇數(shù)時，由遞推公式得，，兩式相減得，又（為奇數(shù)）；當(dāng)為偶數(shù)時，由遞推公式得（為偶數(shù)），所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)均為，偶數(shù)項(xiàng)是以12為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，，同理，又，，，，所以當(dāng)時，有最大值.20．如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，是上一點(diǎn)，平面.  (1)求證：平面；(2)從下面三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答：①異面直線與所成角的正切值為；②直線與平面所成角的正弦值為；③點(diǎn)到平面的距離為；若___________，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（2）選①：根據(jù)異面直線所成角的定義計(jì)算得到；選②：根據(jù)直線與平面所成角的的定義計(jì)算得到；選③：利用等體積轉(zhuǎn)換計(jì)算得到；然后再利用空間向量法求兩個平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，  平面平面，平面平面，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，又，平面，平面，，又，，平面，平面平面，又，平面.平面.（2）如圖，選①：異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，由（1），；選②：平面直線與平面所成角為，，，；選③：設(shè)，由是的中點(diǎn)，得，，所以，解得，所以；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則所以令，則，設(shè)平面的一個法向量為，則所以令，則，記平面與平面的夾角為，則.  21．已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)到的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)不經(jīng)過的直線與軸垂直，與橢圓交于兩點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由題意，橢圓上的點(diǎn)到的最大距離為，結(jié)合可得答案；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求出直線的方程令，結(jié)合韋達(dá)定理可得答案.【詳解】（1）由題意，橢圓上的點(diǎn)到的最大距離為，所以，所以橢圓方程為；（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，則，由，可得，，，所以直線的方程為，令，可得，所以直線過定點(diǎn).  【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于直線過定點(diǎn)問題，一般是將直線設(shè)成的形式，通過已知條件，找到變量k與m之間的關(guān)系，代回直線方程，將其由兩個變量化作一個變量，即可判斷出定點(diǎn).22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜率式方程可得切線的方程；（2）求出導(dǎo)數(shù)，令令，討論當(dāng)，，時，函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，切線的斜率為，又切點(diǎn)為，所以切線方程為.（2）令，即，①若，則當(dāng)時，，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，所以恒成立，符合題意；②若，則當(dāng)時，，不合題意；③若，注意到，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以存在，使得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，，不合題意.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，一種方法為參變分離，一種方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，并通過利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性來得到函數(shù)的最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題. 

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